高考導(dǎo)航
考試要求重難點擊命題展望
排列
、
組合 1.理解并運用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題；
2.理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實際問題；
3.能用計數(shù)原理證明二項式定理； 會用 二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題. 本章重點：排列、組合的意義及其計算方法，二項式定理的應(yīng)用.
本章難點：用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的問題. 排列組合是學(xué)習(xí)概率的基礎(chǔ)，其核心是兩個基本原理.高考中著重考查兩個基本原理，排列組合的概念及二項式定理.
隨機(jī)事件的概率 1.了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別；
2.了解兩個互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式；
3.理解古典概型及其概率計算公式；會計算一些隨機(jī)事件所包含的基本事件的個數(shù)及事件發(fā)生的概率；
4.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率，了解幾何概型的意義. 本章重點：1.隨機(jī)事件、互斥事件及概率的意義，并會計算互斥事件的概率；2.古典概型、幾何概型的概率計算.
本章難點：1.互斥事件的判斷及互斥事件概率加法公式的應(yīng)用；2.可以轉(zhuǎn) 化為幾何概型求概率的問題. 本部分要求考生能從集合的思想觀點認(rèn)識事件、互斥事件與對立事件，進(jìn)而理解概率的性質(zhì)、公式，還要求考生了解幾何概型與隨機(jī)數(shù)的意義.在高考中注重考查基礎(chǔ)知識和基本方法的同時，還常考查分類與整合，或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，邏輯思維能力以及運用概率知識解決實際問題的能力.
離散型隨機(jī)變量 1.理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性；
2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用；
3.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題；
4.理解取有限值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實際問題；
5.利用實際問題的直方圖，認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.本章重點：1.離散型隨機(jī)變量及其分布列； 2.獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布.
本章難點：1.利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差解決一些實際問題；2.正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義. 求隨機(jī)變量的分布列與期望，以及在此基礎(chǔ)上進(jìn)行統(tǒng)計分析是近幾年來較穩(wěn)定的高考命題態(tài)勢.考生應(yīng)注重對特殊分布(如二項分布、超幾何分布)的理解和對事件的意義的理解.
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12.1 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理
典例精析
題型一 分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用
【例1】 在1到20這20個整數(shù)中，任取兩個數(shù)相加，使其和大于20，共有 種取法.
【解析】當(dāng)一個加數(shù)是1時，另一個加數(shù)只能是20，有1種取法；
當(dāng)一個加數(shù)是2時，另一個加數(shù)可以是19,20，有2種取法；
當(dāng)一個加數(shù)是3時，另一個加數(shù)可以是18,19,20，有3種取法；
……
當(dāng)一個加數(shù)是10時，另一個加數(shù)可以是11,12，…，19,20，有10種取法；
當(dāng)一個加數(shù)是11時，另一個加數(shù)可以是12,13，…，19,20，有9種取法；
……
當(dāng)一個加數(shù)是19時，另一個加數(shù)只能是20，有1種取法.
由分類加法計數(shù)原理可得共有1＋2＋3＋…＋10＋9＋8＋…＋1＝100種取法.
【點撥】采用列舉法分類，先確定一個加數(shù)，再利用“和大于20”確定另一個加數(shù).
【變式訓(xùn)練1】(2010濟(jì)南市模擬)從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為( )
A.3B.4C.6D.8
【解析】當(dāng)公比為2時，等比數(shù)列可為1,2,4或2,4,8；當(dāng)公比為3時，等比數(shù)列可為1,3,9；當(dāng)公比為32時，等比數(shù)列可為4,6,9.同理，公比為12、13、23時，也有4個.故選D.
題型二 分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用
【例2】 從6人中選4人分別到張家界、韶山、衡山、桃花源四個旅游景點游覽，要求每個旅游景點只有一人游覽，每人只游覽一個旅游景點，且6個人中甲、乙兩人不去張家界游覽，則不同的選擇方案共有 種.
【解析】能去張家界的有4人，依此能去韶山、衡山、桃花源的有5人、4人、3人.則由分步乘法計數(shù)原理得不同的選擇方案有4×5×4×3＝240種.
