理科數(shù)學(xué)
2013．05
全卷分兩部分：第一部分為所有考生必做部分（滿分160分，考試時(shí)間120分鐘），第二部分為選修物理考生的加試部分（滿分40分，考試時(shí)間30分鐘）．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，請(qǐng)考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考試號(hào)等信息填寫(xiě)在答卷規(guī)定的地方．
2．第一部分試題答案均寫(xiě)在答題卷相應(yīng)位置，答在其它地方無(wú)效．
3．選修物理的考生在第一部分考試結(jié)束后，將答卷交回，再參加加試部分的考試．
第一部分
一、題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卷相應(yīng)的位置上）
1．已知集合 ，則 ▲ ．
2．若復(fù)數(shù) 是實(shí)數(shù)，則 ▲ ．
3．已知某一組數(shù)據(jù) ，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，則其方差為 ▲ ．
4．若以連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù) 分別作為點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P在直線 上的概率為 ▲ ．
5．運(yùn)行如圖語(yǔ)句，則輸出的結(jié)果T＝ ▲ ．
6．若拋物線 的焦點(diǎn)與雙曲線 的右焦點(diǎn)重合，則雙曲線的離心率為 ▲ ．
7．已知一個(gè)圓錐的底面圓的半徑為1，體積為 ，則該圓錐的側(cè)面積為 ▲ ．
8．將函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位得到函數(shù) 的圖象，若 在 上為增函數(shù)，則 最大值為 ▲ ．
9．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) ，若點(diǎn) 為平面區(qū)域 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 的取值范圍是 ▲ ．
10．?dāng)?shù)列 中， ， （ 是常數(shù)， ），且 成公比不為 的等比數(shù)列，則 的通項(xiàng)公式是 ▲ ．
11．若對(duì)任意 ，不等式 恒成立，則實(shí)數(shù) 的范圍 ▲ ．
12．函數(shù) 的圖象上關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱的點(diǎn)有 ▲ ．對(duì).
13．在平面直角坐標(biāo)系 中，已知點(diǎn) 是橢圓 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段 的延長(zhǎng)線上，且 ，則點(diǎn)P橫坐標(biāo)的最大值為 ▲ ．
14．從 軸上一點(diǎn)A分別向函數(shù) 與函數(shù) 引不是水平方向的切線 和 ，兩切線 、 分別與 軸相交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記△OAB的面積為 ，△OAC的面積為 ，則 + 的最小值為 ▲ ．
二、解答題：（本大題共6道題，計(jì)90分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15．（本小題滿分14分）
已知函數(shù) .
（1）求 的最小正周期；
（2）在 中， 分別是 A、 B、 C的對(duì)邊，若 ， ， 的面積為 ，求 的值.
16．（本小題滿分14分）
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直線A1B上．
（1）求證：平面A1BC⊥平面ABB1A1；
（2）若 ，AB=BC=2，P為AC中點(diǎn)，求三棱錐 的體積。
17．（本小題滿分15分）
某地區(qū)注重生態(tài)環(huán)境建設(shè)，每年用于改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用為 億元，其中用于風(fēng)景區(qū)改造為 億元。該市決定建立生態(tài)環(huán)境改造投資方案，該方案要求同時(shí)具備下列三個(gè)條件：①每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用隨每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用增加而增加；②每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用至少 億元，至多 億元；③每年用于風(fēng)景區(qū)改造費(fèi)用不得低于每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的15%，但不得每年改造生態(tài)環(huán)境總費(fèi)用的22%。
（1）若 ， ，請(qǐng)你分析能否采用函數(shù)模型y＝ 作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案；
