一、基礎(chǔ)知識
定義1 一般地，一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集合，簡稱集，用大寫字母來表示；集合中的各個對象稱為元素，用小寫字母來表示，元素 在集合A中，稱 屬于A，記為 ，否則稱 不屬于A，記作 。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集，不含任何元素的集合稱為空集，用 來表示。集合分有限集和無限集兩種。
集合的表示方法有列舉法：將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：將集合中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如{有理數(shù)}， 分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。
定義2 子集：對于兩個集合A與B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，則A叫做B的子集，記為 ，例如 。規(guī)定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，則稱A與B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不屬于A，則A叫B的真子集。
定義3 交集，
定義4 并集，
定義5 補(bǔ)集，若 稱為A在I中的補(bǔ)集。
定義6 差集， 。
定義7 集合 記作開區(qū)間 ，集合
記作閉區(qū)間 ，R記作
定理1 集合的性質(zhì)：對任意集合A，B，C，有：
（1） （2） ；
（3） （4）
【證明】這里僅證（1）、（3），其余由讀者自己完成。
（1）若 ，則 ，且 或 ，所以 或 ，即 ；反之， ，則 或 ，即 且 或 ，即 且 ，即
（3）若 ，則 或 ，所以 或 ，所以 ，又 ，所以 ，即 ，反之也有
定理2 加法原理：做一件事有 類辦法，第一類辦法中有 種不同的方法，第二類辦法中有 種不同的方法，…，第 類辦法中有 種不同的方法，那么完成這件事一共有 種不同的方法。
定理3 原理：做一件事分 個步驟，第一步有 種不同的方法，第二步有 種不同的方法，…，第 步有 種不同的方法，那么完成這件事一共有 種不同的方法。
二、方法與例題
1．利用集合中元素的屬性，檢驗(yàn)元素是否屬于集合。
例1 設(shè) ，求證：
（1） ；
（2） ；
（3）若 ，則
[證明]（1）因?yàn)?，且 ，所以
（2）假設(shè) ，則存在 ，使 ，由于 和 有相同的奇偶性，所以 是奇數(shù)或4的倍數(shù)，不可能等于 ，假設(shè)不成立，所以
（3）設(shè) ，則
（因?yàn)?）。
2．利用子集的定義證明集合相等，先證 ，再證 ，則A=B。
例2 設(shè)A，B是兩個集合，又設(shè)集合M滿足
，求集合M（用A，B表示）。
【解】先證 ，若 ，因?yàn)?，所以 ，所以 ；
再證 ，若 ，則 1）若 ，則 ；2）若 ，則 。所以
綜上，
3．分類討論思想的應(yīng)用。
例3 ，若 ，求
【解】依題設(shè)， ，再由 解得 或 ，
因?yàn)?，所以 ，所以 ，所以 或2，所以 或3。
因?yàn)?，所以 ，若 ，則 ，即 ，若 ，則 或 ，解得
綜上所述， 或 ； 或 。
4．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用。
例4 集合A，B，C是I={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若 ，求有序集合對（A，B）的個數(shù)；（2）求I的非空真子集的個數(shù)。
【解】（1）集合I可劃分為三個不相交的子集；A\B，B\A， 中的每個元素恰屬于其中一個子集，10個元素共有310種可能，每一種可能確定一個滿足條件的集合對，所以集合對有310個。
（2）I的子集分三類：空集，非空真子集，集合I本身，確定一個子集分十步，第一步，1或者屬于該子集或者不屬于，有兩種；第二步，2也有兩種，…，第10步，0也有兩種，由原理，子集共有 個，非空真子集有1022個。
5．配對方法。
例5 給定集合 的 個子集： ，滿足任何兩個子集的交集非空，并且再添加I的任何一個其他子集后將不再具有該性質(zhì)，求 的值。
【解】將I的子集作如下配對：每個子集和它的補(bǔ)集為一對，共得 對，每一對不能同在這 個子集中，因此， ；其次，每一對中必有一個在這 個子集中出現(xiàn)，否則，若有一對子集未出現(xiàn)，設(shè)為C1A與A，并設(shè) ，則 ，從而可以在 個子集中再添加 ，與已知矛盾，所以 。綜上， 。
6．競賽常用方法與例問題。
定理4 容斥原理；用 表示集合A的元素個數(shù)，則
