一．映射 : A B的概念。在理解映射概念時要注意：㈠中元素必須都有象且唯一；㈡B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如：
（1）設(shè) 是集合 到 的映射，下列說法正確的是 A、 中每一個元素在 中必有象 B、 中每一個元素在 中必有原象 C、 中每一個元素在 中的原象是唯一的 D、 是 中所在元素的象的集合
（答：A）；
（2）點 在映射 的作用下的象是 ，則在 作用下點 的原象為點________
（答：（2，－1））；
（3）若 ， ， ，則 到 的映射有 個， 到 的映射有 個， 到 的函數(shù)有 個
（答：81,64,81）；
（4）設(shè)集合 ，映射 滿足條件“對任意的 ， 是奇數(shù)”，這樣的映射 有____個
（答：12）；
（5）設(shè) 是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，則 一定是_____
（答： 或{1}）.
二．函數(shù) : A B是特殊的映射。特殊在定義域A和值域B都是非空數(shù)集！據(jù)此可知函數(shù)圖像與 軸的垂線至多有一個公共點，但與 軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。如：
（1）已知函數(shù) ， ，那么集合 中所含元素的個數(shù)有 個
（答： 0或1）；
（2）若函數(shù) 的定義域、值域都是閉區(qū)間 ，則 ＝
（答：2）
三．同一函數(shù)的概念。構(gòu)成函數(shù)的三要素是定義域，值域和對應(yīng)法則。而值域可由定義域和對應(yīng)法則唯一確定，因此當兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同時，它們一定為同一函數(shù)。如
若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為 ，值域為{4，1}的“天一函數(shù)”共有______個
（答：9）
四．求函數(shù)定義域的常用方法（在研究函數(shù)問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則）：
1．根據(jù)解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數(shù) 中 且 ，三角形中 , 最大角 ，最小角 等。如
（1）函數(shù) 的定義域是____
(答： )；
（2）若函數(shù) 的定義域為R，則 _______
(答： )；
（3）函數(shù) 的定義域是 ， ，則函數(shù) 的定義域是__________
(答： )；
（4）設(shè)函數(shù) ，①若 的定義域是R，求實數(shù) 的取值范圍；②若 的值域是R，求實數(shù) 的取值范圍
（答：① ；② ）
2．根據(jù)實際問題的要求確定自變量的范圍。
3．復(fù)合函數(shù)的定義域：若已知 的定義域為 ,其復(fù)合函數(shù) 的定義域由不等式 解出即可；若已知 的定義域為 ,求 的定義域，相當于當 時，求 的值域（即 的定義域）。如
（1）若函數(shù) 的定義域為 ，則 的定義域為__________
（答： ）；
（2）若函數(shù) 的定義域為 ，則函數(shù) 的定義域為________
（答：[1,5]）．
五．求函數(shù)值域（最值）的方法：
1．配方法??二次函數(shù)（二次函數(shù)在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間 上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數(shù)的最值問題，勿忘數(shù)形結(jié)合，注意“兩看”：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關(guān)系），如
（1）求函數(shù) 的值域
（答：[4,8]）；
（2）當 時，函數(shù) 在 時取得最大值，則 的取值范圍是___
（答： ）；
（3）已知 的圖象過點（2,1），則 的值域為______
（答：[2, 5]）
2．換元法??通過換元把一個較復(fù)雜的函數(shù)變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?shù)，其函數(shù)特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，如
（1） 的值域為_____
（答： ）；
（2） 的值域為_____
（答： ）
（3） 的值域為____
（答： ）；
（4） 的值域為____
（答： ）；
3．函數(shù)有界性法??直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定所求函數(shù)的值域，最常用的就是三角函數(shù)的有界性，如
求函數(shù) ， ， 的值域
（答： 、（0,1）、 ）；
4．單調(diào)性法??利用一次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性，如
求 ， ， 的值域
（答： 、 、 ）；
5．數(shù)形結(jié)合法??函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，如
（1）已知點 在圓 上，求 及 的取值范圍
（答： 、 ）；
（2）求函數(shù) 的值域
（答： ）；
（3）求函數(shù) 及 的值域
（答： 、 ）
注意：求兩點距離之和時，要將函數(shù)式變形，使兩定點在 軸的兩側(cè)，而求兩點距離之差時，則要使兩定點在 軸的同側(cè)。
6．判別式法??對分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：
① 型，可直接用不等式性質(zhì)，如
求 的值域
（答： ）
② 型，先化簡，再用均值不等式，如
（1）求 的值域
（答： ）；
（2）求函數(shù) 的值域
（答： ）
③ 型，通常用判別式法；如
已知函數(shù) 的定義域為R，值域為[0，2]，求常數(shù) 的值
（答： ）
④ 型，可用判別式法或均值不等式法，如
求 的值域
（答： ）
7．不等式法??利用基本不等式 求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧。如
設(shè) 成等差數(shù)列， 成等比數(shù)列，則 的取值范圍是__.
