南通市2013屆高三第三次調(diào)研測試
數(shù)學(xué)參考答案及評分建議
一、題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．
1． 已知集合 ， ，則 ▲ ．
【答案】
2． 設(shè)復(fù)數(shù) 滿足 （ 是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) 的
模為 ▲ ．
【答案】
3． 右圖是一個算法流程圖，則輸出的 的值是 ▲ ．
【答案】
4． “ ”是“ ”成立的 ▲ 條件．
（從“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中選擇一個正確的填寫）
【答案】必要不充分
5． 根據(jù)某固定測速點測得的某時段內(nèi)過往的100輛
機動車的行駛速度(單位：km/h)繪制的頻率分布
直方圖如右圖所示．該路段限速標志牌提示機動
車輛正常行駛速度為60 km/h~120 km/h，則該時
段內(nèi)非正常行駛的機動車輛數(shù)為 ▲ ．
【答案】
6． 在平面直角坐標系 中，拋物線 上縱坐標為1的一點到焦點的距離為3，則焦
點到準線的距離為 ▲ ．
【答案】4
7． 從集合 中任取兩個不同的數(shù)，則其中一個數(shù)恰是另一個數(shù)的3倍的概率為
▲ ．
【答案】
8． 在平面直角坐標系 中，設(shè)點 為圓 ： 上的任意一點，點 (2 ， )
( )，則線段 長度的最小值為 ▲ ．
【答案】
9． 函數(shù) ， ， 在 上
的部分圖象如圖所示，則 的值為 ▲ ．
【答案】
10．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 中， ．當 取最小值時，數(shù)列 的通項公式an= ▲ ．
【答案】
11．已知函數(shù) 是偶函數(shù)，直線 與函數(shù) 的圖象自左向右依次交
于四個不同點 ， ， ， ．若 ，則實數(shù) 的值為 ▲ ．
【答案】
12．過點 作曲線 ： 的切線，切點為 ，設(shè) 在 軸上的投影是點 ，過點 再作
曲線 的切線，切點為 ，設(shè) 在 軸上的投影是點 ，…，依次下去，得到第 個
切點 ．則點 的坐標為 ▲ ．
【答案】
13．在平面四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點，且AB ， ，CD ．
若 ，則 的值為 ▲ ．
【答案】
14．已知實數(shù)a1，a2，a3，a4滿足a1 a2 a3 ，a1a42 a2a4 a2 ，且a1 a2 a3，則a4的取值
范圍是 ▲ ．
【答案】
二、解答題
15．如圖，在四棱錐 中，底面 是矩形，四條側(cè)棱長均相等．
（1）求證： 平面 ；
（2）求證：平面 平面 ．
證明：（1）在矩形 中， ，
又 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ． ………6分
（2）如圖，連結(jié) ，交 于點 ，連結(jié) ，
在矩形 中，點 為 的中點，
又 ，
故 ， ， ………9分
又 ，
平面 ，
所以 平面 ， ………12分
又 平面 ，
所以平面 平面 ． ………14分
16．在△ABC中，角 ， ， 所對的邊分別為 ， ，c．已知 ．
（1）求角 的大小；
（2）設(shè) ，求T的取值范圍．
解：（1）在△ABC中，
， ………3分
因為 ，所以 ，
所以 ， ………5分
因為 ，所以 ，
因為 ，所以 ． ………7分
（2）
………11分
因為 ，所以 ，
故 ，因此 ，
所以 ． ………14分
17．某單位設(shè)計的兩種密封玻璃窗如圖所示：圖1是單層玻璃，厚度為8 mm；圖2是雙層中空玻璃，
厚度均為4 mm，中間留有厚度為 的空氣隔層．根據(jù)熱傳導(dǎo)知識，對于厚度為 的均勻介質(zhì)，
兩側(cè)的溫度差為 ，單位時間內(nèi)，在單位面積上通過的熱量 ，其中 為熱傳導(dǎo)系數(shù)．