，需要xy此結(jié)論可以推廣到 個集合的情況，即
定義8 集合的劃分：若 ，且 ，則這些子集的全集叫I的一個 -劃分。
定理5 最小數(shù)原理：自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。
定理6 抽屜原理：將 個元素放入 個抽屜，必有一個抽屜放有不少于 個元素，也必有一個抽屜放有不多于 個元素；將無窮多個元素放入 個抽屜必有一個抽屜放有無窮多個元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的數(shù)的個數(shù)。
【解】 記 ， ，由容斥原理， ，所以不能被2，3，5整除的數(shù)有 個。
例7 S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意兩個數(shù)的差不等于4或7，問S中最多含有多少個元素？
【解】將任意連續(xù)的11個整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個數(shù)至多有一個屬于S，將這11個數(shù)按連續(xù)兩個為一組，分成6組，其中一組只有一個數(shù)，若S含有這11個數(shù)中至少6個，則必有兩個數(shù)在同一組，與已知矛盾，所以S至多含有其中5個數(shù)。又因?yàn)?004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912個元素，另一方面，當(dāng) 時，恰有 ，且S滿足題目條件，所以最少含有912個元素。
例8求所有自然數(shù) ，使得存在實(shí)數(shù) 滿足：
【解】 當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， 。下證當(dāng) 時，不存在 滿足條件。
令 ，則
所以必存在某兩個下標(biāo) ，使得 ，所以 或 ，即 ，所以 或 ， 。
（?）若 ，考慮 ，有 或 ，即 ，設(shè) ，則 ，導(dǎo)致矛盾，故只有
考慮 ，有 或 ，即 ，設(shè) ，則 ，推出矛盾，設(shè) ，則 ，又推出矛盾， 所以 故當(dāng) 時，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。
（?）若 ，考慮 ，有 或 ，即 ，這時 ，推出矛盾，故 。考慮 ，有 或 ，即 =3，于是 ，矛盾。因此 ，所以 ，這又矛盾，所以只有 ，所以 。故當(dāng) 時，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。
例9 設(shè)A={1，2，3，4，5，6}，B={7，8，9，……，n}，在A中取三個數(shù)，B中取兩個數(shù)組成五個元素的集合 ， 求 的最小值。
【解】
設(shè)B中每個數(shù)在所有 中最多重復(fù)出現(xiàn) 次，則必有 。若不然，數(shù) 出現(xiàn) 次（ ），則 在 出現(xiàn)的所有 中，至少有一個A中的數(shù)出現(xiàn)3次，不妨設(shè)它是1，就有集合{1， } ，其中 ，為滿足題意的集合。 必各不相同，但只能是2，3，4，5，6這5個數(shù)，這不可能，所以
20個 中，B中的數(shù)有40個，因此至少是10個不同的，所以 。當(dāng) 時，如下20個集合滿足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。
例10 集合{1，2，…，3n}可以劃分成 個互不相交的三元集合 ，其中 ，求滿足條件的最小正整數(shù)
【解】 設(shè)其中第 個三元集為 則1+2+…+
所以 。當(dāng) 為偶數(shù)時，有 ，所以 ，當(dāng) 為奇數(shù)時，有 ，所以 ，當(dāng) 時，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}滿足條件，所以 的最小值為5。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．給定三元集合 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是___________。
2．若集合 中只有一個元素，則 =___________。
3．集合 的非空真子集有___________個。
4．已知集合 ，若 ，則由滿足條件的實(shí)數(shù) 組成的集合P=___________。
5．已知 ，且 ，則常數(shù) 的取值范圍是___________。
6．若非空集合S滿足 ，且若 ，則 ，那么符合要求的集合S有___________個。
7．集合 之間的關(guān)系是___________。
