專題七：思想方法專題
第一講 函數(shù)與方程思想
【思想方法詮釋】
函數(shù)與方程都是中學數(shù)學中最為重要的內(nèi)容。而函數(shù)與方程思想更是中學數(shù)學的一種基本思想，幾乎滲透到中學數(shù)學的各個領域，在解題中有著廣泛的應用，是歷年來高考考查的重點。
1．函數(shù)的思想
函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構(gòu)造函數(shù)，運用函 數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題。經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等。
2．方程的思想
方程的思想，就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。方程的是對方程概念的本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題，方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系。
3．函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系
函數(shù)思想與方程思想是密切相關的，如函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題來龍去脈解決；方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決，如解方程f(x)=0，就是求函數(shù)y=f(x)的 零點，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函數(shù)y=f(x)的正負區(qū)間，再如方程f(x)=g(x)的交點問題，也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)-g(x)與x軸交點問題，方程f(x)=a有解，當且公當a屬于函數(shù)f(x)的值域，函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關系十分重要。
4．函數(shù)與方程思想解決的相關問題
（1）函數(shù) 思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在兩個方面：
①借助有關初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題；
②在問題研究中通過建立函數(shù)關系式或構(gòu)造中間函數(shù)；把研究的問題化為討論函數(shù)的有關性質(zhì)，達到化難為易，化繁為簡的目的。
（2）方程思想在解題中的應用主要表現(xiàn)在四個方面：
①解方程或解不等式；
②帶參變數(shù)的方程 或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識應用；
③需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關系；
④構(gòu)造方程或不等式求解問題。
【核心要點突破】
要點考向1：運用函數(shù)與方程的思想解決字母或式子的求值或取值范圍問題
例1：若a、b是正數(shù)，且滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍。
思路精析：用a表示b→根據(jù)b＞0，求a的范圍→把ab看作a的函數(shù)→求此函數(shù)的值域。
解析：方法一：（看成函數(shù)的值域）
即a＞1或a＜-3.又a＞0,∴a＞1,故a-1＞0。
當且僅當a-1= ，即a=3時取等號.
又a＞3時, a-1+ +5是關于a的單調(diào)增函數(shù),
∴ab的取值范圍是[9,+∞).
方法二(看成不等式的解集)
∵a,b為正數(shù), ∴a+b≥2 ,又ab= a+b+3, ∴ab≥2 +3.
即
解得
方法三:若設ab=t,則a+b=t-3, ∴a,b可看成方程 的兩個 正根.
從而有 ,即
解得t≥9,即ab≥9.
注(1)求字母(或式子)的值問題往往要根據(jù)題設條件構(gòu)建以待求字母(式子)為元的方程 (組),然后由方程 (組)求得.
(2)求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等知識中的重要問題。解決這類問題一般有兩條途徑，其一，充分挖掘題設條件中的不等關系，構(gòu)建以待求字母為元的不等式（組）求解；其二，充分應用題設是的等量關系，將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)，然后，應用函數(shù)知識求值域.
(3)當問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構(gòu)建一元二次方程的明顯信號，構(gòu)造方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決.
(4)當問題中出現(xiàn)多個變量時,往往要利用等量關系去減少變量的個數(shù),如最后能把其中一個變量表示成關于另一個變量的表達式,那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決.