（答： ）。
8．導(dǎo)數(shù)法??一般適用于高次多項式函數(shù)，如
求函數(shù) ， 的最小值。
（答：－48）
提醒：（1）求函數(shù)的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？
（2）函數(shù)的最值與值域之間有何關(guān)系？
六．分段函數(shù)的概念。分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)，它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值 時，一定首先要判斷 屬于定義域的哪個子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。如
（1）設(shè)函數(shù) ，則使得 的自變量 的取值范圍是__
（答： ）；
（2）已知 ，則不等式 的解集_____
（答： ）
七．求函數(shù)解析式的常用方法：
1．待定系數(shù)法??已知所求函數(shù)的類型（二次函數(shù)的表達形式有三種：一般式： ；頂點式： ；零點式： ，要會根據(jù)已知條件的特點，靈活地選用二次函數(shù)的表達形式）。如
已知 為二次函數(shù)，且 ，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為2 ,求 的解析式 。
（答： ）
2．代換（配湊）法??已知形如 的表達式，求 的表達式。如
（1）已知 求 的解析式
（答： ）；
（2）若 ，則函數(shù) =_____
（答： ）；
（3）若函數(shù) 是定義在R上的奇函數(shù)，且當 時， ，那么當 時， =________
（答： ）.
這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即 的定義域應(yīng)是 的值域。
3．方程的思想??已知條件是含有 及另外一個函數(shù)的等式，可抓住等式的特征對等式的進行賦值，從而得到關(guān)于 及另外一個函數(shù)的方程組。如
（1）已知 ，求 的解析式
（答： ）；
（2）已知 是奇函數(shù)， 是偶函數(shù)，且 + = ,則 = _
（答： ）。
八．反函數(shù)：
1．存在反函數(shù)的條件是對于原來函數(shù)值域中的任一個 值，都有唯一的 值與之對應(yīng)，故單調(diào)函數(shù)一定存在反函數(shù)，但反之不成立；偶函數(shù)只有 有反函數(shù)；周期函數(shù)一定不存在反函數(shù)。如
函數(shù) 在區(qū)間[1, 2]上存在反函數(shù)的充要條件是
A、 B、 C、 D、
�。ù穑篋）
2．求反函數(shù)的步驟：①反求 ；②互換 、 ；③注明反函數(shù)的定義域（原來函數(shù)的值域）。注意函數(shù) 的反函數(shù)不是 ，而是 。如
設(shè) .求 的反函數(shù)
（答： ）．
3．反函數(shù)的性質(zhì)：
①反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，反函數(shù)的值域是原來函數(shù)的定義域。如
單調(diào)遞增函數(shù) 滿足條件 = x ，其中 ≠ 0 ，若 的反函數(shù) 的定義域為 ，則 的定義域是____________
（答：[4,7]）.
