第二講 函數(shù)、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【最新考綱透析】
1．函數(shù)
（1）了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念。
（2）在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)。
（3）了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用。
（4）理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義。
（5）會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。
2．指數(shù)函數(shù)
（1）了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景。
（2）理解有理指數(shù)冪的含義，了解褸指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。
（3）理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點。
（4）知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。
3．對數(shù)函數(shù)
（1）理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用。
（2）理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點。
（3）知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。
（4）了解指數(shù)函數(shù) 與對數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù)（ ）。
4．冪函數(shù)
（1）了解冪函數(shù)的概念
（2）結(jié)合函數(shù) 的圖象了解它們的變化情況。
【核心要點突破】
要點考向一：基本初等函 數(shù)問題
考情聚焦：1．一元二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)是最重要的基本初等函數(shù)，在每年高考中都有涉及到直接考查它們定義、定義域和值域、圖象和性質(zhì)的問題。
2．常與函數(shù)的性質(zhì)、方程、不等式綜合命題，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬容易題。
考向鏈接：1．一元二次、二次函數(shù)及指數(shù)\對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的定義、定義域、值域、圖象和性質(zhì)是解決此類題目的關(guān)鍵，同時要注意數(shù)形結(jié)合、化歸和分類討論思想的應(yīng)用 。
2.熟記冪和對數(shù)的運算性質(zhì)并能靈活運用。
例1：（2010?全國高考卷Ⅱ文科?Ｔ4）函數(shù)y=1+ln（x-1）(x>1)的反函數(shù)是
（A） y= -1(x>0) (B) ）y= +1(x>0)
(C) y= -1(x R) (D）y= +1 (x R)
【命題立意】本題考查了反函數(shù)的概念及其求法。
【思路點撥】運用求反函數(shù)的方法解。
【規(guī)范解答】 選D，y=1+ln（x-1），ln（x-1）=y-1,x-1=e ,所以反函數(shù)為y= +1 (x R)
【方法技巧】求反函數(shù)的步驟：（1）反 解x,即用y表示x.
(2)把x、y互換，
（3）寫出反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域。本題注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化。
例2：（2010?天津高考文科?Ｔ6）設(shè) （ ）
(A)a
【思路點撥】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù) 的圖像，可得 ，
。
【規(guī)范解答】選D，由對數(shù)函數(shù) 的圖像，可得 ，
，又 。
【方法技巧】比較對數(shù)函數(shù)值的大小問題，要特別注意分清底數(shù)是否相同，如果底數(shù)相同，直接利用函數(shù)的單調(diào)性即可比較大�。蝗绻讛�(shù)不同，不僅要利用函數(shù)的單調(diào)性，還要借助中間量比較大小。
要點考向二：函數(shù)與映射概念的應(yīng)用問題
考情聚焦：1.該考向在高考中主要考查與函數(shù)、映射概念相關(guān)的定義域、映射個數(shù)、函數(shù)值、解析式的確定與應(yīng)用。
2.常結(jié)合方程、不等式及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)交匯命題，屬低、中檔題。
考向鏈接：1.求函數(shù)定義域的類型和相應(yīng)方法。
2.求f(g(x))類型的函數(shù)值時，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則，面對于分段函數(shù)的求值問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解，特別地對具有周期性的函數(shù)求值要用好其周期性。
3.求函數(shù)的解析式，常見命題規(guī)律是：先給出一定的條件確定函數(shù)的解析式，再研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)；解答的常用方法有待定系數(shù)法、定義法、換元法、解方程組法、消元法等。
4.映射個數(shù)的計算一般要分類計數(shù)。
例3：（2010?天津高考理科?Ｔ8）若函數(shù)f(x)= ,若f(a)>f(-a),則實數(shù)a的取值范圍是 ( )
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
【命題立意】考查對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)。
【思路點撥】對a進行討論，通過圖像分析f(a)>f(-a)對應(yīng)的實數(shù)a的范圍。
【規(guī)范解答】選C，當a>0，即-a<0時，由f(a)>f(-a)知 ，在同一個坐標系中畫出 和 函數(shù)的圖像，由圖像可得a>1；當a<0,即-a>0時，同理可得-1
考情聚焦：1.函數(shù)圖象作為高中數(shù)學(xué)的一個“重頭戲”，是研究函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式的重要武器，已成為各省市高考命題的一個熱點。
2.常以幾類初等函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)綜合考查，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)。
考向鏈接：1.基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的畫法以及圖象的三種變換。
2.在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點時，要注意用好其與圖象的關(guān)系、結(jié)合圖象研究。
3.在研究一些陌生的方程和不等式時常用數(shù)形結(jié)合法求解。
例4：（2010?山東高考理科?Ｔ11）函數(shù) 的圖象大致是（ ）
【命題立意】本題考查函數(shù)的圖象，函數(shù)的基礎(chǔ)知識以及數(shù)形結(jié)合的思維能力,
考查了考生的分析問題解決問題的能力和運算求解能力。
【思路點撥】利用特殊值對圖象進行估計分析.