（2）若 、 取正整數(shù)，并用函數(shù)模型y＝ 作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案，請(qǐng)你求出 、 的取值．
18．（本小題滿分15分）
橢圓 的右焦點(diǎn)為 ，右準(zhǔn)線為 ，離心率為 ，點(diǎn) 在橢圓上，以 為圓心， 為半徑的圓與 的兩個(gè)公共點(diǎn)是 ．
（1）若 是邊長(zhǎng)為 的等邊三角形，求圓的方程；
（2）若 三點(diǎn)在同一條直線 上，且原點(diǎn)到直線 的距離為 ，求橢圓方程．
19．（本小題滿分16分）
已知函數(shù) ， ，（ ）．
（1）求函數(shù) 的極值；
（2）已知 ，函數(shù) ， ，判斷并證明 的單調(diào)性；
（3）設(shè) ，試比較 與 ，并加以證明．
20．（本小題滿分16分）
設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列 為 階“期待數(shù)列”：
① ；② ．
（1）若等比數(shù)列 為 ( )階“期待數(shù)列”，求公比 ；
（2）若一個(gè)等差數(shù)列 既是 ( )階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）記 階“期待數(shù)列” 的前 項(xiàng)和為 ：
（?）求證： ；
（?）若存在 使 ，試問(wèn)數(shù)列 能否為 階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
第二部分（加試部分）
（總分40分，加試時(shí)間30分鐘）
注意事項(xiàng)：
答卷前，請(qǐng)考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考試號(hào)等信息填寫(xiě)在答題卷上規(guī)定的位置．解答過(guò)程應(yīng)寫(xiě)在答題卷的相應(yīng)位置，在其它地方答題無(wú)效．
21．B 選修4 - 2：矩陣與變換（本題滿分10分）
已知矩陣 ，向量 ．求向量 ，使得 ．
21．C 選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本題滿分10分）
在直角坐標(biāo)系 內(nèi)，直線 的參數(shù)方程為 為參數(shù) ．以 為極軸建立極坐標(biāo)系，圓 的極坐標(biāo)方程為 .判斷直線 和圓 的位置關(guān)系.
22．（本題滿分10分）
某高校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作。規(guī)定：至少正確完成其中2題的便可提交通過(guò)。已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成。
（1）求出甲考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
（2）若考生乙每題正確完成的概率都是 ，且每題正確完成與否互不影響。試從至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．
23．（本題滿分10分）
（1）設(shè) ，試比較 與 的大�。�
（2）是否存在常數(shù) ，使得 對(duì)任意大于 的自然數(shù) 都成立？若存在，試求出 的值并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
參考答案
第一部分
2013．05
1． 2． 3． 24．
5．6256． 7． 8．
9． 10． 11．
12．3
13．
提示：設(shè) ，由 ，得 ，
= = = ，
研究點(diǎn)P橫坐標(biāo)的最大值，僅考慮 ，
（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”）．
14．8
提示： ，設(shè)兩切點(diǎn)分別為 ， ，（ ， ），
： ，即 ，令 ，得 ；
令 ，得 ．
： ，即 ，令 ，得 ；令 ，得 ．
依題意， ，得 ，
+ = = = ，
= ，可得當(dāng) 時(shí)， 有最小值8．
15． 解：（1）
4分
6分
（2）由 ， ，
又 的內(nèi)角， ，
， 8分
， ， ， 11分
， 14分
16．證：直三棱柱ABC-A1B1C1中，A A1⊥平面ABC，
∴A A1⊥BC，
∵AD⊥平面A1BC，
∴AD⊥BC，
∵A A1 ，AD為平面ABB1A1內(nèi)兩相交直線，
∴BC⊥平面ABB1A1，
又∵ 平面A1BC，
∴平面A1BC⊥平面ABB1A1
7分
(2) 由等積變換得 ，
在直角三角形 中，由射影定理( )知 ，
∵ ，
∴三棱錐的高為 10分
又∵底面積 12分
∴ = 14分
法二：連接 ，取 中點(diǎn) ，連接 ，∵P為AC中點(diǎn)，
, , 9分
由（1）AD⊥平面A1BC，∴ ⊥平面A1BC，
∴ 為三棱錐P- A1BC的高，11分
由（1）BC⊥平面ABB1A1 ， 12分
，14分
17．解：（1）∵ ，
∴函數(shù)y＝ 是增函數(shù)，滿足條件①。3分
設(shè) ，
則 ，
令 ，得 。
當(dāng) 時(shí)， ， 在 上是減函數(shù)；
當(dāng) 時(shí)， ， 在 上是增函數(shù)，
又 ， ，即 ， 在 上是增函數(shù)，
∴當(dāng) 時(shí)， 有最小值0.16=16%>15%，
