音美班案1 數(shù)列的概念
一、基礎知識
1．數(shù)列的概念：數(shù)列是按一定的順序排列的一列數(shù)，在函數(shù)意義下，數(shù)列是定義域為正整數(shù)N*或其子集{1，2，3，……n}的函數(shù)f(n)．數(shù)列的一般形式為a1，a2，…，an…，簡記為{an}，其中an是數(shù)列{an}的第 項．
2．數(shù)列的通項公式
一個數(shù)列{an}的 與 之間的函數(shù)關系，如果可用一個公式an＝f(n)來表示，我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．
3．在數(shù)列{an}中，前n項和Sn與通項an的關系為：
4．求數(shù)列的通項公式的其它方法
⑴ 公式法：等差數(shù)列與等比數(shù)列采用首項與公差(公比)確定的方法．
⑵ 觀察歸納法：先觀察哪些因素隨項數(shù)n的變化而變化，哪些因素不變；初步歸納出公式，再取n的特珠值進行檢驗，最后用數(shù)學歸納法對歸納出的結果加以證明．
⑶ 遞推關系法：先觀察數(shù)列相鄰項間的遞推關系，將它們一般化，得到的數(shù)列普遍的遞推關系，再通過代數(shù)方法由遞推關系求出通項公式
二、典型例題
例1. 根據(jù)下面各數(shù)列的前n項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式．
⑴ － ， ，－ ， …；
⑵ 1，2，6，13，23，36，…；
⑶ 1，1，2，2，3，3，
變式訓練1.某數(shù)列{an}的前四項為0， ，0， ，則以下各式：
① an＝ [1＋(－1)n] ② an＝ ③ an＝
其中可作為{an}的通項公式的是（ ）A．①B．①② C．②③ D．①②③
例2. 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，求通項．
⑴ Sn＝3n－2
⑵ Sn＝n2＋3n＋1
變式訓練2：已知數(shù)列{an}的前n項的和Sn滿足關系式lg(Sn－1)＝n，(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為 ．
例3. 根據(jù)下面數(shù)列{an}的首項和遞推關系，探求其通項公式．
⑴ a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)
⑵ a1＝1，an＝ (n≥2)
⑶ a1＝1，an＝ (n≥2)
變式訓練3.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)，求該數(shù)列的通項公式．
三、課后練習
1、(2009?北京石景山)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n3，則a3＋a6的值為( )
A．91 B．152 C．218 D．279
2．已知數(shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33 C．－30 D．－21
3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2等于( )
A．4 B．2 C．1 D．－2
4．已知數(shù)列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
5．根據(jù)下列條件，求數(shù)列的通項公式an.
(1)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n；
(2)在數(shù)列{an}中，an＋1＝n＋2nan，a1＝4；
(3)在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an－1；
四、歸納小結
1．由Sn求an時，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2這個條件，a1應由a1＝S1來確定，最后看二者能否統(tǒng)一．
2．由遞推公式求通項公式的常見形式有：an＋1－an＝f(n)， ＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分別用累加法、累乘法、迭代法（或換元法）．
音美班案2 等差數(shù)列
一、基礎知識
1．等差數(shù)列的定義： － ＝d（d為常數(shù)）．
2．等差數(shù)列的通項公式：⑴ an＝a1＋ ×d ⑵ an＝am＋ ×d
3．等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝ ＝ ．
4．等差中項：如果a、b、c成等差數(shù)列，則b叫做a與c的等差中項，即b＝ ．
5．數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩個重要結論：
⑴ 數(shù)列{an}的通項公式可寫成an＝pn＋q(p, q∈R)
⑵ 數(shù)列{an}的前n項和公式可寫成Sn＝an2＋bn (a, b∈R)
6．等差數(shù)列{an}的兩個重要性質：⑴ m, n, p, q∈N*，若m＋n＝p＋q，則 ．
⑵ 數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 數(shù)列．
二、典型例題
例1. 在等差數(shù)列{an}中，
(1)已知a15＝10，a45＝90，求a60；
(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；
(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．
變式訓練1.在等差數(shù)列{an}中，a5＝3，a6＝－2，則a4＋a5＋…＋a10＝ ．
例2.等差數(shù)列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為( )
A．130 B．170 C．210 D．260
變式訓練2．兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和的比 ，則 的值是（ ）
A． B． C． D．
例3. 在等差數(shù)列{an}中，a1＝25，S9＝S17，問此數(shù)列前幾項的和最大？
例4. 已知數(shù)列{an}滿足a1＝2a，an＝2a－ （n≥2）．其中a是不為0的常數(shù)，令bn＝ ．
⑴ 求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
⑵ 求數(shù)列{an}的通項公式．
變式訓練2.已知公比為3的等比數(shù)列 與數(shù)列 滿足 ，且 ，
（1）判斷 是何種數(shù)列，并給出證明；
（2）若 ，求數(shù)列 的前n項和
三．課后練習
1(2009?陜西，13)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝S3＝12，則{an}的通項an＝________.
