數(shù) 學(xué) 試 卷（文科）
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．)
（1） 是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（2）已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
（3）已知命題 ， ，那么下列結(jié)論正確的是
A. 命題 B．命題
C．命題 D．命題
（4） 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 值為
A．102 B．81 C．39 D．21
（5）在區(qū)間 上隨機(jī)取一個(gè)數(shù) ，則事件“ ”
發(fā)生的概率為
A. B. C. D.
（6）某地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長 %，經(jīng)過 年，綠化面積與原綠化面積之比為 ，則 的圖像大致為
（7）已知四棱錐 的三視圖如圖所示，則此四棱錐的四個(gè)側(cè)面的面積中最大的是
A.
B.
C.
D.
(8)定義一種新運(yùn)算： 已知函數(shù) ，若函數(shù) 恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則 的取值范圍為
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）
一、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
（9）在△ABC中，若 ，則 的大小為_________.
（10）雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則 .
(11) 某高校在 年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的筆試成績，繪制成頻率分布直方圖如圖所示，由圖中數(shù)據(jù)可知 ＝ ；若要從成績在 ， ， 三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取 人參加面試，則成績在 內(nèi)的學(xué)生中，學(xué)生甲被選取的概率為 .
（12）設(shè) 與拋物線 的準(zhǔn)線圍成的三角形區(qū)域（包含邊界）為 ， 為 內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù) 的最大值為 _
（13）如圖，在邊長為 的菱形 中， ，
為 的中點(diǎn)，則 的值為
（14）對于三次函數(shù) ，給出定義：
設(shè) 是函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)， 是函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)，若方程 有實(shí)數(shù)解 為函數(shù) 的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.給定函數(shù) ，請你根據(jù)上面探究結(jié)果，解答以下問題：
①函數(shù) 的對稱中心坐標(biāo)為 _ ；
②計(jì)算 = __ .
三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)
（15）（本小題滿分13分）
已知 為等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和，且 .
（Ⅰ）求 的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若等比數(shù)列 滿足 ，求 的前 項(xiàng)和公式.
（16）（本小題滿分13分）
已知函數(shù) .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.
（17）（本小題滿分14分）
如圖,在四棱錐 中,底面 是正方形,
側(cè)面 底面 ，且 ,
、 分別為 、 的中點(diǎn)．
(Ⅰ) 求證： 平面 ；
(Ⅱ) 求三棱錐 的體積；
(Ⅲ) 在線段 上是否存在點(diǎn) 使得 ？說明理由.
（18）（本小題滿分13分）
已知函數(shù)
（Ⅰ）若 在 處的切線與直線 平行，求 的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求 在區(qū)間 上的最小值.
（19）（本小題滿分13分）
已知橢圓 的離心率為 且過點(diǎn) ．
（I）求此橢圓的方程；
（II）已知定點(diǎn) ，直線 與此橢圓交于 、 兩點(diǎn)．是否存在實(shí)數(shù) ，使得以線段 為直徑的圓過 點(diǎn)．如果存在，求出 的值；如果不存在，請說明理由.
（20）（本小題滿分14分）
如果函數(shù) 的定義域?yàn)?，對于定義域內(nèi)的任意 ，存在實(shí)數(shù) 使得 成立，則稱此函數(shù)具有“ 性質(zhì)”．
（I）判斷函數(shù) 是否具有“ 性質(zhì)”，若具有“ 性質(zhì)”，求出所有 的值；若不具有“ 性質(zhì)”，請說明理由;
（II）設(shè)函數(shù) 具有“ 性質(zhì)”，且當(dāng) 時(shí)， ．若 與 交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2013個(gè)，求 的值．
昌平區(qū)2014－2013學(xué)年第二學(xué)期高三年級期第二次質(zhì)量抽測
數(shù) 學(xué) 試卷 參考答案（文科）
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．)
題 號 （1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案 A C B A C D D B
二、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．）
（9） （10）
（11）0.040 ； （12）
（13） （14） ;2014
三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)
（15）(本小題滿分13分)
解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列 的公差為 .
因?yàn)?，
所以 解得 ............................................................4分
所以 ....................................................................................6分
（II）設(shè)等比數(shù)列 的公比為
因?yàn)?br>所以
所以 的前 項(xiàng)和公式為 ...........................................13分
（16）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）
………………………………………………………………………………………..4分
…………………………………….6分
（Ⅱ） 的最小正周期 ，…………………………8分
又由 可得
函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .………13分
（17）（本小題滿分14分）
(Ⅰ)證明：連結(jié) ，
為正方形， 為 中點(diǎn)，
為 中點(diǎn).
∴在 中, // ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分
且 平面 ， 平面 ∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
(Ⅱ)解：如圖,取 的中點(diǎn) , 連結(jié) .
∵ , ∴ .
∵側(cè)面 底面 ,
,
∴ .
又 所以 是等腰直角三角形，
且
在正方形 中，
……………………………………………..9分
(III)存在點(diǎn) 滿足條件，理由如下：設(shè)點(diǎn) 為 中點(diǎn)，連接
由 為 的中點(diǎn)，所以 // ，
由（I）得 // ，且
所以 .
∵側(cè)面 底面 , ,
所以， .
所以， 的中點(diǎn) 為滿足條件的點(diǎn).……………………………………14分
（18）（本小題滿分13分）
解：（I） 的定義域?yàn)?br>由 在 處的切線與直線 平行，則 ….4分
此時(shí) 令
與 的情況如下：
（ ）
1
?0+
?
?
所以， 的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ），單調(diào)遞增區(qū)間是 ………………………7分
(II)由
由 及定義域?yàn)?，令
①若 在 上， ， 在 上單調(diào)遞增， ；
②若 在 上， ， 單調(diào)遞減；在 上， ， 單調(diào)遞增，因此在 上， ；
③若 在 上， ， 在 上單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， …………………………………………………………………..13分
（19）（本小題滿分13分）
解：（1）根據(jù)題意，
所以橢圓方程為 .5分
（II）將 代入橢圓方程，得 ，由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以 ，解得 .
設(shè) 、 ，則 ， ，若以 為直徑的圓過 點(diǎn)，則 ，即 ，
而 = ，所以
，解得 ,滿足 .
所以存在 使得以線段 為直徑的圓過 點(diǎn)．13分
（20）（本小題滿分14分）
解：（I）由 得 ，根據(jù)誘導(dǎo)公式得 ． 具有“ 性質(zhì)”，其中 ．
………………4分
（II） 具有“ 性質(zhì)”， ， ，
，從而得到 是以2為周期的函數(shù)．又設(shè) ，則 ，
．
再設(shè) ，
當(dāng) （ ）， ，則 ，
；
當(dāng) ， 則 ， ；
對于 （ ），都有 ，而 ， ， 是周期為1的函數(shù)．
①當(dāng) 時(shí)，要使得 與 有2013個(gè)交點(diǎn)，只要 與 在 有2014個(gè)交點(diǎn)，而在 有一個(gè)交點(diǎn)． 過 ，從而得
②當(dāng) 時(shí)，同理可得
③當(dāng) 時(shí)，不合題意．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/70011.html
相關(guān)閱讀：2014高三數(shù)學(xué)一診模擬考試文科試題(含答案)