2013年湖北荊州、黃岡、襄陽、十堰、宜昌、孝感、恩施七市（州）
高三聯(lián)合考試
數(shù)學(xué)（理工類）
本科目考試時(shí)間：2013年4月18日下午15：00-17：00
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一、：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)復(fù)數(shù) ，其中a為實(shí)數(shù)，若z的實(shí)部為2，則z的虛部為
A．-i B．i C．-1 D．1
2．已知向量a=(2，1)，b=(x，-2)，若a∥b，則a+b=
A．(-2，-1) B．(2，1) C．(3，-1) D．(-3，1)
3．下列說法中不正確的個(gè)數(shù)是
①命題“ x∈R， ≤0”的否定是“ ∈R， >0”；
②若“p q”為假命題，則p、q均為假命題；
③“三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列”是“b= ”的既不充分也不必要條件
A．O B．1 C．2 D．3
4．函數(shù)f(x)=2x-sinx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A．1 B．2 C．3 D．4
5．一個(gè)幾何體的三視圖如下左圖所示，則此幾何體的體積是
A.112 B．80 C．72 D．64
6．已知全集U=Z，Z為整數(shù)集，如上右圖程序框圖所示，集合A={x框圖中輸出的x值}，B={y框圖中輸出的y值}；當(dāng)x=-1時(shí)，(CuA) B=
A．{-3，-1，5} B．{-3，-1，5，7} C．{-3，-1，7} D．{-3，-1，7，9}
7．我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架艦載機(jī)準(zhǔn)備著艦．如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有
A．12種 B．18種 C．24種 D．48種
8．如右圖，矩形OABC內(nèi)的陰影部分由曲線f(x)=sinx(x∈(0， ))及直線x=a(a∈(0， ))與x軸圍成，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，若落在陰影部分的概率為 ，則a的值為
A． B． C． D．
9．如右圖，一單位正方體形積木，平放于桌面上，并且在其上方放置若干個(gè)小正方體形積木擺成塔形，其中上面正方體中下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下面相鄰正方體中上底面各邊的中點(diǎn)，如果所有正方體暴露在外面部分的面積之和超過8．8，則正方體的個(gè)數(shù)至少是
A．6 8．7 C．8 D． 10
10．已知直線l：y=ax+1-a(a∈R)．若存在實(shí)數(shù)a使得一條曲線與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且以這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長度恰好等于a，則稱此曲線為直線l的“絕對(duì)曲線”．下面給出四條曲線方程：①y=-2 x-1；②y= ；③(x-1)2+(y-1)2=1；④x2+3y2=4；則其中直線l的“絕對(duì)曲線”有
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
二、題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分．請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上．答錯(cuò)位置，書寫不清．模棱兩可均不得分．
(一)必考題：(11-14題)
11．若tan = ， ∈(0， )，則sin(2 + )= ．
12．點(diǎn)P(x，y)在不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)，若點(diǎn)P(x，y)到直線y=kx-1(k>0)的最大距離為2 ，則k= ．
13．已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P(2，0)的直線交拋物線于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點(diǎn)．則：(I) y1 y2= ；(Ⅱ)三角形ABF面積的最小值是 ．
14．挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾，曾經(jīng)根據(jù)階梯形圖形的兩種不同分割(如下圖)，利用它們的面積關(guān)系發(fā)現(xiàn)了一個(gè)重要的恒等式一阿貝爾公式：
a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn=a1(b1-b2)+L2(b2-b3)+L3(b3-b4)+…+Ln-1(bn-1-bn)+Lnbn
則其中：(I)L3= ；(Ⅱ)Ln= ．
(二)選考題：請(qǐng)考生在第15、16兩題中任選一題作答．如果全選，則按第15題作答結(jié)果計(jì)分.
15．(幾何證明選講)如右圖，AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上的一點(diǎn)，過P作⊙O的切線，切點(diǎn)為C，PC=2 ，若∠CAP=30°，則⊙O的直徑AB= ．
16．(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(4 ， )，曲線C的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù))，則點(diǎn)M到曲線C上的點(diǎn)的距離的最小值為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分12分)已知向量 =( sin2x+2，cosx)， =(1，2cosx)，設(shè)函數(shù)
f(x)= ? ．
(I)求f(x)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；
(Ⅱ)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，若a= ，f(A)=4，求b+c的最大值．
18．(本小題滿分12分)數(shù)列{an}是公比為 的等比數(shù)列，且1-a2是a1與1+a3的等比中項(xiàng)，前n項(xiàng)和為Sn；數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=8，其前n項(xiàng)和Tn滿足Tn=n ?bn+1( 為常數(shù)，且 ≠1)．
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及 的值；
(Ⅱ)比較 + + +…+ 與了 Sn的大�。�
19．(本小題滿分12分)如圖，矩形A1A2A′2A′1，滿足B、C在A1A2上，B1、C1在A′1A′2上，且BB1∥CC1∥A1A′1，A1B=CA2=2，BC=2 ，A1A′1= ，沿BB1、CC1將矩形A1A2A′2A′1折起成為一個(gè)直三棱柱，使A1與A2、A′1與A′2重合后分別記為D、D1，在直三棱柱DBC-D1B1C1中，點(diǎn)M、N分別為D1B和B1C1的中點(diǎn)．
(I)證明：MN∥平面DD1C1C；
(Ⅱ)若二面角D1-MN-C為直二面角，求 的值．
20．(本小題滿分12分)2013年2月20日，針對(duì)房?jī)r(jià)過高，國務(wù)院常務(wù)會(huì)議確定五條措施(簡(jiǎn)稱“國五條”)．為此，記者對(duì)某城市的工薪階層關(guān)于“國五條”態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取了60人，作出了他們的月收入的頻率分布直方圖(如圖)，同時(shí)得到了他們的月收入情況與“國五條”贊成人數(shù)統(tǒng)計(jì)表(如下表)：
月收入(百元)贊成人數(shù)
[15,25)8
[25,35)7
[35,45)10
[45,55)6
[55,65)2
[65,75)1
(I)試根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這60人的平均月收入；
(Ⅱ)若從月收入(單位：百元)在[15，25)，[25，35)的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取3人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的6人中不贊成“國五條”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
21．(本小題滿分13分)在矩形ABCD中，AB=2 ，AD=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn)，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示)．若R、R′分別在線段0F、CF上，且 = = .