2(2009?北京宣武)在等差數(shù)列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，則2a9－a10＝( )
A．24 B．22 C．20 D．－8
3．在等差數(shù)列{an}中，a3＝9，a9＝3，則a12＝( )
A．0 B．3 C．6 D．－3
4(2009?北京朝陽)在等差數(shù)列{an}中，設Sn為其前n項和，已知a2a3＝13，則S4S5等于( )A.815 B.40121 C.1625 D.57
5(2009?海南�？�)設{an}是公差為－2的等差數(shù)列，如果a1＋a4＋a7＝50，則a6＋a9＋a12＝( )A．40 B．30 C．20 D．10
6(2010?福建省六校聯(lián)考試題)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＋a5＝12S5，且a9＝20，則S11＝( )A．260 B．220 C．130 D．110
7(2011?原創(chuàng)題)等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，a1＝2010，S20072007－S20052005＝－2，則S2010的值為( )A．－2009 B．2009 C．－2010 D．2010
8(2009?全國Ⅰ，14)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S9＝72，則a2＋a4＋a9＝________.
9．若{an}是等差數(shù)列，首項a1＞0，a2003＋a2004＞0，a2003?a2004＜0，則使前n項和Sn＞0成立的最大自然數(shù)n是__________．
四、歸納小結
1．欲證{an}為等差數(shù)列，最常見的做法是證明：an＋1－an＝d(d是一個與n無關的常數(shù))．
2．a1，d是等差數(shù)列的最關鍵的基本量，通常是先求出a1，d，再求其他的量，但有時運算較繁．
3．高考中對性質的考察及等差數(shù)列基本公式考察較多，同學們要熟記。
音美班教學案3等比數(shù)列
一、基礎知識
1．等比數(shù)列的定義： ＝q（q為不等于零的常數(shù)）．
2．等比數(shù)列的通項公式：⑴ an＝a1qn－1 ⑵ an＝amqn－m
3．等比數(shù)列的前n項和公式： Sn＝
4．等比中項：如果a，b，c成等比數(shù)列，那么b叫做a與c的等比中項，即b2＝ （或b＝ ）．
5．等比數(shù)列{an}的幾個重要性質：
⑴ m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，則 ．
⑵ Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和且Sn≠0，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成 數(shù)列．
⑶ 若等比數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足{Sn}是等差數(shù)列，則{an}的公比q＝ ．
二、典型例題
例1. 已知等比數(shù)列{an}，a2＝8，a5＝512.
(1)求{an}的通項公式；
(2)令bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
變式訓練1.已知等比數(shù)列{an}前n項和Sn＝2n－1，{an2}前n項和為Tn，求Tn的表達式
例2. 5．(2009?遼寧，6)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6S3＝3，則S9S6＝( )
A．2 B.73 C.83 D．3
變式訓練2. (2009?全國Ⅱ，13)設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1＝1，S6＝4S3，則a4＝________.
例3. 已知等比數(shù)列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求項數(shù)n和公比q的值．
變式訓練3.已知等比數(shù)列{an}中，a1?a9＝64，a3＋a7＝20，則a11＝
例4(2009?陜西，21)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，證明：{bn}是等比數(shù)列；
(2)求{an}的通項公式．
變式訓練4在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4 an－3n＋1，n∈N*.
