學(xué)習(xí)能力診斷卷 （文科試卷）
（考試時(shí)間：120分鐘，滿分150分） 2013.4
一．題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否則一律得零分.
1．若函數(shù) 的反函數(shù)圖像過點(diǎn) ，則 = .
2．若直線 與直線 平行，則 = .
3．若正整數(shù) 使得行列式 ，則 .
4．已知函數(shù) 的值域?yàn)?，集合 ，則 .
5．已知 ，且 ，則 =___________.
6．已知圓錐的母線長(zhǎng)為 ，側(cè)面積為 ，則此圓錐的體積為__________（結(jié)果保留 ）.
7．已知 （ 為虛數(shù)單位）是一元二次方程
( 均為實(shí)數(shù))的一個(gè)根，則 =__________.
8．如圖給出的是計(jì)算 的值的一個(gè)程序框圖，
圖中空白執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入 .
9．某國(guó)際體操比賽，我國(guó)將派5名正式運(yùn)動(dòng)員和3名替補(bǔ)運(yùn)動(dòng)員
參加, 最終將有3人上場(chǎng)比賽,其中甲、乙兩名替補(bǔ)運(yùn)動(dòng)員均
不上場(chǎng)比賽的概率是 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.
10．滿足條件 的目標(biāo)函數(shù) 的最大值是 .
11. 在二項(xiàng)式 的展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值是 ，則 = .
12．已知橢圓 內(nèi)有兩點(diǎn) 為橢圓上一點(diǎn)，則 的最大值為 .
13．如圖，有以下命題成立：設(shè)點(diǎn) 是線段 的三等分點(diǎn)，則有
.將此命題推廣，設(shè)點(diǎn) 是線段
的六等分點(diǎn)，則 .
14.如圖，對(duì)正方形紙片 進(jìn)行如下操作：第一步，過點(diǎn) 任作一條直線與 邊相交于點(diǎn) ,
記 ；第二步，作 的平分線交 邊于點(diǎn) ,記 ；第三步，作
的平分線交 邊于點(diǎn) ,記 ；按此作法從第二步起重復(fù)以上步驟……，得到
，則用 和 表示的遞推關(guān)系式是 .
二．（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分.
15．已知 為實(shí)數(shù)，命題甲： ，命題乙： ，則甲是乙的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
16．已知函數(shù) ，設(shè) ，則 是 （ ）
A.奇函數(shù)，在 上單調(diào)遞減
B.奇函數(shù)，在 上單調(diào)遞增
C.偶函數(shù)，在 上遞減，在 上遞增
D.偶函數(shù)，在 上遞增，在 上遞減
17．如圖,已知三棱錐的底面是直角三角形，直角邊長(zhǎng)分別為3和4，過直角頂點(diǎn)的側(cè)棱長(zhǎng)為4，
且垂直于底面，該三棱錐的主視圖是 ( ) 學(xué)科網(wǎng)
A． B． C． D．
學(xué)科網(wǎng)
學(xué)科網(wǎng)
18．氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22 (0C)”.現(xiàn)有甲、乙、丙
三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）：
① 甲地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 ，眾數(shù)為 ；
② 乙地：5個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 ，總體均值為 ；
③ 丙地：5個(gè)數(shù)據(jù)中有一個(gè)數(shù)據(jù)是 ，總體均值為 ，總體方差為 ；
則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有 ( )
A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)
三．解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.
19．(本題滿分12分)
在 中， 分別是角 的對(duì)邊，且 ,若
的面積 ，求 的值.
20．(本題滿分14分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
某輪船公司的一艘輪船每小時(shí)花費(fèi)的燃料費(fèi)與輪船航行速度的平方成正比，比例系數(shù)為 .輪船的
最大速度為 海里/小時(shí).當(dāng)船速為 海里/小時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí) 元，其余航行運(yùn)作費(fèi)用（不論
速度如何）總計(jì)是每小時(shí) 元.假定運(yùn)行過程中輪船以速度 勻速航行．
（1）求 的值；
（2）求該輪船航行 海里的總費(fèi)用 （燃料費(fèi)+航行運(yùn)作費(fèi)用）的最小值.