②函數(shù) 的圖象與其反函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱，注意函數(shù) 的圖象與 的圖象相同。如
（1）已知函數(shù) 的圖象過點(1,1),那么 的反函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點_
（答：（1,3））；
（2）已知函數(shù) ，若函數(shù) 與 的圖象關(guān)于直線 對稱，求 的值
（答： ）；
③ 。如
（1）已知函數(shù) ，則方程 的解 ______
（答：1）；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點（1,2）對稱，且存在反函數(shù) ，f (4)＝0，則 ＝
（答：－2）
④互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性和奇函數(shù)性。如
已知 是 上的增函數(shù)，點 在它的圖象上， 是它的反函數(shù)，那么不等式 的解集為________
（答：（2,8））；
⑤設(shè) 的定義域為A，值域為B，則有 ，
，但 。
九．函數(shù)的奇偶性。
1．具有奇偶性的函數(shù)的定義域的特征：定義域必須關(guān)于原點對稱！為此確定函數(shù)的奇偶性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱。如
若函數(shù) ， 為奇函數(shù)，其中 ，則 的值是
（答：0）；
2．確定函數(shù)奇偶性的常用方法（若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性）：
①定義法：如判斷函數(shù) 的奇偶性____（答：奇函數(shù)）。
②利用函數(shù)奇偶性定義的等價形式： 或 （ ）。如
判斷 的奇偶性___.（答：偶函數(shù)）
③圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于 軸對稱。
3．函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：
①奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.
②如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還是奇函數(shù).
③若 為偶函數(shù)，則 .如
若定義在R上的偶函數(shù) 在 上是減函數(shù)，且 =2，則不等式 的解集為______.
（答： ）
④若奇函數(shù) 定義域中含有0，則必有 .故 是 為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件。如
若 為奇函數(shù)，則實數(shù) ＝____（答：1）.
⑤定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和（或差）”。如
設(shè) 是定義域為R的任一函數(shù)， ， 。①判斷 與 的奇偶性； ②若將函數(shù) ，表示成一個奇函數(shù) 和一個偶函數(shù) 之和，則 ＝____
（答：① 為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)；② ＝ ）
⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.
⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個（ ，定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集）.
十．函數(shù)的單調(diào)性。
1．確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的常用方法：
①在解答題中常用：定義法（取值??作差??變形??定號）、導(dǎo)數(shù)法（在區(qū)間 內(nèi)，若總有 ，則 為增函數(shù)；反之，若 在區(qū)間 內(nèi)為增函數(shù)，則 ，請注意兩者的區(qū)別所在。如
已知函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，則 的取值范圍是____
(答： ）)；
②在選擇填空題中還可用數(shù)形結(jié)合法、特殊值法等等，特別要注意
型函數(shù)的圖象和單調(diào)性在解題中的運用：增區(qū)間為 ，減區(qū)間為 .如
（1）若函數(shù) 在區(qū)間（－∞，4] 上是減函數(shù)，那么實數(shù) 的取值范圍是______
(答： ）)；
（2）已知函數(shù) 在區(qū)間 上為增函數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍_____
（答： ）；
（3）若函數(shù) 的值域為R，則實數(shù) 的取值范圍是______
(答： 且 ）)；
③復(fù)合函數(shù)法：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的特點是同增異減，如
函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是________
(答：（1,2）)。
2．特別提醒：求單調(diào)區(qū)間時，一是勿忘定義域，如若函數(shù) 在區(qū)間 上為減函數(shù)，求 的取值范圍（答： ）；二是在多個單調(diào)區(qū)間之間不一定能添加符號“ ”和“或”；三是單調(diào)區(qū)間應(yīng)該用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示．
3．你注意到函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的逆用了嗎?（①比較大��；②解不等式；③求參數(shù)范圍）.如已知奇函數(shù) 是定義在 上的減函數(shù),若 ，求實數(shù) 的取值范圍。（答： ）
十一．常見的圖象變換
1．函數(shù) 的圖象是把函數(shù) 的圖象沿 軸向左平移 個單位得到的。如
設(shè) 的圖像與 的圖像關(guān)于直線 對稱， 的圖像由 的圖像向右平移1個單位得到，則 為__________
(答： )
2．函數(shù) ( 的圖象是把函數(shù) 的圖象沿 軸向右平移 個單位得到的。如
（1）若 ，則函數(shù) 的最小值為____
(答：2)；
（2）要得到 的圖像，只需作 關(guān)于_____軸對稱的圖像，再向____平移3個單位而得到
(答： ；右)；
（3）函數(shù) 的圖象與 軸的交點個數(shù)有____個
(答：2)
3．函數(shù) + 的圖象是把函數(shù) 助圖象沿 軸向上平移 個單位得到的；
4．函數(shù) + 的圖象是把函數(shù) 助圖象沿 軸向下平移 個單位得到的；如
將函數(shù) 的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線 對稱,那么
(答：C)
5．函數(shù) 的圖象是把函數(shù) 的圖象沿 軸伸縮為原來的 得到的。如
（1）將函數(shù) 的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?（縱坐標不變），再將此圖像沿 軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為_____
(答： )；
（2）如若函數(shù) 是偶函數(shù)，則函數(shù) 的對稱軸方程是_______
(答： )．
6．函數(shù) 的圖象是把函數(shù) 的圖象沿 軸伸縮為原來的 倍得到的.