(1)證明數(shù)列{ an－n}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{ an }的前n項和Sn；
三、課后練習
1、(2009北京西城)若數(shù)列{an}是公比為4的等比數(shù)列，且a1＝2，則數(shù)列{log2an}是( ) A．公差為2的等差數(shù)列 B．公差為lg 2的等差數(shù)列
C．公比為2的等比數(shù)列 D．公比為lg 2的等比數(shù)列
2、（2009河南實驗中學)設各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若第五項與第六項的積為81，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值是( )A．5 B．10 C．20 D．40
3、(2009河南六市)設各項均為實數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10＝10，S30＝70，則S40＝( )A．150 B．－200 C．150或－200 D．400或－50
4．由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，a1＝13，a2?a4＝9，則a5＝_____S3＝______.
四、歸納小結
1．在等比數(shù)列的求和公式中，當公比q≠1時，適用公式Sn＝ ；當q＝1時，適用公式Sn＝na1；若q的范圍未確定時，應對q＝1和q≠1討論求和．
2．在等比數(shù)列中，若公比q > 0且q≠1時，可以用指數(shù)函數(shù)的單調性確定數(shù)列的最大項或最小項．
3．若有四個數(shù)構成的函數(shù)，前三個成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列時，關鍵是如何巧妙地設這四個數(shù)，一般是設為x－d，x，x＋d， 再依題意列出方程求x、d即可．
4．a1與q是等比數(shù)列{an}中最活躍的兩個基本量．
音美班教學案4等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應用
一、基礎知識
1．等差數(shù)列的常用性質：
⑴ m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，則有 ．
⑵ {an}是等差數(shù)列， 則{akn} (k∈N*，k為常數(shù))是 數(shù)列．
⑶ Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成 數(shù)列．
2．在等差數(shù)列中，求Sn的最大(小)值，關鍵是找出某一項，使這一項及它前面的項皆取正(負)值或0，而它后面的各項皆取負(正)值．
⑴ a1> 0，d <0時，解不等式組 可解得Sn達到最 值時n的值．
⑵ a1<0，d>0時，解不等式組 可解得Sn達到最小值時n的值．
3．等比數(shù)列的常用性質：
⑴ m，n，p，r∈N*，若m＋n＝p＋r，則有 ．
⑵ {an}是等比數(shù)列，則{a }、{ }是 數(shù)列．
⑶ 若Sn≠0，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構成 數(shù)列．
二、典型例題
例1．已知等比數(shù)列{an}，a2＝8，a5＝512.
(1)求{an}的通項公式；
(2)令bn＝log2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
例2．已知實數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其中a7＝1，且a4，a5＋1，a6成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，證明：Sn＜128(n＝1,2,3，…)．
變式訓練1已知△ABC中，三內角A、B、C的度數(shù)成等差數(shù)列，邊a、b、c依次成等比數(shù)列．求證：△ABC是等邊三角形．
變式訓練2.若互不相等的實數(shù) 、 、 成等差數(shù)列， 、 、 成等比數(shù)列，且 ，則 = （ ）
A.4 B.2 C.-2 D.-4
例3. 數(shù)列{an}的前n項和Sn，且a1＝1，an＋1＝ Sn，n＝1，2，3……
求：⑴ a2、a3、a4的值及{an}的通項公式；
⑵ a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值.
