第四講 轉(zhuǎn)化與化歸思想
【思想方法詮釋】
數(shù)學(xué)問題的解答離不開轉(zhuǎn)化與化歸，它既是一種數(shù)學(xué)思想，又是一種數(shù)學(xué)能力，是高考重點(diǎn)考查的最重要的思想方法．在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，它無個不在，比如：處理立體幾何問題時，將空間問題轉(zhuǎn)化到一個平面上解決；在解析幾何中，通過建立坐標(biāo)系將幾何問題化歸為代數(shù)問題；復(fù)數(shù)問題化歸為實(shí)數(shù)問題等．
1．轉(zhuǎn)化與化歸的原則
（1）目標(biāo)簡單化原則：將復(fù)雜的問題向簡單的問題轉(zhuǎn)化．
（2）和諧統(tǒng)一性原則：即化歸應(yīng)朝著使待解決問題在表現(xiàn)形式上趨于和諧，在量、形關(guān)系上趨于統(tǒng)一的方向進(jìn)行，使問題的條件和結(jié)論更均勻和恰當(dāng)．
（3）具體化原則：即化歸言論自由應(yīng)由抽象到具體．
（4）低層次原則：即將高維空間問題化歸成低維空間問題．
（5）正難則反原則：即當(dāng)問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解．
2．轉(zhuǎn)化與化歸常用到的方法
（1）直接轉(zhuǎn)化法：把問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題．
（2）換元法：運(yùn)用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題．
（3）數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑．
（4）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題．
（5）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計算方法解決幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑．
（6）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化途徑．
（7）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題．
（8）等價問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的．
（9）加強(qiáng)命題法：在證明不等式時，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強(qiáng)，即命題的結(jié)論加強(qiáng)為原命題的充分條件，反而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個較易證明的命題，比如在證明不等式時：原命題往往難以得證，這時常把結(jié)論加強(qiáng)，使之成為原命題的充分條件，從而易證．
（10）補(bǔ)集法：如果下面解決原問題有困難，可把原問題結(jié)果看作集合A，而包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補(bǔ)集 使原問題得以解決．
【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化
例1：已知函數(shù)f(x)=x2+2x+alnx．或函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，1]上為單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
思路精析：單調(diào)增函數(shù)→不等式恒成立→分離參數(shù)→求函數(shù)最值→實(shí)數(shù)a的范圍
解析： ∵f(x)在區(qū)間(0，1]上為單調(diào)增函數(shù)．∴f’(x)≥0在(0，1]上恒成立．
亦即：a≥-(2x2+2x) 在(0，1]上恒成立，
又 在(0，1]上為單調(diào)遞減，
∴當(dāng)a≥0時，f(x)在區(qū)間(0，1]上為單調(diào)增函數(shù)
注：函數(shù)與方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程，不等式的幫助，因此借助于函數(shù)與方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系化為最值（值域）問題，從而求出參變量的范圍．
要點(diǎn)考向2：正面與反面的轉(zhuǎn)化
例2：有9張卡片分別寫著數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9，甲、乙二人依次從中抽取一張卡片（不放回），試求：
（1）甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的概率．
（2）甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的概率．
思路精析：（1）甲、乙二人依次各抽一張的可能結(jié)果→甲抽到含奇數(shù)，乙抽到含偶數(shù)數(shù)字卡片的結(jié)果→求概率．
（2）找對立事件→求對立事件概率→求出原事件概率．
解答：（1）甲、乙二人依次從九張卡片中各抽取一張的可能結(jié)果有 ，甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的結(jié)果有 種，設(shè)甲抽到寫有奇數(shù)數(shù)字卡片，且乙抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片的概率為P1，則
（2）設(shè)甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字的概率為P2，甲、乙二人至少抽到一張奇數(shù)數(shù)字卡片的對立事件為兩人均抽到寫有偶數(shù)數(shù)字卡片．設(shè)為 ，
則
注：一般地，一個題目若出現(xiàn)多種成立的情況，則不成立的情況一般較少，宜從反而考慮，多使用于“至多”“至少”這種情形．
要點(diǎn)考向3：命題的等價轉(zhuǎn)化