【規(guī)范解答】選A，因為當x＝2或4時， ，所以排除B、C；當x＝-2時，2x - ＝ ，故排除D，所以選A.
要點考向四：函數(shù)性質(zhì)問題
考情聚焦：該考向是各省市高考命題大做文章的一個重點。常與多個知識點交匯命題，且常考常新，既有小題，也有大題，主要從以下三個方面考查：
1.單調(diào)性（區(qū)間）問題，熱點有：（1）確定函數(shù)單調(diào)性（區(qū)間）；（2）應(yīng)用函數(shù)單 調(diào)性求函數(shù)值域（最值）、比較大小、求參數(shù)的取值范圍、解（或證明）不等式。
2.奇偶性、周期性、對稱性的確定與應(yīng)用。
3.最值（值域）問題，考題常與函數(shù)的其他性質(zhì)、圖象、導(dǎo)數(shù)、基本不等式等綜合。
例5：（2010遼寧文數(shù)）（21）（本小題滿分12分）
已知函數(shù) .
（Ⅰ）討論函數(shù) 的單調(diào)性；
（Ⅱ）設(shè) ，證明：對任意 ， .
解：(Ⅰ) f(x)的定義域為(0,+ )， .
當a≥0時， ＞0，故f(x)在(0,+ )單調(diào)增加；
當a≤－1時， ＜0, 故f(x)在(0,+ )單調(diào)減少；
當－1＜a＜0時，令 ＝0,解得x= .當x∈(0, )時, ＞0；
x∈( ，+ )時， ＜0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（ ，+ ）單調(diào)減少.
(Ⅱ)不妨假設(shè)x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+ ）單調(diào)減少.
所以 等價于
≥4x1－4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,則
+4
＝ .
于是 ≤ ＝ ≤0.
從而g(x)在（0，+ ）單調(diào)減少，故g(x1) ≤g(x2)，
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故對任意x1,x2∈(0,+ ) ， .
【高考真題探究】
1. （2010?上海高考理科?Ｔ8）對任意不等于1的正數(shù)a，函數(shù)f(x)= 的反函數(shù)的圖像都經(jīng)過點P，則點P的坐標是
【命題立意】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及反函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．
【思路點撥】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)找到原函數(shù)過的定點，再由反函數(shù)的性質(zhì)找到關(guān)于直線y=x的對稱點．
【規(guī)范解答】 ．因為函數(shù) 的圖像過定點 ，由反函數(shù)的性質(zhì)可知，反函數(shù)的圖像過定點 ．
2. （2010?全國Ⅰ理科?Ｔ8）設(shè) ， ， ,則（ ）
A a
【思路點撥】利用換底公式，將 ， 變成以2為底的對數(shù).根據(jù)對數(shù)函數(shù)
和指數(shù)函數(shù)的圖像進行分析.
【規(guī)范解答】選C.
a= 2= , b=In2= ,而 ,所以a
A．關(guān)于原點對稱 B．關(guān)于直線y=x對稱
C．關(guān)于x軸對稱 D．關(guān)于y軸對稱
【命題立意】本小題考查函數(shù)的對稱性，考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念，考查運算求解的能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.
【思路點撥】根據(jù)選項，可以判斷函數(shù) 是否為奇函數(shù)、偶函數(shù)，即判斷 與 的關(guān)系；如果不是，再判斷選項B，C是否正確.
