數 學 試 卷（文科）
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．)
（1） 是虛數單位，則復數 在復平面內對應的點在
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（2）已知集合 ， ，則
A. B. C. D.
（3）已知命題 ， ，那么下列結論正確的是
A. 命題 B．命題
C．命題 D．命題
（4） 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的 值為
A．102 B．81 C．39 D．21
（5）在區(qū)間 上隨機取一個數 ，則事件“ ”
發(fā)生的概率為
A. B. C. D.
（6）某地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長 %，經過 年，綠化面積與原綠化面積之比為 ，則 的圖像大致為
（7）已知四棱錐 的三視圖如圖所示，則此四棱錐的四個側面的面積中最大的是
A.
B.
C.
D.
(8)定義一種新運算： 已知函數 ，若函數 恰有兩個零點，則 的取值范圍為
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）
一、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
（9）在△ABC中，若 ，則 的大小為_________.
（10）雙曲線 的一條漸近線方程為 ，則 .
(11) 某高校在 年的自主招生考試成績中隨機抽取50名學生的筆試成績，繪制成頻率分布直方圖如圖所示，由圖中數據可知 ＝ ；若要從成績在 ， ， 三組內的學生中，用分層抽樣的方法選取 人參加面試，則成績在 內的學生中，學生甲被選取的概率為 .
（12）設 與拋物線 的準線圍成的三角形區(qū)域（包含邊界）為 ， 為 內的一個動點，則目標函數 的最大值為 _
（13）如圖，在邊長為 的菱形 中， ，
為 的中點，則 的值為
（14）對于三次函數 ，給出定義：
設 是函數 的導數， 是函數 的導數，若方程 有實數解 為函數 的“拐點”.某同學經過探究發(fā)現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.給定函數 ，請你根據上面探究結果，解答以下問題：
①函數 的對稱中心坐標為 _ ；
②計算 = __ .
三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)
（15）（本小題滿分13分）
已知 為等差數列 的前 項和，且 .
（Ⅰ）求 的通項公式；
（Ⅱ）若等比數列 滿足 ，求 的前 項和公式.
（16）（本小題滿分13分）
已知函數 .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的最小正周期及單調遞增區(qū)間.
（17）（本小題滿分14分）
如圖,在四棱錐 中,底面 是正方形,
側面 底面 ，且 ,
、 分別為 、 的中點．
(Ⅰ) 求證： 平面 ；
(Ⅱ) 求三棱錐 的體積；
(Ⅲ) 在線段 上是否存在點 使得 ？說明理由.
（18）（本小題滿分13分）
已知函數
（Ⅰ）若 在 處的切線與直線 平行，求 的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求 在區(qū)間 上的最小值.
（19）（本小題滿分13分）
已知橢圓 的離心率為 且過點 ．
（I）求此橢圓的方程；
（II）已知定點 ，直線 與此橢圓交于 、 兩點．是否存在實數 ，使得以線段 為直徑的圓過 點．如果存在，求出 的值；如果不存在，請說明理由.
（20）（本小題滿分14分）
如果函數 的定義域為 ，對于定義域內的任意 ，存在實數 使得 成立，則稱此函數具有“ 性質”．
（I）判斷函數 是否具有“ 性質”，若具有“ 性質”，求出所有 的值；若不具有“ 性質”，請說明理由;
（II）設函數 具有“ 性質”，且當 時， ．若 與 交點個數為2013個，求 的值．
昌平區(qū)2014－2013學年第二學期高三年級期第二次質量抽測
數 學 試卷 參考答案（文科）
一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．)
題 號 （1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案 A C B A C D D B
二、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分．）
（9） （10）
（11）0.040 ； （12）
（13） （14） ;2014
三、解答題(本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．)
（15）(本小題滿分13分)
解：（Ⅰ）設等差數列 的公差為 .
因為 ，
所以 解得 ............................................................4分
所以 ....................................................................................6分
（II）設等比數列 的公比為
因為
所以
所以 的前 項和公式為 ...........................................13分
（16）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）
………………………………………………………………………………………..4分
…………………………………….6分
（Ⅱ） 的最小正周期 ，…………………………8分
又由 可得
函數 的單調遞增區(qū)間為 .………13分
（17）（本小題滿分14分）
(Ⅰ)證明：連結 ，
為正方形， 為 中點，
為 中點.
∴在 中, // ．．．．．．．．．．．．．．．．．．..2分
且 平面 ， 平面 ∴ ．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
(Ⅱ)解：如圖,取 的中點 , 連結 .
∵ , ∴ .
∵側面 底面 ,
,
∴ .
又 所以 是等腰直角三角形，
且
在正方形 中，
……………………………………………..9分
(III)存在點 滿足條件，理由如下：設點 為 中點，連接
由 為 的中點，所以 // ，
由（I）得 // ，且
所以 .
∵側面 底面 , ,
所以， .
所以， 的中點 為滿足條件的點.……………………………………14分
（18）（本小題滿分13分）
解：（I） 的定義域為
由 在 處的切線與直線 平行，則 ….4分
此時 令
與 的情況如下：
（ ）
1
?0+
?
?
所以， 的單調遞減區(qū)間是（ ），單調遞增區(qū)間是 ………………………7分
(II)由
由 及定義域為 ，令
①若 在 上， ， 在 上單調遞增， ；
②若 在 上， ， 單調遞減；在 上， ， 單調遞增，因此在 上， ；
③若 在 上， ， 在 上單調遞減，
綜上，當 時， 當 時， 當 時， …………………………………………………………………..13分
（19）（本小題滿分13分）
解：（1）根據題意，
所以橢圓方程為 .5分
（II）將 代入橢圓方程，得 ，由直線與橢圓有兩個交點，所以 ，解得 .
設 、 ，則 ， ，若以 為直徑的圓過 點，則 ，即 ，
而 = ，所以
，解得 ,滿足 .
所以存在 使得以線段 為直徑的圓過 點．13分
（20）（本小題滿分14分）
解：（I）由 得 ，根據誘導公式得 ． 具有“ 性質”，其中 ．
………………4分
（II） 具有“ 性質”， ， ，
，從而得到 是以2為周期的函數．又設 ，則 ，
．
再設 ，
當 （ ）， ，則 ，
；
當 ， 則 ， ；
對于 （ ），都有 ，而 ， ， 是周期為1的函數．
①當 時，要使得 與 有2013個交點，只要 與 在 有2014個交點，而在 有一個交點． 過 ，從而得
②當 時，同理可得
③當 時，不合題意．
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