例3：已知f(x)為定義在實(shí)數(shù)R上的奇函數(shù)，且f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù)．當(dāng) 時，是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使 對所有的 均成立？若存在，求出所有適合條件的實(shí)數(shù)m；若不存在，請說明理由．
思路精析：由奇偶性及單調(diào)性→f(x)單調(diào)性→關(guān)于 的不等式→一元二次不等式恒成立→函數(shù)最值→m的范圍．
解析：由f(x)是R上的奇函數(shù)可得f(0)=0．又在[0,+∞)上是增函數(shù)，故f(x)在R上為增函數(shù)．由題設(shè)條件可得 又由f(x)為奇函數(shù)，
可得 ∵f(x)在R上為增函數(shù)，∴ 即
．令 于是問題轉(zhuǎn)化為對一切0≤t≤1,不等式t2-mt+2m-2＞0恒成立．
又
∴存在實(shí)數(shù)m滿足題設(shè)的條件，
注：根據(jù)問題的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化命題，使原問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)，易于解決的新問題，是我們解決數(shù)學(xué)問題的常用思路，常見的有：
（1）在三角函數(shù)中，涉及到三角式的變形，一般通過轉(zhuǎn)化與化歸將復(fù)雜的三角問題轉(zhuǎn)化為已知或易解的三角問題，以起到化暗為明的作用，主要的方法有公式化的“三用”（順用、逆用、變形用）、角度的轉(zhuǎn)化、函數(shù)的轉(zhuǎn)化等．
（2）換元法：是將一個復(fù)雜的或陌生的函數(shù)、方程、不等式轉(zhuǎn)化為簡單的或熟悉的函數(shù)、方程、不等式的一種重要方法．
（3）在解決平面向量與三角函數(shù)、平面幾何、解析幾何等知識的交匯題目時，常將平面向量語言與三角函數(shù)，平面幾何、解析幾何語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
（4）在解決數(shù)列問題時，常將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列求解．
（5）在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題時，常將函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）、切線問題，轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)f’(x)構(gòu)成的方程、不等問題求解．
（6）在解決解析幾何、立體幾何問題時，常常在數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
（7）實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化．
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1．若復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)（ 是虛數(shù)單位， 是實(shí)數(shù)），則 （ ）
A． B． C． D．2
2．已知 是定義在 上的增函數(shù)，函數(shù) 的圖像關(guān)于點(diǎn) 對稱，若 滿足 ，則當(dāng) 時， 的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，過 作垂直于 軸的直線交雙曲線于 、 兩點(diǎn)，若 為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
4．將一個正方體截去四個角得到一個四面體BDA1C1，這個四面體的體積是正方體體積的 （ ）
5.對于拋物線y2=4x上任意一點(diǎn)Q，如果點(diǎn)P（a，0）滿足PQ≥a,則a的取值范圍是（ ）
(A)（-∞,0) (B)(-∞,2］
(C)［0,2］ (D)(0,2)
6．設(shè) 分別為具有公共焦點(diǎn) 的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個公共點(diǎn)，且滿足 的值為（ ）
A．2B． C．4D．
二、填空題（每小題6分，共18分）
7． ，當(dāng)A∩B有且只有一個元素時，a、b滿足的關(guān)系式是
8. 當(dāng)x∈(1,2)時，不等式x2+mx+4＜0恒成立，則m的取值范圍是_______.
9.如圖,三棱錐P—ABC中,各條棱的長都是2,E是側(cè)棱PC的中點(diǎn),D是側(cè)棱PB上任一點(diǎn),則△ADE的最小周長為_____.
三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）
10．已知向量m=(1,1)，向量 與向量 夾角為 ，且 ? =-1，
(1)求向量 ；
(2)若向量 與向量 =(1,0)的夾角為 ，向量 =(cosA,2cos2 )，其中A、C為?ABC的內(nèi)角，且A、B、C依次成等差數(shù)列，試求? + ?的取值范圍。
11．已知可行域 的外接圓C與 軸交于點(diǎn)A1、A2，橢圓C1以線段A1A2為短軸，離心率
（Ⅰ）求圓C及橢圓C1的方程；
（Ⅱ）過橢圓C1上一點(diǎn)P(不在坐標(biāo)軸上)向圓C引兩條切線PA、PB、A、B為切點(diǎn)，直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N．求△MON面積的最小值．（O為原點(diǎn)）．
12．設(shè)函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng) 曲線 處的切線斜率
（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅲ）已知函數(shù) 有三個互不相同的零點(diǎn)0， ，且 。若對任意的 ， 恒成立，求m的取值范圍。
參考答案
1．A
2．C
3．A
4．解析：選B．設(shè)正方體棱長為a，則
5．
6．A
7．解析：A∩B有且只有一個元素可轉(zhuǎn)化為直線 與圓 相切，故
8．【解析】不等式x2+mx+4＜0在（1，2）恒成立，
又x∈(1,2)∴g′(x)＞0,
∴g(x)在（1，2）為單調(diào)增函數(shù)，∴m≤-5.