【點撥】根據(jù)題意正確分步，要求各步之間必須連續(xù)，只有按照這幾步逐步地去做，才能完成這件事，各步之間既不能重復(fù)也不能遺漏.
【變式訓(xùn)練2】(2010湘潭市調(diào)研)要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，現(xiàn)有5人，每人可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準(zhǔn)由同一人值班，問此值班表共有 種不同的排法.
【解析】依題意，值班表須一天一天分步完成.第一天有5人可選有5種方法，第二天不能用第一天的人有4種方法，同理第三天、第四天、第五天也都有4種方法，由分步乘法計數(shù)原理共有5×4×4×4×4＝1 280種方法.
題型三 分類和分步計數(shù)原理綜合應(yīng)用
【例3】(2011長郡中學(xué))如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有 .
【解析】方法一：由題意知，有且僅有兩個區(qū)域涂相同的顏色，分為4類：1與5同；2與5同；3與5同；1與3同.對于每一類有A44種涂法，共有4A44＝96種方法.
方法二：第一步：涂區(qū)域1，有4種方法；第二步：涂區(qū)域2，有3種方法；第三步：涂區(qū)域4，有2種方法(此前三步已經(jīng)用去三種顏色)；第四步：涂區(qū)域3，分兩類：第一類，3與1同色，則區(qū)域5涂第四種顏色；第二類，區(qū)域3與1不同色，則涂第四種顏色，此時區(qū)域5就可以涂區(qū)域1或區(qū)域2或區(qū)域3中的任意一種顏色，有3種方法.所以，不同的涂色種數(shù)有4×3×2×(1×1＋1×3)＝96種.
【點撥】染色問題是排列組合中的一類難題.本題能運用兩個基本原理求解，要注意的是分類中有分步，分步后有分類.
【變式訓(xùn)練3】(2009深圳市調(diào)研)用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號為1,2，…，9的9個小正方形，使得任意相鄰(有公共邊)小正方形所涂顏色都不相同，且1,5,9號小正方形涂相同顏色，則符合條件的所有涂法有多少種？
【解析】第一步，從三種顏色中選一種顏色涂1,5,9號有C13種涂法；
第二步，涂2,3,6號，若2,6同色，有4種涂法，若2,6不同色，有2種涂法，故共有6種涂法；
第三步，涂4,7,8號，同第二步，共有6種涂法.
由分步乘法原理知共有3×6×6＝108種涂法.
總結(jié)提高
分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理回答的都是完成一件事有多少種不同方法或種數(shù)的問題，其區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理是完成一件事要分若干類，類與類之間要互斥，用任何一類中的任何一種方法都可以獨立完成這件事；分步乘法計數(shù)原理是完成一件事要分若干步，步驟之間相互獨立，各個步驟相互依存，缺少其中任何一步都不能完成這件事，只有當(dāng)各個步驟都完成之后，才能完成該事件.因此，分清完成一件事的方法是分類還是分步，是正確使用這兩個基本計數(shù)原理的基礎(chǔ).
12.2 排列與組合
典例精析
題型一 排列數(shù)與組合數(shù)的計算
【例1】 計算：(1)8！＋A66A28－A410；(2) C33＋C34＋…＋C310.
【解析】(1)原式＝8×7×6×5×4×3×2×1＋6×5×4×3×2×18×7－10×9×8×7＝57×6×5×4×3×256×(－89)＝－5 130623.
(2)原式＝C44＋C34＋C35＋…＋C310＝C45＋C35＋…＋C310＝C46＋C36＋…＋C310＝C411＝330.
【點撥】在使用排列數(shù)公式Amn＝n！(n－m)！進(jìn)行計算時，要注意公式成立的條件：m，n∈N+，m≤n.另外，應(yīng)注意組合數(shù)的性質(zhì)的靈活運用.
【變式訓(xùn)練1】解不等式 ＞6 .
【解析】原不等式即9！(9－x)�。�6×9！(11－x)！，
也就是1(9－x)！＞ ，
化簡得x2－21x＋104＞0，
解得x＜8或x＞13，又因為2≤x≤9，且x∈N*，
所以原不等式的解集為{2,3,4,5,6,7}.
題型二 有限制條件的排列問題
【例2】 3男3女共6個同學(xué)排成一行.