三、課后練習
1、(2010?甘肅省會寧五中期中考試)等差數(shù)列{an}中，已知a5＋a7＝10，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S11＝( )
A．45 B．50 C．55 D．60
2、若a、b、c是互不相等的實數(shù)，且a、b、c成等差數(shù)列，c、a、b成等比數(shù)列，則a?b?c等于( )
A．(－2)：?1：4 B．1：2：3 C．2：3：4 D．(－1)：1：3
3、在△ABC中，tanA是第3項為－4，第7項為4的等差數(shù)列的公差，tanB是第3項為13，第6項為9的等比數(shù)列的公比，則△ABC是( )
A．等腰三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．鈍角三角形
4、(2009?重慶，5)設{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝2且a1，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}的前n項和Sn＝( )
A.n24＋7n4 B.n23＋5n3 C.n22＋3n4 D．n2＋n
5、(2010?廣東湛江高三月考試題)設△ABC的三內角A、B、C成等差數(shù)列，sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，則這個三角形的形狀為( )
A．等腰直角三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．鈍角三角形
6 、(2009?浙江溫州)已知等差數(shù)列{an}中，a3＝7，a6＝16，將此等差數(shù)列的各項排成如下三角形數(shù)陣：
則此數(shù)陣中第20行從左到右的第10個數(shù)是________．
7（2009安徽卷理）已知 為等差數(shù)列， + + =105， =99，以 表示 的前 項和，則使得 達到最大值的 是（ ）
A.21 B.20 C.19 D. 18
8．已知a1＝2，點(an，an＋1)在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，其中n＝1,2,3，….
(1)證明數(shù)列{lg(1＋an)}是等比數(shù)列；
(2)設Tn＝(1＋a1)(1＋a2)…(1＋an)，求Tn及數(shù)列{an}的通項．
9 、(2009?遼寧，17)(本小題滿分12分)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S1，S3，S2成等差數(shù)列．
(1)求{an}的公比q；
(2)若a1－a3＝3，求Sn.
四、歸納小結
1．在三個數(shù)成等差（或等比）時，可用等差（或等比）中項公式；在三個以上的數(shù)成等差（或等比）時，可用性質：m、n、p、r∈N*，若m＋n＝p＋r，則am＋an＝ap＋ar（或am?an＝ap?ar）進行解答．
2．若a、b、c成等差（或等比）數(shù)列，則有2b＝a＋c（或b2＝ac）．
3．在涉及an與Sn相關式子中用Sn－1和Sn的關系表示an時應該注意“n≥2”這個特點．
音美班教學案5 數(shù)列求和
一、基礎知識
求數(shù)列的前n項和，一般有下列幾種方法：
1．等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝ ＝ ．
2．等比數(shù)列的前n項和公式：① 當q＝1時，Sn＝ ．
② 當q≠1時，Sn＝ ．
3．倒序相加法：將一個數(shù)列倒過來排列與原數(shù)列相加．主要用于倒序相加后對應項之和有公因子可提的數(shù)列求和．
4．錯位相減法：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘構成的數(shù)列求和．
5．裂項求和法：把一個數(shù)列分成幾個可直接求和的數(shù)列．
二、典型例題
例1. 已知數(shù)列：1， ， ， ，…， ，求它的前n項的和Sn．
變式訓練1.數(shù)列 前n項的和為 （ ）
A． B． C． D．
例2. 求Sn＝1＋ ＋ ＋…＋ ．
變式訓練2：數(shù)列{an}的通項公式是an＝ ，若前n項之和為10，則項數(shù)n為（ ）
A．11 B．99 C．120 D．121
例3. 設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝ ，bn＝an?2n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
變式訓練3.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.
⑴ 求數(shù)列{an}和{bn}通項公式．
⑵ 設Cn＝ ，求數(shù)列{Cn}前n項和Tn ．
三、課后練習
1．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}的前n項和為( )
A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2
2．數(shù)列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n項和Sn＞1020，那么n的最小值是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
3．(教材改編題)1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于( )
A.n(n＋1)2 B．－n(n＋1)2 C．(－1)n＋1n(n＋1)2 D．以上答案均不對
4．給出集合序列{1}，{2,3}，{4,5,6}，{7,8,9,10}，…，設Sn是第n個集合中元素之和，則S21為( )
A．1113 B．4641 C．5082 D．5336
5．(2009?黃岡綜合測試){an}為等差數(shù)列，若a11a10<－1，且它的前n項和Sn有最小值，那么當Sn取得最小正值時，n＝( ) A．11 B．17 C．20 D．21
6．在正項等比數(shù)列{an}中，a3a7＝4，則數(shù)列{log2an}的前9項之和為________．
7．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－1，則a21＋a22＋…＋a2n＝__________.