8．若集合 ，其中 ， 且 ，若 ，則A中元素之和是___________。
9．集合 ，且 ，則滿足條件的 值構(gòu)成的集合為___________。
10．集合 ，則
___________。
11．已知S是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，且滿足1） ）若 ，則 。如果 ，S中至少含有多少個元素？說明理由。
12．已知 ，又C為單元素集合，求實(shí)數(shù) 的取值范圍。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知集合 ，且A=B，則 ___________， ___________。
2．
，則 ___________。
3．已知集合 ，當(dāng) 時，實(shí)數(shù) 的取值范圍是___________。
4．若實(shí)數(shù) 為常數(shù)，且 ___________。
5．集合 ，若 ，則 ___________。
6．集合 ，則 中的最小元素是___________。
7．集合 ，且A=B，則 ___________。
8．已知集合 ，且 ，則 的取值范圍是___________。
9．設(shè)集合 ，問：是否存在 ，使得 ，并證明你的結(jié)論。
10．集合A和B各含有12個元素， 含有4個元素，試求同時滿足下列條件的集合C的個數(shù)：1） 且C中含有3個元素；2） 。
11．判斷以下命題是否正確：設(shè)A，B是平面上兩個點(diǎn)集， ，若對任何 ，都有 ，則必有 ，證明你的結(jié)論。
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．已知集合 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是___________。
2．集合 的子集B滿足：對任意的 ，則集合B中元素個數(shù)的最大值是___________。
3．已知集合 ，其中 ，且 ，若P=Q，則實(shí)數(shù) ___________。
4．已知集合 ，若 是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，則 ___________。
5．集合 ，集合 ，則集合M與N的關(guān)系是___________。
6．設(shè)集合 ，集合A滿足： ，且當(dāng) 時， ，則A中元素最多有___________個。
7．非空集合 ，≤則使 成立的所有 的集合是___________。
8．已知集合A，B，aC（不必相異）的并集 , 則滿足條件的有序三元組（A，B，C）個數(shù)是___________。
9．已知集合 ，問：當(dāng) 取何值時， 為恰有2個元素的集合？說明理由，若改為3個元素集合，結(jié)論如何？
10．求集合B和C，使得 ，并且C的元素乘積等于B的元素和。
11．S是Q的子集且滿足：若 ，則 恰有一個成立，并且若 ，則 ，試確定集合S。
12．集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的若干個五元子集滿足：S中的任何兩個元素至多出現(xiàn)在兩個不同的五元子集中，問：至多有多少個五元子集？
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1． 是三個非空整數(shù)集，已知對于1，2，3的任意一個排列 ，如果 ， ，則 。求證： 中必有兩個相等。
2．求證：集合{1，2，…，1989}可以劃分為117個互不相交的子集 ，使得（1）每個 恰有17個元素；（2）每個 中各元素之和相同。
3．某人寫了 封信，同時寫了 個信封，然后將信任意裝入信封，問：每封信都裝錯的情況有多少種？
4．設(shè) 是20個兩兩不同的整數(shù)，且整合 中有201個不同的元素，求集合 中不同元素個數(shù)的最小可能值。
5．設(shè)S是由 個人組成的集合。求證：其中必定有兩個人，他們的公共朋友的個數(shù)為偶數(shù)。
6．對于整數(shù) ，求出最小的整數(shù) ，使得對于任何正整數(shù) ，集合 的任一個 元子集中，均有至少3個兩兩互質(zhì)的元素。
7．設(shè)集合S={1，2，…，50}，求最小自然數(shù) ，使S的任意一個 元子集中都存在兩個不同的數(shù)a和b，滿足 。
8．集合 ，試作出X的三元子集族&，滿足：
（1）X的任意一個二元子集至少被族&中的一個三元子集包含；
（2） 。
9．設(shè)集合 ，求最小的正整數(shù) ，使得對A的任意一個14-分劃 ，一定存在某個集合 ，在 中有兩個元素a和b滿足 。
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