要點考向2：運用函數(shù)與方程思想解決方程問題
例2：已知函數(shù) 或 與 的圖象在 內(nèi)至少有一個公共點，試求 的取值范圍。
思路精析：化簡 的解析式→令 = →分離 →求函數(shù)的值域→確定 的范圍
解析：
與 的圖象在 內(nèi)至少有一個公共點，即 有解，即令 = ，
當且僅當 ，即cosx=0時“=”成立。
∴當a≥2時， 與 所組成的方程組在 內(nèi)有解，即 與 的圖象至少有一個公共點。
注：（1）本例中把兩函數(shù)圖象至少有一個公共點問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題．即把函數(shù)問題用方程的思想去解決．
（2）與本例相反的一類問題是已知方程的解的情問題，求參數(shù)的取值范圍．研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對數(shù)等復雜方程解的問題的，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復雜方程問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程；進而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式（組）或構(gòu)造函數(shù)加以解決．
要點考向3：運用函數(shù)與方程思想解決不等式問題
例3： （1）已知 且 那么（）
（2）設不等式 對滿足m∈[-2，2]的一切實數(shù) m都成立，求x的取值范圍．
思路精析：（1）先把它變成等價形式 再構(gòu)造輔助函數(shù) 利用函數(shù)單調(diào)性比較．
（2）此問題常因為思維定勢，易把它看成關于x的不等式討論，若變換一個角度，以m為變量，使f(m)= ，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常函數(shù)）f(m)的值在[-2，2]內(nèi)恒負時，參數(shù)x應滿足的條件．
解析：（1）選B．設 因為 均為R上的增函數(shù)，所以 是R上的增函數(shù)．又由 ，即 ，即x+y＞0．
(2)設f(m)= ，則不等式2x-1＞m 恒成立 恒成立．∴在 時，
即
解得 ，
∴
故x的取值范圍是 ．
注：1．在解決值的大小比較問題時，通過構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或圖象解決是一種重要思想方法；
2．在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當?shù)暮瘮?shù)利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題．同時要注意在一個含多個變量的數(shù)學問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關系，使問題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量而待求范圍的量為參數(shù)．
要點考向3：運用函數(shù)與方程思想解決最優(yōu)化問題
例4：圖1是某種稱為“凹槽”的機械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長為4.已知凹槽的強度與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)為 ,設AB=2x,BC=y.
（Ⅰ）寫出y關于x函數(shù)表達式，并指出x的取值范圍；
（Ⅱ）求當x取何值時，凹槽的強度最大.
解析：（Ⅰ）易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長為 .
所以 ，
得 ----------------------4分
依題意知： 得
所以， （ ）. ----------------------6分
（Ⅱ）依題意，設凹槽的強度為T，橫截面的面積為S，則有
----------------------8分
. ----------------------11分
因為 ,
所以，當 時，凹槽的強度最大.
答: 當 時，凹槽的強度最大. -- ------------13分
注：解析幾何、立體幾何及實際應用問題中的最優(yōu)化問題，一般是利用函數(shù)的思想解決，思路是先選擇恰當?shù)淖兞拷⒛繕撕瘮?shù)，然后再利用有關知識，求函數(shù)的最值。
【跟蹤模擬訓練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1.已知正數(shù)x,y滿足xy=x+9y+7，則xy的最小值為( )
(A)32(B)43(C)49(D)60
2．方程 有解，則m的最大值為（ ）
(A)1(B)0(C)-1(D)-2
3.一個高為h0，滿缸水量為V0的魚缸的
軸截面如圖所示，其底部有一個小洞，
滿缸水從洞中流出，當魚缸口高出水面
的高度為h時，魚缸內(nèi)剩余水的體積為V,
則函數(shù)V=f(h)的大致圖象可能是（ ）
4.對任意a∈［-1,1］，函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值總大于零，則x的取值范圍是( )
(A)1
(C)1
5.若正實數(shù)a,b滿足ab=ba，且a<1,則有( )
(A)a>b(B)a
6．已知圓 上任意一點P(x,y)都使不等式 恒成立，則m的取值范圍是（ ）
二、填空題（每小題6分，共18分）
7． 的定義域和值域都是[1，k]，則k=
8．已知數(shù)列 中， ，若數(shù)列的前30項中最大項是 ，最小項是 ，則m= ,n=
9.設f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當x<0時，f′(x)?g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是______.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù)，且a≠0)滿足條件:f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有相等實根.
(1)求函數(shù)f( x)的解析式;
(2)是否存在實數(shù)m,n(m
12．設 的極小值為-8，其導數(shù) 的圖象經(jīng)過（-2，0）， 兩點，如圖所示．
（1）求f(x)的解析式；
（2）若對x∈[-3，3]，都有 恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
參考答案
1．
2．
3．【解析】選A.設魚缸底面積為S,則V=f(h)=Sh0-Sh，故V=f(h)是一次函數(shù)且是減函數(shù).