【規(guī)范解答】選D
【解法1】
，是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱；
【解法2】
，有 ，所以函數(shù) 的圖象關(guān)于 軸對稱.
【方法技巧】（1）指數(shù)運算 在變形整理中起其重要作用；
（2）分式加法的逆向運算是本題的變形技巧.
4. （2010?北京高考文科?Ｔ6）給定函數(shù)① ，② ，③ ，④ ，其中在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
【命題立意】考查幾類基本初等函數(shù)的單調(diào)性及簡單的圖像變換。
【思路點撥】畫出各函數(shù)的圖象，再判斷在（0，1）上的單調(diào)性。
【規(guī)范解答】選B。各函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性：①增函數(shù)；②減函數(shù)；③減函數(shù)；④增函數(shù)。
5. 10.（2010?浙江高考理科?Ｔ10）
設(shè)函數(shù)的集合 ，平面上點的集合 ，則在同一直角坐標系中， 中函數(shù) 的圖象恰好經(jīng)過 中兩個點的函數(shù)的個數(shù)是（ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
【命題立意】本題考查對數(shù)型函數(shù)的圖象，集合元素的表示，考查學(xué)生對數(shù)運算能力和數(shù)形結(jié)合的思想。
【思路點撥】把Q中的點表示在坐標 系中，逐個分析P中的每一個函數(shù)的圖像，找出恰過兩點的函數(shù)。
【規(guī)范解答】選B。
Q中有12個點，表示在坐標系中；P中共有12個函數(shù)，逐個分析P中的每一個函數(shù)的圖像，可知恰過兩個點的函數(shù)有 ， ，
， ， 共6個。
6. （2010?江蘇高考?Ｔ11）已知函數(shù) ,則滿足不等式 的x的取值范圍是__ ___。
【命題立意】本題考查分段函數(shù)的圖像、單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合和化歸轉(zhuǎn)化的思想。
【思路點撥】結(jié)合函數(shù) 的圖像以及 的條件，可以得出 與 之間的大小關(guān)系，進而求解x的取值范圍.
【規(guī)范解答】畫出 ,的圖象，
由圖像可知，若 ，
則 ，即 ，得
【答案】
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（本大題共6個小題，每小題6分，總分36分）
1．設(shè)函數(shù)f（x）=log2x的反函數(shù)為y=g（x） ，若 ，則a等于（ ）
A．-2 B． C． D．2
2.已知一容器中有A、B兩種菌，且在任何時刻A，B兩種菌的個數(shù)乘積為定值1010，為了簡單起見，科學(xué)家用 來記錄A菌個數(shù)的資料，其中 為A菌的個數(shù)，則下列判斷中正確的個數(shù)為 （ ）
①
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，則今天的A菌個數(shù)比昨天的A菌個數(shù)多了10個
③假設(shè)科學(xué)家將B菌的個數(shù)控制為5萬個，則此時
A．0B．1C．2D．3
3.函數(shù) 與 在同一坐標系的圖象為（ ）
4.類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對于給定的兩個函數(shù)， ， ，其中 ，且 ，下面正確的運算公式是（ ）
① ； ② ；
③ ； ④ ．
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）①②③④
5.下列函數(shù) 中，滿足“對任意 ， （0， ），當 < 時，都有 > 的是( )
A． = B. = C . = D
6. f(x)= ，則 ＝（ ）
（A）-23（B）11（C）19 （D）24
二、填空題（本大題共3個小題，每小題6分，總分18分）
7．已知函數(shù) ，正實數(shù)m，n滿足 ，且 ，若 在區(qū)間 上的最大值為2，則 ．
8．已知 ，函數(shù) ，若實數(shù) 、 滿足 ，則 、 的大小關(guān)系為 .