(Ⅰ)求證：直線ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓 ： + =1上；
(Ⅱ)若M、N為橢圓 上的兩點(diǎn)，且直線GM與直線GN的斜率之積為 ，求證：直線MN過定點(diǎn)；并求△GMN面積的最大值．
22．(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=k? .
(I)求函數(shù)F(x)= f(x)- g(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)f(x)> g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
(Ⅲ)設(shè)正實(shí)數(shù)a1，a2，a3，…，an滿足a1+a2+a3+…+an=1，
求證：ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )> ．
2013年七市聯(lián)考數(shù)學(xué)試題(理工類)（B卷）
參考答案
一、： CABAB DCBAD
二、題：11. 12. 13.（Ⅰ） （Ⅱ）
14.（Ⅰ） （Ⅱ） 15. 16.
（注：填空題中有兩個(gè)空的，第一個(gè)空2分，第二個(gè)空3分）
三、解答題
17.解：（Ⅰ）
……………3分
∴ 的最小正周期 ……………4分
由 得
∴ 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ……………6分
（Ⅱ）由 得 ，
∵ ∴ ∴ , ……………8分
法一：又 ，
∴當(dāng) 時(shí)， 最大為 ……………12分
法二： 即
；當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立。 ……………12分
18.解：（Ⅰ）由題意 ，即
解得 ，∴ ……………2分
又 ，即 ……………4分
解得 或 （舍）∴ ……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
∴ ① ……………8分
又 ，
∴ ②…11分
由①②可知 ……………12分
19.解：（Ⅰ）證：連結(jié)DB1 、DC1 ∵四邊形DBB1D1為矩形，M為D1B的中點(diǎn) ……2分
∴M是DB1與D1B的交點(diǎn)，且M為DB1的中點(diǎn)
∴MN∥DC1，∴MN∥平面DD1C1C ……………4分
（Ⅱ）解：四邊形 為矩形，B.C在A1A2上，B1.C1在 上，
且BB1∥CC1∥ ，A1B = CA2 = 2， ，
∴∠BDC = 90° ……………6分
以DB、DC、DD1所在直線分別為x.y.z軸建立直角坐標(biāo)系，則
D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0， )，B1(2，0， )，C1(0，2， )
點(diǎn)M、N分別為D1B和B1C1的中點(diǎn)，∴
設(shè)平面D1MN的法向量為m = (x，y，z)，則
，
令x = 1得：
即 ……………8分
設(shè)平面MNC的法向量為n = (x，y，z)，則
，令z = 1得：
即 ……………10分
∵二面角D1－MN－C為直二面角 ∴m⊥n，故 ，解得：
∴二面角D1－MN－C為直二面角時(shí)， ． ……………12分
20.解：（Ⅰ）這 人的月平均收入為
（百元） ……………4分
（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖可知
的人數(shù)為 人
的人數(shù)為 人 ……………6分
的所有取值可能為
…… ……10分
∴ 的分布列為
∴ ……………12分
21.解：（Ⅰ）∵ ，∴ ， ……………1分
又 則直線 的方程為 ① ……………2分
又 則直線 的方程為 ②
由①②得
∵
∴直線 與 的交點(diǎn) 在橢圓 上 ……………4分
（Ⅱ）①當(dāng)直線 的斜率不存在時(shí)，設(shè)
不妨取 ∴ ,不合題意……………5分
②當(dāng)直線 的斜率存在時(shí)，設(shè)
聯(lián)立方程 得
則
…………7分
又
即
將 代入上式得
解得 或 （舍）
∴直線過定點(diǎn) ……………10分
∴ ，點(diǎn) 到直線 的距離為
∴
由 及 知： ，令 即
∴ 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)， ……13分
22、解：（Ⅰ） --- 1分
由 的判別式
①當(dāng) 即 時(shí)， 恒成立，則 在 單調(diào)遞增 ……2分
②當(dāng) 時(shí)， 在 恒成立，則 在 單調(diào)遞增 ……3分
③當(dāng) 時(shí)，方程 的兩正根為
則 在 單調(diào)遞增， 單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增
綜上，當(dāng) 時(shí)，只有單調(diào)遞增區(qū)間
當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為 ，
單調(diào)遞減區(qū)間為 …… 5分
（Ⅱ）即 時(shí)， 恒成立
當(dāng) 時(shí)， 在 單調(diào)遞增 ∴當(dāng) 時(shí)， 滿足條件 …7分
當(dāng) 時(shí)， 在 單調(diào)遞減
則 在 單調(diào)遞減
此時(shí) 不滿足條件
故實(shí)數(shù) 的取值范圍為 …… 9分
（Ⅲ）由（2）知， 在 恒成立
令 則 …… 10分
∴ …… 11分
又
∴ ……13分
∴ …… 14分
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/66887.html
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