十二．函數(shù)的對稱性。
1．滿足條件 的函數(shù)的圖象關(guān)于直線 對稱。如
已知二次函數(shù) 滿足條件 且方程 有等根，則 ＝_____
(答： )；
2．點 關(guān)于 軸的對稱點為 ；函數(shù) 關(guān)于 軸的對稱曲線方程為 ；
3．點 關(guān)于 軸的對稱點為 ；函數(shù) 關(guān)于 軸的對稱曲線方程為 ；
4．點 關(guān)于原點的對稱點為 ；函數(shù) 關(guān)于原點的對稱曲線方程為 ；
5．點 關(guān)于直線 的對稱點為 ；曲線 關(guān)于直線 的對稱曲線的方程為 。特別地，點 關(guān)于直線 的對稱點為 ；曲線 關(guān)于直線 的對稱曲線的方程為
；點 關(guān)于直線 的對稱點為 ；曲線 關(guān)于直線 的對稱曲線的方程為 。如
己知函數(shù) ,若 的圖像是 ,它關(guān)于直線 對稱圖像是 關(guān)于原點對稱的圖像為 對應(yīng)的函數(shù)解析式是___________
（答： ）；
6．曲線 關(guān)于點 的對稱曲線的方程為 。如
若函數(shù) 與 的圖象關(guān)于點（-2，3）對稱，則 ＝______
（答： ）
7．形如 的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線 (由分母為零確定)和直線 (由分子、分母中 的系數(shù)確定)，對稱中心是點 。如
已知函數(shù)圖象 與 關(guān)于直線 對稱，且圖象 關(guān)于點（2，－3）對稱，則a的值為______
（答：2）
8． 的圖象先保留 原來在 軸上方的圖象，作出 軸下方的圖象關(guān)于 軸的對稱圖形，然后擦去 軸下方的圖象得到； 的圖象先保留 在 軸右方的圖象，擦去 軸左方的圖象，然后作出 軸右方的圖象關(guān)于 軸的對稱圖形得到。如
（1）作出函數(shù) 及 的圖象；
（2）若函數(shù) 是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù) 的圖象關(guān)于____對稱
（答： 軸）
提醒：（1）從結(jié)論②③④⑤⑥可看出，求對稱曲線方程的問題，實質(zhì)上是利用代入法轉(zhuǎn)化為求點的對稱問題；（2）證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（3）證明圖像 與 的對稱性，需證兩方面：①證明 上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在 上；②證明 上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在 上。如
（1）已知函數(shù) 。求證：函數(shù) 的圖像關(guān)于點 成中心對稱圖形；
（2）設(shè)曲線C的方程是 ,將C沿 軸, 軸正方向分別平行移動 單位長度后得曲線 。①寫出曲線 的方程
（答： ）；②證明曲線C與 關(guān)于點 對稱。
十三．函數(shù)的周期性。
1．類比“三角函數(shù)圖像”得：
①若 圖像有兩條對稱軸 ，則 必是周期函數(shù)，且一周期為 ；
②若 圖像有兩個對稱中心 ，則 是周期函數(shù)，且一周期為 ；
③如果函數(shù) 的圖像有一個對稱中心 和一條對稱軸 ，則函數(shù) 必是周期函數(shù)，且一周期為 ；
如已知定義在 上的函數(shù) 是以2為周期的奇函數(shù)，則方程 在 上至少有__________個實數(shù)根（答：5）
2．由周期函數(shù)的定義“函數(shù) 滿足 ，則 是周期為 的周期函數(shù)”得：
①函數(shù) 滿足 ，則 是周期為2 的周期函數(shù)；
②若 恒成立，則 ；
③若 恒成立，則 .