9．給出下列四個命題：
①函數(shù) 在區(qū)間 上存在零點
②若 =0，則函數(shù) 在 取得極值；
③ ≥-1，則函數(shù) 的值域為R；
④“ ”是“函數(shù) 在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件。
其中真命題是 （把你認為正確的命題序號都填在橫線上）
三、解答題（10、11題每小題15分，12題16分，總分46分）
10．據(jù)調(diào)查，安徽某地區(qū)有100萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民，人均年收入3000元.為了增加農(nóng)民的收入，當?shù)卣e極引資建立各種加工企業(yè)，對當?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進行深加工，同時吸收當?shù)夭糠洲r(nóng)民進入加工企業(yè)工作. 據(jù)估計，如果有x(x＞0)萬人進入企業(yè)工作，那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均年收入有望提高2x%，而進入企業(yè)工作的農(nóng)民人均年收入為3000a元（a＞0為常數(shù)）.
（I）在建立加工企業(yè)后，要使該地區(qū)從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的年總收入不低于加工企業(yè)建立前的年總收入，求x的取值范圍；
（II）在（I）的條件下，當?shù)卣畱?yīng)安排多少萬農(nóng)民進入加工企業(yè)工作，才能使這100萬農(nóng)民的人均年收入達到最大？
11．已知函數(shù)f(x)=lnx- (a∈R).
(1)當a∈［-e,-1］時，試討論f(x)在［1,e］上的單調(diào)性；
(2)若f(x)
（1）已知函數(shù)f(x)= 的圖象關(guān)于點(0,1)對稱，
求實數(shù)m的值；
（2）已知函數(shù)g(x)在（-∞，0）∪(0,+∞)上的圖象關(guān)于點( 0,1)對稱，且當x∈(0,+∞)時，g(x)=x2+ax+1,求函數(shù)g(x)在
(-∞,0)上的解析式；
（3）在(1)(2)的條件下，當t>0時，若對任意實數(shù)x∈
(-∞,0)，恒有g(shù)(x)
參考答案
1. 【解析】選C 因為函數(shù)f（x）=log2x的反函數(shù)為 所以 由
得
2. 【解析】選B 當 時 ，故①錯誤；若 若 故②錯誤；
設(shè)B菌的個數(shù)為
所以 ，故③正確。
3. 【解析】選A 因為 ，所以函數(shù) 的圖像在函數(shù) 圖像 的下方，排除C、D；
，排除B，故選A。
4. 【解析】選D 因為 ，
同理可證其它3個式子也成立。
5. 【解析】選A依題意可得函數(shù)應(yīng)在 上單調(diào)遞減，故由選項可得A正確。
6. 【解析】選D
7. 【解析】由已知得
所以 在區(qū)間 上的最大值為 故
答案：
8. 【解析】 ，函數(shù) 在R上遞減。由 得：m
所以函數(shù) 在區(qū)間 上存在零點；②不正確，例
；③正確：
對于④：若 ，則 又 的定義域為R，所以 “函數(shù) 在定義域上是奇函數(shù)”；若函數(shù) 在定義域上是奇函數(shù)，則 恒成立。因為 ，
所以 恒成立，
所以 ，故“函數(shù) 在定義域上是奇函數(shù)” 推不出“ ”，
所以④正確。綜上正確的為①③④。
答案：①③④
10. 【解】（I）據(jù)題意，（100－x）?3000?（1+2x%）≥100×3000，
即x2－50x≤0，解得0≤x≤50.
又x＞0，故x的取值范圍是(0，50].
（II）設(shè)這100萬農(nóng)民的人均年收入為y元，則
y＝
＝－35[x－25(a＋1)]2＋3000＋475(a＋1)2 (0
（2）若25(a＋1)＞50，即a ＞1，則當x＝50時，y取最大值.
答：當0＜a≤1時，安排25(a＋1)萬人進入加工企業(yè)工作，當a＞1時，安排50萬人進入企業(yè)工作，才能使這100萬人的人均年收入最大.
11. 【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+∞)，
當-e≤a≤-1時，1≤-a≤e,令f′(x)=0得x=-a,于是當1≤x≤-a時，f′(x)≤0,∴f(x)在［1,-a］上為減函數(shù),
當-a≤x≤e時，f′(x)≥0,
∴f(x)在［-a,e］上為增函數(shù).
綜上可知，當-e≤a≤-1時f(x)在［1,-a］上為減函數(shù)，在［-a,e］上為增函數(shù).
