學習能力診斷卷 （文科試卷）
（考試時間：120分鐘，滿分150分） 2013.4
一．題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.
1．若函數(shù) 的反函數(shù)圖像過點 ，則 = .
2．若直線 與直線 平行，則 = .
3．若正整數(shù) 使得行列式 ，則 .
4．已知函數(shù) 的值域為 ，集合 ，則 .
5．已知 ，且 ，則 =___________.
6．已知圓錐的母線長為 ，側(cè)面積為 ，則此圓錐的體積為__________（結果保留 ）.
7．已知 （ 為虛數(shù)單位）是一元二次方程
( 均為實數(shù))的一個根，則 =__________.
8．如圖給出的是計算 的值的一個程序框圖，
圖中空白執(zhí)行框內(nèi)應填入 .
9．某國際體操比賽，我國將派5名正式運動員和3名替補運動員
參加, 最終將有3人上場比賽,其中甲、乙兩名替補運動員均
不上場比賽的概率是 （結果用最簡分數(shù)表示）.
10．滿足條件 的目標函數(shù) 的最大值是 .
11. 在二項式 的展開式中，常數(shù)項的值是 ，則 = .
12．已知橢圓 內(nèi)有兩點 為橢圓上一點，則 的最大值為 .
13．如圖，有以下命題成立：設點 是線段 的三等分點，則有
.將此命題推廣，設點 是線段
的六等分點，則 .
14.如圖，對正方形紙片 進行如下操作：第一步，過點 任作一條直線與 邊相交于點 ,
記 ；第二步，作 的平分線交 邊于點 ,記 ；第三步，作
的平分線交 邊于點 ,記 ；按此作法從第二步起重復以上步驟……，得到
，則用 和 表示的遞推關系式是 .
二．（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.
15．已知 為實數(shù)，命題甲： ，命題乙： ，則甲是乙的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
16．已知函數(shù) ，設 ，則 是 （ ）
A.奇函數(shù)，在 上單調(diào)遞減
B.奇函數(shù)，在 上單調(diào)遞增
C.偶函數(shù)，在 上遞減，在 上遞增
D.偶函數(shù)，在 上遞增，在 上遞減
17．如圖,已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊長分別為3和4，過直角頂點的側(cè)棱長為4，
且垂直于底面，該三棱錐的主視圖是 ( ) 學科網(wǎng)
A． B． C． D．
學科網(wǎng)
學科網(wǎng)
18．氣象意義上從春季進入夏季的標志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22 (0C)”.現(xiàn)有甲、乙、丙
三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：
① 甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 ，眾數(shù)為 ；
② 乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 ，總體均值為 ；
③ 丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是 ，總體均值為 ，總體方差為 ；
則肯定進入夏季的地區(qū)有 ( )
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個
三．解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
19．(本題滿分12分)
在 中， 分別是角 的對邊，且 ,若
的面積 ，求 的值.
20．(本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
某輪船公司的一艘輪船每小時花費的燃料費與輪船航行速度的平方成正比，比例系數(shù)為 .輪船的
最大速度為 海里/小時.當船速為 海里/小時，它的燃料費是每小時 元，其余航行運作費用（不論
速度如何）總計是每小時 元.假定運行過程中輪船以速度 勻速航行．
（1）求 的值；
（2）求該輪船航行 海里的總費用 （燃料費+航行運作費用）的最小值.
21．(本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
如圖，已知 是正三棱柱，它的底面邊長和側(cè)棱長都是 ．
（1）求異面直線 與 所成角的大�。ńY果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求三棱錐 的體積 .
22．(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
已知雙曲線 的中心在原點， 是它的一個頂點， 是它的一條漸近線的一個方向向量.
(1)求雙曲線 的方程；
(2)若過點( )任意作一條直線與雙曲線 交于 兩點 ( 都不同于點 )，
求 的值；
(3)對于雙曲線?: ， 為它的右頂點， 為雙曲線?上的兩點( 都不同于點 )，且 ，求證：直線 與 軸的交點是一個定點.
23．(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
已知數(shù)列 的前 項和為 ,數(shù)列 是首項為 ，公差為 的等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）設 ，對任意的正整數(shù) ，將集合 中的三個元素排成
一個遞增的等差數(shù)列，其公差為 ，求 ；
（3）對（2）題中的 ，設 ， ，動點 滿足 ，點 的軌跡是函數(shù) 的圖像,其中 是以 為周期的周期函數(shù),且當 時, ,動點 的軌跡是函數(shù) 的圖像，求 .
（文）參考答案
一．題:(本題共有14題，每小題4分)
1． 2. 3. 42 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. ； 13. ； 14.
二．：（本題共有4小題，每小題5分）
15．B 16. B 17. B 18. C
三．解答題
19．（本題12分）
解：由條件可知 ，……………2分
即 ，……………4分
………………………………8分
由余弦定理 ,得 ………………10分
于是， . ………………………………………12分
20.（本題14分）本題共有2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.
解：（1）由題意得燃料費 ，………………………………2分
把 =10， 代入得 =0.96.………………………………………………6分
（2） ，……………………………………9分
= ，………………………11分
其中等號當且僅當 時成立，解得 ，……………13分
所以，該輪船航行 海里的總費用 的最小值為2400（元）. ……………………14分
21．（本題12分）本題共有2題，第(1)小題6分,第(2)小題8分.
（1） ，……………………………………… 1分
連接 ，則 為異面直線 所成角. ………3分
由題意得 ……………………………………4分
………5分
所以，異面直線 與 所成角的大小為……………………………………6分
（2）由題意得, …………………………………………………………9分
的面積 ，……………………………………12分
，
三棱錐 的體積為 .………………………………………14分
22．(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分, 第（3）小題滿分6分.
解：(1)設雙曲線C的方程為 ，則 ，…….2分
又 ，得 ，所以，雙曲線C的方程為 . ………….4分
(2)當直線 垂直于 軸時，其方程為 ， 的坐標為( , )、( , )，
，所以 =0. ………………..6分
當直線 不與 軸垂直時，設此直線方程為 ，
由 得 .
設 ，則 , ，……………..8分
故
.……....9分
＋ ＋ =0 .綜上， =0. ………………10分
(3) 設直線 的方程為： ，
由 ，得 ,
設 ，則 , ，…………12分
由 ，得 ，
即 ,………………14分
，
化簡得， 或 (舍), ……………………………………….15分
所以，直線 過定點( ,0). ………………………………..16分
23．(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分, 第（3）小題滿分8分.
解： (1)由條件得 ，即 …………………………..2分
所以 . ……………………………………………………..4分
(2) 由（1）可知 ,
所以 ，
. …………………………..7分
由 及 得
依次成遞增的等差數(shù)列, …………………………..9分
所以 . …………………………..10分
(3)由（2）得 ,即 …………………..12分
當 時， ,
由 是以 為周期的周期函數(shù)得， ,
即 . ………………..14分
設 是函數(shù) 圖象上的任意點，并設點 的坐標為 ,
則 . ………………..16分
而 ,
于是， ,
所以， . ……………..18分
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