假定單位時間內(nèi)，在單位面積上通過每一層玻璃及空氣隔層的熱量相等．（注：玻璃的熱傳導(dǎo)系
數(shù)為 ，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為 ．）
（1）設(shè)室內(nèi)，室外溫度均分別為 ， ，內(nèi)層玻璃外側(cè)溫度為 ，外層玻璃內(nèi)側(cè)溫度為 ，
且 ．試分別求出單層玻璃和雙層中空玻璃單位時間內(nèi)，在單位面積上通過
的熱量（結(jié)果用 ， 及 表示）；
（2）為使雙層中空玻璃單位時間內(nèi)，在單位面積上通過的熱量只有單層玻璃的4%，應(yīng)如何設(shè)計
的大小？
解：（1）設(shè)單層玻璃和雙層中空玻璃單位時間內(nèi)，在單位面積上通過的熱量分別為 ， ，
則 ， ………2分
………6分
． ………9分
（2）由（1）知 ，
當 4%時，解得 （mm）．
答：當 mm時，雙層中空玻璃通過的熱量只有單層玻璃的4%． ………14分
18．如圖，在平面直角坐標系 中，橢圓 的右焦點為 ，離心率為 ．
分別過 ， 的兩條弦 ， 相交于點 （異于 ， 兩點），且 ．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線 ， 的斜率之和為定值．
（1）解：由題意，得 ， ，故 ，
從而 ，
所以橢圓的方程為 ． ① ………5分
（2）證明：設(shè)直線 的方程為 ，②
直線 的方程為 ，③ ………7分
由①②得，點 ， 的橫坐標為 ，
由①③得，點 ， 的橫坐標為 ， ………9分
記 ， ， ， ，
則直線 ， 的斜率之和為 ………13分
． ………16分
19．已知數(shù)列 是首項為1，公差為 的等差數(shù)列，數(shù)列 是首項為1，公比為 的等比
數(shù)列
（1）若 ， ，求數(shù)列 的前 項和；
（2）若存在正整數(shù) ，使得 ．試比較 與 的大小，并說明理由．
解：（1）依題意， ，
故 ，
所以 ， ………3分
令 ， ①
則 ，②
① ②得， ，
，
所以 ． ………7分
（2）因為 ，
所以 ，即 ，
故 ，
又 ， ………9分
所以
綜上所述，當 時， ；當 時， ；當 時， ．
………16分
（注：僅給出“ 時， ； 時， ”得2分．）
20．設(shè) 是定義在 的可導(dǎo)函數(shù)，且不恒為0，記 ．若對定義域內(nèi)的每
一個 ，總有 ，則稱 為“ 階負函數(shù)”；若對定義域內(nèi)的每一個 ，總有 ，
則稱 為“ 階不減函數(shù)”（ 為函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)）．
（1）若 既是“1階負函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實數(shù) 的取值范圍；
（2）對任給的“2階不減函數(shù)” ，如果存在常數(shù) ，使得 恒成立，試判斷 是
否為“2階負函數(shù)”？并說明理由．
解：（1）依題意， 在 上單調(diào)遞增，
故 恒成立，得 ， ………2分
因為 ，所以 ． ………4分
而當 時， 顯然在 恒成立，
所以 ． ………6分
（2）①先證 ：
若不存在正實數(shù) ，使得 ，則 恒成立． ………8分
假設(shè)存在正實數(shù) ，使得 ，則有 ，
由題意，當 時， ，可得 在 上單調(diào)遞增，
當 時， 恒成立，即 恒成立，
故必存在 ，使得 （其中 為任意常數(shù)），
這與 恒成立（即 有上界）矛盾，故假設(shè)不成立，
所以當 時， ，即 ； ………13分
②再證 無解：
假設(shè)存在正實數(shù) ，使得 ，
則對于任意 ，有 ，即有 ，
這與①矛盾，故假設(shè)不成立，
所以 無解，
綜上得 ，即 ，
故所有滿足題設(shè)的 都是“2階負函數(shù)”． ………16分


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