答案：m≤-5
9．【解析】把空間問題化歸成平面問題,是立體幾何中化歸思想最重要的內(nèi)容.有這種思想作指導(dǎo),結(jié)合題干圖,由于AE是定長: 故只要把側(cè)面PAB、PBC展平,那么當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時的AE長,即AD+DE的值最小.
在如圖所示的△AEP中,PA=2,PE=1,∠APE=120°,故依余弦定理有AE2=22+12-2?2?1?cos120°=7,所以AE= ,于是得△AED的最小周長為 .
答案：
10．解析：(1)設(shè) =(x,y)
則由< , >= 得：cos< , >= = ①
由 ? =-1得x+y=-1 ②
聯(lián)立①②兩式得 或
∴ =(0,-1)或(-1,0)
(2) ∵< , >=
得 ? =0
若 =(1,0)則 ? =-1?0
故 ?(-1,0) ∴ =(0,-1)
∵2B=A+C，A+B+C=?
?B= ∴C=
+ =(cosA,2cos2 )
=(cosA,cosC)
∴? + ?= = =
=
=
∵0
∴-1
11．解析：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以 及點(diǎn) 為頂點(diǎn)的三角形，∵ ，∴ 為直角三角形， ┅┅┅┅┅┅┅2分
∴外接圓C以原點(diǎn)O為圓心，線段A1A2為直徑，故其方程為 ．
∵2b=4，∴b=2．又 ，可得 ．
∴所求橢圓C1的方程是 ． ┅┅┅┅┅┅┅4分
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， ，OA的斜率為 ，則PA的斜率為 ，則PA的方程為： 化簡為： ，
同理PB的方程為 ┅┅┅┅┅┅┅6分
又PA、PB同時過P點(diǎn)，則x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，
∴AB的直線方程為：x0x+y0y=4 ┅┅┅┅┅┅┅8分
（或者求出以O(shè)P為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）
從而得到 、 所以 ┅┅8分
當(dāng)且僅當(dāng) . ┅┅┅┅┅┅┅12分
（或者利用橢圓的參數(shù)方程 、函數(shù)求最值等方法求 的最大值）
12．解析：當(dāng)
所以曲線 處的切線斜率為1.
（2） ，令 ，得到
因?yàn)?
當(dāng)x變化時， 的變化情況如下表：
極小值
極大值
在 和 內(nèi)減函數(shù)，在 內(nèi)增函數(shù)。
函數(shù) 在 處取得極大值 ，且 =
函數(shù) 在 處取得極小值 ，且 =
（3）由題設(shè)，
所以方程 =0由兩個相異的實(shí)根 ，故 ，且 ，解得
因?yàn)?
若 ，而 ，不合題意
若 則對任意的 有
則 又 ，所以函數(shù) 在 的最小值為0，于是對任意的 ， 恒成立的充要條件是 ,解得
綜上，m的取值范圍是
【備課資源】
1．設(shè)橢圓 的半徑焦距為c，直線 過(0,a)和(b,0)，已知原點(diǎn)到 的距離等于 ，則橢圓的離心率為 （ ）
解析：選B．由已知得：
2．某小組共10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的概率為（ ）
解析：選B．利用正難則反轉(zhuǎn)化：
3．從雙曲線 的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線l,切點(diǎn)為T，且l交雙曲線的右支于點(diǎn)P，若點(diǎn)M是線段FP的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OM-TM等于（ ）
4.已知a＞0，f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1)，l是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(0,f(0))處的切線.
（1）求l的方程；
（2）若切線l與曲線y=f(x)有且只有一個公共點(diǎn)，求a的值；
（3）證明：對于任意的a=n(n∈N*),函數(shù)y=f(x)總有單調(diào)遞減區(qū)間，并求出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍.（區(qū)間［x1,x2］的長度=x2-x1)
【解析】(1)∵f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),f(0)=1.
∴f′(0)=-1,
即切點(diǎn)P(0,1)，l斜率為-1，
∴切線l的方程：y=-x+1.
(2)切線l與曲線y=f(x)有且只有一個公共點(diǎn)等價于方程ax2-2x+1+ln(x+1)=-x+1，
即ax2-x+ln(x+1)=0有且只有一個實(shí)數(shù)解.
令h(x)=ax2-x+ln(x+1),
則方程h(x)=0有且只有一個實(shí)數(shù)解.
∵h(yuǎn)(0)=0,∴方程h(x)=0有一解x=0.
5.設(shè)函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
(1)當(dāng)a=0時，f(x)≥h(x)在（1，+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)當(dāng)m=2時，若函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有兩個不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(3)是否存在實(shí)數(shù)m,使函數(shù)f(x)和函數(shù)h(x)在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/62287.html
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