(2)由f(x)
令g(x)=xlnx-x2,
要使a>xlnx-x2在［1,+∞)上恒成立，
只需a>g(x)max,
g′(x)=lnx-2x+1,
令φ(x)=lnx-2x+1,
則φ′(x)= -2,
∵x≥1,∴φ′(x)<0,∴φ(x)在［1,+∞)上單調(diào)遞減，∴φ(x)≤φ(1)=-1<0,因此g′(x)<0,故g(x)在［1,+∞)上單調(diào)遞減，則g(x)≤g(1)=-1,
∴a的取值范圍是(-1,+∞).
12. 【解析】（1）由題設(shè)可得f(x)+f(-x)=2,即 + =2，解得 .
(2)當x<0時，-x>0且g(x)+g(-x)=2, ∴g(x)=2- g(-x)=-x2+ax+1.
(3)由（1）得f(t)=t+ +1(t>0),其最小值為f(1)=3.
g(x)= -x2+ax+1=-(x-a/2)2+1+ ,
①當
②當
【備課資源】
1.已知函數(shù) ，若 ，則實數(shù) = （ ）
（A）-1 （B） （C）-1或 （D）1或
2. f(x)= 則f(f(2))的值為( )
(A)0(B)1(C)2(D)3
3. 設(shè)a=π 0.3,b=logπ3,c=30,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
(A)a>b>c(B)b>c>a
(C)b>a>c(D)a>c>b
4. 已知函數(shù)y=f(x)與y=ex互為反函數(shù)，函數(shù)y=g(x)的圖象與y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱，若g(a)=1,則實數(shù)a的值為( )
5.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若f(x)的最小正周期為3，f(1)>0，f(2)= ，則m的取值范圍是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6.如圖是函數(shù) 的圖象，則 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
7.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù) 的圖象大致是（ ）
8. 若定義在R上的函數(shù)g(x)滿足：對任意x1,x2有g(shù)(x1+x2)=g(x1)+g(x2)+1,則下列說法一定正確的是( )
(A)g(x)為奇函數(shù)
(B)g(x)為偶函數(shù)
(C)g(x)+1為奇函數(shù)
(D)g(x)+1為偶函數(shù)
9.設(shè) 為奇函數(shù), 為常數(shù).
(1)求 的值得;
(2)證明f(x)在區(qū)間(1,+ )內(nèi)單調(diào)遞增;
(3)若對于區(qū)間[3,4]上的每一個x的值,不等式 恒成立,求實數(shù) 的取值范圍.
參考答案
1. 【解析】選C。當 >0時， ，解得 ；當 ≤0時， ，解得 =-1
2. 【解析】選C.∵f(2)=log3(22-1)=1,
∴f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
3. 【解析】選D.∵a=π0.3>π0=1,0
4. 【解析】選C.由已知得f(x)=lnx,又y=g(x)與y= f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱，∴g(x)=-f(x)=-lnx,又g(a)=1,∴-lna=1,∴a= .
5. 【解析】選C由已知f(2)=f(3-1)=f(-1)=-f(1).又f(1)>0, ∴ <0 .解得 。
6. 【解析】選C.將分數(shù)指數(shù)化為根式， ，由定義域為R，值域為［0，+∞）知n為奇數(shù)，m為偶數(shù)，又由冪函數(shù)y=xα,當α>1時，圖象在第一象限的部分下凸，當0<α<1時，圖象在第一象限的部分上凸，故選C.或由圖象知函數(shù)為偶函數(shù)，∴m為
偶數(shù)，n為奇數(shù).又在第一象限內(nèi)上凸,∴ <1.
7. 【解析】選C.由f(x)圖象知f(x)≥1, ∴ ≤0,結(jié)合圖象知先C.
8. 【解析】選C.由已知：令x1=x2=0得,g(0)=2g(0)+1,
∴g(0)=-1,
令x1=x,x2=-x,則有g(shù)(0)=g(-x)+g(x)+1,
∴有g(shù)(x)+1=-［g(-x)+1］,
故g(x)+1為奇函數(shù).
9. 【解析】(1)由已知f(x)+f(-x)=0即
(2)由(1)得
(3)原不等式可化為
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