如(1) 設(shè) 是 上的奇函數(shù)， ，當 時， ，則 等于_____
(答： )；
(2)定義在 上的偶函數(shù) 滿足 ，且在 上是減函數(shù)，若 是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則 的大小關(guān)系為________
_(答： )；
（3）已知 是偶函數(shù)，且 =993， = 是奇函數(shù)，求 的值
(答：993)；
（4）設(shè) 是定義域為R的函數(shù)，且 ，又 ，則 =
(答： )
十四．指數(shù)式、對數(shù)式：
， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 。如
（1） 的值為________
(答：8)；
（2） 的值為________
(答： )
十五．指數(shù)、對數(shù)值的大小比較：
（1）化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性；
（2）作差或作商法；
（3）利用中間量（0或1）；
（4）化同指數(shù)（或同真數(shù)）后利用圖象比較。
十六．函數(shù)的應(yīng)用。（1）求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟：①審題??認真讀題，確切理解題意，明確問題的實際背景，尋找各量之間的內(nèi)存聯(lián)系；②建模??通過抽象概括，將實際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，別忘了注上符合實際意義的定義域；③解模??求解所得的數(shù)學(xué)問題；④回歸??將所解得的數(shù)學(xué)結(jié)果，回歸到實際問題中去。（2）常見的函數(shù)模型有：①建立一次函數(shù)或二次函數(shù)模型；②建立分段函數(shù)模型；③建立指數(shù)函數(shù)模型；④建立 型。
十七．抽象函數(shù)：抽象函數(shù)通常是指沒有給出函數(shù)的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、解析遞推式等）的函數(shù)問題。求解抽象函數(shù)問題的常用方法是：
1．借鑒模型函數(shù)進行類比探究。幾類常見的抽象函數(shù) ：
①正比例函數(shù)型： --------------- ；
②冪函數(shù)型： -------------- ， ；
③指數(shù)函數(shù)型： ------------ ， ；
④對數(shù)函數(shù)型： ----- ， ；
⑤三角函數(shù)型： ----- 。如已知 是定義在R上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為T，則 ____（答：0）
2．利用函數(shù)的性質(zhì)（如奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）進行演繹探究：如
（1）設(shè)函數(shù) 表示 除以3的余數(shù)，則對任意的 ，都有
A、 B、
C、 D、
（答：A）；
（2）設(shè) 是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足 ，如果 ， ，求
（答：1）；
（3）如設(shè) 是定義在 上的奇函數(shù)，且 ，證明：直線 是函數(shù) 圖象的一條對稱軸；
（4）已知定義域為 的函數(shù) 滿足 ，且當 時， 單調(diào)遞增。如果 ，且 ，則 的值的符號是____
（答：負數(shù)）
3．利用一些方法（如賦值法（令 ＝0或1，求出 或 、令 或 等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。如
（1）若 ， 滿足 ，則 的奇偶性是______
（答：奇函數(shù)）；
（2）若 ， 滿足 ，則 的奇偶性是______
（答：偶函數(shù)）；
（3）已知 是定義在 上的奇函數(shù)，當 時， 的圖像如右圖所示，那么不等式 的解集是_____________
（答： ）；
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