4．【解析】選B.由f(x)=x2+(a-4)x+4-2a>0得
a(x-2)+x2-4x+4>0，
令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4，
由不等式f(x)>0恒成立,
即g(a)>0在［-1,1］上恒成立.
5．
6．
7．
8．
9．【解析】令F(x)=f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得F(x)是奇函數(shù).
又當x<0時，F(xiàn)′(x)=f′（x）g(x)+f(x)g′(x)>0，
∴x<0時，F(xiàn)(x)為增函數(shù).
又F(x)為奇函數(shù)，故F(x)在［0，+∞）也是增函數(shù).
∵F(-3)=f(-3)g(-3)
=0=-F(3)，
∴F(x)<0的解集是
(-∞,-3)∪(0,3)，
如圖.
答案：（-∞,-3）∪（0，3）
10．【解析】(1)∵方程ax2+bx-2x=0有相等實根,
∴Δ=(b-2)2=0,得b=2,由f(x-1)=f(3-x)知此函數(shù)圖象的對稱軸
方程為x= =1,
得a=-1.故f(x)=-x2+2x.
11．【解析】以點O為原點，OA所在的直線為x軸，建立直角坐標系，
設拋物線的方程為x2=2py，
由C(2,4)代入得:p= ，
所以曲線段OC的方程為:y=x2(x∈［0,2］).
A(-2,0)，B(-2,4),設P(x,x2)(x∈［0,2］)，
過P作PQ⊥AB于Q，PN⊥BC于N,
故PQ=2+x,PN=4-x2，
則矩形商業(yè)樓區(qū)的面積S=(2+x)(4-x2)(x∈［0,2］).
S=-x3-2x2+4x+8，
12．
【備課資源】
1.已知拋物線y2=4x上一點A(x0,y0)，F(xiàn)是其焦點，若y0∈［1,2］，則AF的范圍是( )
(A)［ ,1］(B)［ ,2］(C)［1,2］(D)［2，3］
【解析】選B.拋物線準線方程為x=-1,則AF=x0+1,
4.已知命題p：“對 x∈R， m∈R，使4x+2xm+1=0”，若命題 p是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是( )
(A)-2≤m≤2(B)m≥2
(C)m≤-2(D)m≤-2或m≥2
【解析】選C. 由已知：命題p為真命題,
即方程4x+2xm+1=0有解,
∴-m=2x+2-x≥2，即m≤-2.
6.已知函數(shù)f(x)=ln(2x)和g(x)=2ln(2x+m-2)，m∈R的圖象在x=2處的切線互相平行.
(1)求m的值；
(2)設F(x)=g(x)-f(x).當x∈［1,4］時,F(x)≥2tln4恒成立,求t的取值范圍.
所以當1≤x<2時，G′(x)<0，
當2
故G(x)在［1,2)是單調(diào)減函數(shù),在(2,4］是單調(diào)增函數(shù).
所以G(x)min=G(2)=16，G(x)max=G(1)=G(4)=18.
因為當x∈［1,4］時，F(xiàn)(x)≥2tln4恒成立,
所以F(x)min ≥2tln4.
即ln16≥2tln4，
解得t≤1.
綜上所述,滿足條件的t的取值范圍是(-∞,1］.
7.國際上鉆石的重量計量單位為克拉.已知某種鉆石的價值v（美元）與其重量ω（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價值為54 000美元.
（1）寫出v關于ω的函數(shù)關系式；
（2）若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價值損失的百分率；
（3）試用你所學的數(shù)學知識證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時，按重量比為1∶1切割，價值損失的百分率最大.
【解析】（1）依題意設v=kω2,
又當ω=3時，v=54 000，∴k=6 000.
故v=6 000 ω2.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/66932.html
相關閱讀：第十二章立體幾何(高中數(shù)學競賽標準教材)