當(dāng) 時(shí)， 有最大值0.1665=16.65%<22%,
∴能采用函數(shù)模型y＝ 作為生態(tài)環(huán)境改造投資方案。9分
（2）由(1)知 ，
依題意，當(dāng) ， 、 時(shí)， 恒成立；
下面求 的正整數(shù)解。
令 ，12分
由(1)知 ， 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，
又由（1）知，在 時(shí)， ，且 =16%∈[15%，22%]，
合條件，經(jīng)枚舉 ， ∈[15%，22%]，
而 [15%，22%]，可得 或 或 ，
由 單調(diào)性知 或 或 均合題意。15分
18．解：設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸是 ，半短軸是 ，半焦距離是 ，
由橢圓 的離心率為 ，可得橢圓 方程是 ，2分
（只要是一個(gè)字母，其它形式同樣得分，）
焦點(diǎn) ，準(zhǔn)線 ，設(shè)點(diǎn) ，
（1） 是邊長(zhǎng)為 的等邊三角形，
則圓半徑為 ，且 到直線 的距離是 ，
又 到直線 的距離是 ，
所以， ， ，
所以
所以，圓的方程是 。6分
（2）因?yàn)?三點(diǎn)共線，且 是圓心，所以 是線段 中點(diǎn)，
由 點(diǎn)橫坐標(biāo)是 得， ，8分
再由 得： ， ，
所以直線 斜率 10分
直線 ： ， 12分
原點(diǎn) 到直線 的距離 ，
依題意 ， ，所以 ，
所以橢圓的方程是 ．15分
19．解：（1） ，令 ，得 ．
當(dāng) 時(shí)， ， 是減函數(shù)；
當(dāng) 時(shí)， ， 是增函數(shù)．
∴當(dāng) 時(shí)， 有極小值 ， 無(wú)極大值．4分
（2）
= = ，
由（1）知 在 上是增函數(shù)，
當(dāng) 時(shí)， ，
即 ，
∴ ，即 在 上是增函數(shù)．10分
（3） ，由（2）知， 在 上是增函數(shù)，
則 ，
令 得， ．16分
20．解：（1）若 ，則由① =0，得 ，
由②得 或 ．
若 ，由①得， ，得 ，不可能．
綜上所述， ．
（2）設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ， >0．
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ >0，由 得 ， ，
由題中的①、②得 ，
，
兩式相減得， ， ∴ ，
又 ，得 ，
∴ ．
（3）記 ， ，…， 中非負(fù)項(xiàng)和為 ，負(fù)項(xiàng)和為 ，
則 ， ，得 ， ，
（?） ，即 ．
（?）若存在 使 ，由前面的證明過(guò)程知：
， ，…， ， ， ，…， ，
且 … ．
記數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，
則由（?）知， ，
∴ = ，而 ，
∴ ，從而 ， ，
又 … ，
則 ，
∴ ，
與 不能同時(shí)成立，
所以，對(duì)于有窮數(shù)列 ，若存在 使 ，則數(shù)列 和數(shù)列 不能為 階“期待數(shù)列”．
第二部分（加試部分）
21．B 解： ，4分
設(shè) ，由 得 ，
即 ，8分
解得 ，所以 10分
21．C 解: 將 消去參數(shù) ，得直線 的直角坐標(biāo)方程為 ； 3分
由 ,即 ，
兩邊同乘以 得 ，
所以⊙ 的直角坐標(biāo)方程為： 7分
又圓心 到直線 的距離 ，
所以直線 和⊙ 相交． 10分
22．解：（Ⅰ）設(shè)考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)分別為 ，
則 ，所以 ， 2分
所以考生甲正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)的概率分布列為：
123
；4分
（Ⅱ）設(shè)考生乙正確完成實(shí)驗(yàn)操作的題數(shù)為 ，則
，所以 ， 6分
又 且 ，8分
從至少正確完成2題的概率考察，甲通過(guò)的可能性大，
因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng)。10分
23．解：（Ⅰ）設(shè) ，則 ，
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減；
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增；
故函數(shù) 有最小值 ，則 恒成立4 分
（Ⅱ）取 進(jìn)行驗(yàn)算：
猜測(cè)：① ，
②存在 ，使得 恒成立。6分
證明一：對(duì) ，且 ，
有
又因 ，
故 8分
從而有 成立，即
所以存在 ，使得 恒成立 10分
證明二：
由（1）知：當(dāng) 時(shí)， ，
設(shè) ， ，
則 ，所以 ， ， ，
當(dāng) 時(shí)，再由二項(xiàng)式定理得：
即 對(duì)任意大于 的自然數(shù) 恒成立，8分
從而有 成立，即
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/69133.html
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