(1)女生都排在一起，有多少種排法？
(2)女生與男生相間，有多少種排法？
(3)任何兩個男生都不相鄰，有多少種排法？
(4)3名男生不排在一起，有多少種排法？
(5)男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊伍的兩端，有幾種排法？
【解析】(1)將3名女生看作一人，就是4個元素的全排列，有A44種排法.又3名女生內(nèi)部可有A33種排法，所以共有A44?A33＝144種排法.
(2)男生自己排，女生也自己排，然后相間插入(此時有2種插法)，所以女生與男生相間共有2A33?A33＝72種排法.
(3)女生先排，女生之間及首尾共有4個空隙，任取其中3個安插男生即可，因而任何兩個男生都不相鄰的排法共有A33?A34＝144種.
(4)直接分類較復(fù)雜，可用間接法.即從6個人的排列總數(shù)中，減去3名男生排在一起的排法種數(shù)，得3名男生不排在一起的排法種數(shù)為A66－A33A44＝576種.
(5)先將2個女生排在男生甲、乙之間，有A23種排法.又甲、乙之間還有A22種排法.這樣就有A23?A22種排法.然后把他們4人看成一個元素(相當(dāng)于一個男生)，這一元素及另1名男生排在首尾，有A22種排法.最后將余下的女生排在其間，有1種排法.故總排法為A23A22A22＝24種.
【點撥】排列問題的本質(zhì)就是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制主要表現(xiàn)在：某些元素“排”或“不排”在哪個位子上，某些元素“相鄰”或“不相鄰”.對于這類問題，在分析時，主要按照“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先安排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，對于“相鄰”問題可用“捆綁法”，對于“不相鄰”問題可用“插空法”.對于直接考慮較困難的問題，可以采用間接法.
【變式訓(xùn)練2】把1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排列構(gòu)成一個數(shù)列.
(1)43 251是這個數(shù)列的第幾項？
(2)這個數(shù)列的第97項是多少？
【解析】(1)不大于43 251的五位數(shù)A55－(A44＋A33＋A22)＝88個，即為此數(shù)列的第88項.
(2)此數(shù)列共有120項，而以5開頭的五位數(shù)恰好有A44＝24個，所以以5開頭的五位數(shù)中最小的一個就是該數(shù)列的第97項，即51 234.
題型三 有限制條件的組合問題
【例3】 要從12人中選出5人去參加一項活動.
(1)A，B，C三人必須入選有多少種不同選法？
(2)A，B，C三人都不能入選有多少種不同選法？
(3)A，B，C三人只有一人入選有多少種不同選法？
(4)A，B，C三人至少一人入選有多少種不同選法？
(5)A，B，C三人至多二人入選有多少種不同選法？
【解析】(1)只須從A，B，C之外的9人中選擇2人，C29＝36種不同選法.
(2)由A，B，C三人都不能入選只須從余下9人中選擇5人，即有C59＝C49＝126種選法.
(3)可分兩步，先從A，B，C三人中選出1人，有C13種選法，再從余下的9人中選4人，有C49種選 法，所以共有C13?C49＝378種選法.
(4)可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種，再減去A，B，C三人都不入選的情況C59，共有C512－C59＝666種選法.
(5)可考慮間接法，從12人中選5人共有C512種，再減去A，B，C三人都入選的情況C29種，所以共有C512－C29＝756種選法.
【點撥】遇到至多、至少的有關(guān)計數(shù)問題，可以用間接法求解.對于有限制條件的問題，一般要根據(jù)特殊元素分類.
【變式訓(xùn)練3】四面體的頂點和各棱中點共有10個點.
(1)在其中取4個共面的點，共有多少種不同的取法？
(2)在其中取4個不共面的點，共有多少種不同的取法？
【解析】(1)四個點共面的取法可分三類.第一類：在同一個面上取，共有4C46種；第二類：在一條棱上取三點，再在它所對的棱上取中點，共有6種；第三類：在六條棱的六個中點中取，取兩對對棱的4個中點，共有C23＝3種.故有69種.
(2)用間接法.共C410－69＝141種.
總結(jié)提高
解有條件限制的排列與組合問題的思路：
(1)正確選擇原理，確定分類或分步計數(shù)；
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/69115.html
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