21．(本題滿分14分) 本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
如圖，已知 是正三棱柱，它的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都是 ．
（1）求異面直線 與 所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求三棱錐 的體積 .
22．(本題滿分16分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
已知雙曲線 的中心在原點(diǎn)， 是它的一個(gè)頂點(diǎn)， 是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量.
(1)求雙曲線 的方程；
(2)若過點(diǎn)( )任意作一條直線與雙曲線 交于 兩點(diǎn) ( 都不同于點(diǎn) )，
求 的值；
(3)對(duì)于雙曲線?: ， 為它的右頂點(diǎn)， 為雙曲線?上的兩點(diǎn)( 都不同于點(diǎn) )，且 ，求證：直線 與 軸的交點(diǎn)是一個(gè)定點(diǎn).
23．(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ,數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列.
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè) ，對(duì)任意的正整數(shù) ，將集合 中的三個(gè)元素排成
一個(gè)遞增的等差數(shù)列，其公差為 ，求 ；
（3）對(duì)（2）題中的 ，設(shè) ， ，動(dòng)點(diǎn) 滿足 ，點(diǎn) 的軌跡是函數(shù) 的圖像,其中 是以 為周期的周期函數(shù),且當(dāng) 時(shí), ,動(dòng)點(diǎn) 的軌跡是函數(shù) 的圖像，求 .
（文）參考答案
一．題:(本題共有14題，每小題4分)
1． 2. 3. 42 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. ； 13. ； 14.
二．：（本題共有4小題，每小題5分）
15．B 16. B 17. B 18. C
三．解答題
19．（本題12分）
解：由條件可知 ，……………2分
即 ，……………4分
………………………………8分
由余弦定理 ,得 ………………10分
于是， . ………………………………………12分
20.（本題14分）本題共有2小題，第（1）小題6分，第（2）小題8分.
解：（1）由題意得燃料費(fèi) ，………………………………2分
把 =10， 代入得 =0.96.………………………………………………6分
（2） ，……………………………………9分
= ，………………………11分
其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立，解得 ，……………13分
所以，該輪船航行 海里的總費(fèi)用 的最小值為2400（元）. ……………………14分
21．（本題12分）本題共有2題，第(1)小題6分,第(2)小題8分.
（1） ，……………………………………… 1分
連接 ，則 為異面直線 所成角. ………3分
由題意得 ……………………………………4分
………5分
所以，異面直線 與 所成角的大小為……………………………………6分
（2）由題意得, …………………………………………………………9分
的面積 ，……………………………………12分
，
三棱錐 的體積為 .………………………………………14分
22．(本題滿分16分) 本題共有3個(gè)小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分, 第（3）小題滿分6分.
解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為 ，則 ，…….2分
又 ，得 ，所以，雙曲線C的方程為 . ………….4分
(2)當(dāng)直線 垂直于 軸時(shí)，其方程為 ， 的坐標(biāo)為( , )、( , )，
，所以 =0. ………………..6分
當(dāng)直線 不與 軸垂直時(shí)，設(shè)此直線方程為 ，
由 得 .
設(shè) ，則 , ，……………..8分
故
.……....9分
＋ ＋ =0 .綜上， =0. ………………10分
(3) 設(shè)直線 的方程為： ，
由 ，得 ,
設(shè) ，則 , ，…………12分
由 ，得 ，
即 ,………………14分
，
化簡(jiǎn)得， 或 (舍), ……………………………………….15分
所以，直線 過定點(diǎn)( ,0). ………………………………..16分
23．(本題滿分18分) 本題共有3個(gè)小題，第（1）小題滿分4分，第（2）小題滿分6分, 第（3）小題滿分8分.
解： (1)由條件得 ，即 …………………………..2分
所以 . ……………………………………………………..4分
(2) 由（1）可知 ,
所以 ，
. …………………………..7分
由 及 得
依次成遞增的等差數(shù)列, …………………………..9分
所以 . …………………………..10分
(3)由（2）得 ,即 …………………..12分
當(dāng) 時(shí)， ,
由 是以 為周期的周期函數(shù)得， ,
即 . ………………..14分
設(shè) 是函數(shù) 圖象上的任意點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ,
則 . ………………..16分
而 ,
于是， ,
所以， . ……………..18分
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