8．(熱點預測題)設函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導數(shù)為f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列{1f(n)}(n∈N*)的前n項和為________．
9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝76，Sn是 {an}的前n項和，點(2Sn＋an，Sn＋1)在f(x)＝12x＋13的圖象上．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若cn＝(an－23)n，Tn為cn的前n項和，n∈N*，求Tn.
四、歸納小結
1．求和的基本思想是“轉化”．其一是轉化為等差、等比數(shù)列的求和，或者轉化為求自然數(shù)的方冪和，從而可用基本求和公式；其二是消項，把較復雜的數(shù)列求和轉化為求不多的幾項的和．
2．對通項中含有(－1)n的數(shù)列，求前n項和時，應注意討論n的奇偶性．
3．倒序相加和錯位相減法是課本中分別推導等差、等比數(shù)列前n項和用到的方法，在復習中應給予重視．
音美班教學案6數(shù)列極限
一、基礎知識
1、數(shù)列極限的定義:設 是一個無窮數(shù)列，A是一個常數(shù)，如果對于預先給定的任意小的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n＞N，就有 -A＜ε，那么就說數(shù)列 以A為極限（或A是數(shù)列的極限），記作 =A。
2、數(shù)列極限的運算法則
如果 =A， =B，那么
(1) ( ± )= ± =A±B；(2) ( ? )= ? =A?B
（3） （4） （c? ）= c? =cA（c為常數(shù)）
極限運算法則中的各個極限都應存在，都可推廣到任意有限個極限的情況，不能推廣到無限個。在商的運算法則中，要注意對式子的恒等變形，有些題目分母不能直接求極限。
3、特殊數(shù)列的極限
（1） C=C（C為常數(shù)）
（2） 0（a＜1）
= 1（a=l
不存在（a＞1或a=-1）
(3) =0(α＞0的常數(shù))
(4)
（當k= 時）
= 0（當k＜ 時
不存在（當k＞ 時）
二、典型例題
例1、求下列極限：
(1)limn→∞ (11×3＋12×4＋…＋1n(n＋2))；
(2)limn→∞ 2n2＋13n2＋2n；
(3)limn→∞ (n2＋3n－n2＋4n)
變式練習（2008陜西卷13） ，則 ．
例2、．(2009?東北四市一模)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0且a2，a5滿足a2＋a5＝12，a2a5＝27，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，且Sn＝1－12bn(n∈N*)
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式；
(2)設Tn＝b2＋b4＋b6＋…＋b2n，求limn→∞Tn.
三、課后練習
1．求limn→∞n[(1＋1n)3－1]等于( )A．3 B．0 C.13 D．7
2．若limn→∞ (2n2＋1n＋1－na＋b)＝2，則ab的值為( )
A．4 B．0 C．－4 D．8
3．(2009?廣西四市聯(lián)考)若f(n)＝13－232＋133－134＋…＋132n－1－232n(其中n∈N*)，則limn→∞g(n)＝( )
A.18 B.16 C.12 D.58
4．(2009?黃岡市高三年級2月質量檢測)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝13，且對任意正整數(shù)m、n都有am＋n＝aman，若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則limn→∞Sn等于( )
A.12 B.23 C.32 D．2
5．等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，S20082008－S20062006＝2，則limn→∞ Snn2的值為( )
A．2 B．1 C.12 D．3
6．limn→∞ 2＋3＋…＋n3n2－2n＝____________.
7．(2009?陜西)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝S3，則limn→∞ Snn2＝________.
8．(2009?湖北宜昌第二次調研)已知limn→∞ an＋p?3n＋can－3n＝－5(1
(1)令bn＝an＋1－2an(n＝1,2,3，…)，證明{bn}是等比數(shù)列，并求{bn}的通項公式；
(2)令cn＝bn3，Tn為數(shù)列{1log2cn＋2?log2cn＋1}的前n項和，求limn→∞Tn.
四、歸納小結
1．運算法則必須是在{an}、{bn}的極限都“存在”的條件下使用．
2．數(shù)列極限運算法則必須在有限個(可以推廣到有限多個)數(shù)列下使用，無限多個數(shù)列不成立．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/64477.html
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