第三章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

高考導(dǎo)航

考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義
(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景；
(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
(1)能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的導(dǎo)數(shù)；
(2)能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(ax＋b)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).
3.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用
(1)了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；
(2)了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).
4.生活中的優(yōu)化問題
會利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.
5.定積分與微積分基本定理
(1)了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念；
(2)了解微積分基本定理的含義.本章重點(diǎn)：
1.導(dǎo)數(shù)的概念；
2.利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率；
3.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間；
4.利用導(dǎo)數(shù)求極值或最值；
5.利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)際問題最優(yōu)解.
本章難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.　　導(dǎo)數(shù)與定積分是微積分的核心概念之一，也是中學(xué)選學(xué)內(nèi)容中較為重要的知識之一.由于其應(yīng)用的廣泛性，為我們解決有關(guān)函數(shù)、數(shù)列問題提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知識在高考題中常在函數(shù)、數(shù)列等有關(guān)最值不等式問題中有所體現(xiàn)，既考查數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，也考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識和方法的能力.考題可能以選擇題或填空題的形式來考查導(dǎo)數(shù)與定積分的基本運(yùn)算與簡單的幾何意義，而以解答題的形式來綜合考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力.


知識網(wǎng)絡(luò)

3.1　導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

典例精析
題型一　導(dǎo)數(shù)的概念
【例1】 已知函數(shù)f(x)＝2ln 3x＋8x，
求 f(1－2Δx)－f(1)Δx的值.
【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義知：
f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2 f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f′(1)＝－20.
【點(diǎn)撥】導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是求函數(shù)值相對于自變量的變化率，即求當(dāng)Δx→0時， 平均變化率ΔyΔx的極限.
【變式訓(xùn)練1】某市在一次降雨過程中，降雨量y(mm)與時間t(min)的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為f(t)＝t2100，則在時刻t＝10 min的降雨強(qiáng)度為(　　)
A.15 mm/minB.14 mm/min
C.12 mm/minD.1 mm/min
【解析】選A.
題型二　求導(dǎo)函數(shù)
【例2】 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)y＝ln(x＋1＋x2)；
(2)y＝(x2－2x＋3)e2x；
(3)y＝3x1－x.
【解析】運(yùn)用求導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法則.
(1)y′＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)′
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2.
(2)y′＝(2x－2)e2x＋2(x2－2x＋3)e2x
＝2(x2－x＋2)e2x.
(3)y′＝13(x1－x 1－x＋x(1－x)2
＝13(x1－x 1(1－x)2
＝13x (1－x)
【變式訓(xùn)練2】如下圖，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A、B、C的坐標(biāo)分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))＝　　　　　 ��； f(1＋Δx)－f(1)Δx＝　　 　　　　(用數(shù)字作答).

【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2，
由導(dǎo)數(shù)定義 f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f′(1).
當(dāng)0≤x≤2時，f(x)＝4－2x，f′(x)＝－2，f′(1)＝－2.
題型三　利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率
【例3】 已知曲線C：y＝x3－3x2＋2x， 直線l：y＝kx，且l與C切于點(diǎn)P(x0，y0) (x0≠0)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).
【解析】由l過原點(diǎn)，知k＝y(tǒng)0x0 (x0≠0)，又點(diǎn)P(x0，y0) 在曲線C上，y0＝x30－3x20＋2x0，
所以 y0x0＝x20－3x0＋2.
而y′＝3x2－6x＋2，k＝3x20－6x0＋2.
又 k＝y(tǒng)0x0，
所以3x20－6x0＋2＝x20－3x0＋2，其中x0≠0，
解得x0＝32.
所以y0＝－38，所以k＝y(tǒng)0x0＝－14，
所以直線l的方程為y＝－14x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(32，－38).
【點(diǎn)撥】利用切點(diǎn)在曲線上，又曲線在切點(diǎn)處的切線的斜率為曲線在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)來列方程，即可求得切點(diǎn)的坐標(biāo).
【變式訓(xùn)練3】若函數(shù)y＝x3－3x＋4的切線經(jīng)過點(diǎn)(－2，2)，求此切線方程.
【解析】設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)，則由
y′＝3x2－3得切線的斜率為k＝3x20－3.
所以函數(shù)y＝x3－3x＋4在P(x0，y0)處的切線方程為
y－y0＝(3x20－3)(x－x0).
又切線經(jīng)過點(diǎn)(－2,2)，得
2－y0＝(3x20－3)(－2－x0)，①
而切點(diǎn)在曲線上，得y0＝x30－3x0＋4， ②
由①②解得x0＝1或x0＝－2.
則切線方程為y＝2 或 9x－y＋20＝0.
總結(jié)提高
1.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)通常有以下兩種求法：
(1) 導(dǎo)數(shù)的定義，即求 ΔyΔx＝ f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的值；
(2)先求導(dǎo)函數(shù)f′(x)，再將x＝x0的值代入，即得f′(x0)的值.
2.求y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的幾種方法：
(1)利用常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；
(2)利用四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)公式；
(3)利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法.
3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)，就是函數(shù)y＝f(x)的曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率.

3.2導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(一)

典例精析
題型一　求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間
【例1】已知函數(shù)f(x)＝x2－ax－aln(x－1)(a∈R)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
【解析】函數(shù)f(x)＝x2－ax－aln(x－1)的定義域是(1，＋∞).
f′(x)＝2x－a－ax－1＝2x(x－a＋22)x－1，
①若a≤0，則a＋22≤1，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1＞0在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤0時，f(x)的增區(qū)間為(1，＋∞).
②若a＞0，則a＋22＞1，
故當(dāng)x∈(1，a＋22]時，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≤0；
當(dāng)x∈[a＋22，＋∞)時，f′(x)＝2x(x－a＋22)x－1≥0，
所以a＞0時，f(x)的減區(qū)間為(1，a＋22]，f(x)的增區(qū)間為[a＋22，＋∞).
【點(diǎn)撥】在定義域x＞1下，為了判定f′(x)符號，必須討論實(shí)數(shù)a＋22與0及1的大小，分類討論是解本題的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練1】已知函數(shù)f(x)＝x2＋ln x－ax在(0,1)上是增函數(shù)，求a的取值范圍.
【解析】因?yàn)閒′(x)＝2x＋1x－a，f(x)在(0,1)上是增函數(shù)，
所以2x＋1x－a≥0在(0,1)上恒成立，
即a≤2x＋1x恒成立.
又2x＋1x≥22(當(dāng)且僅當(dāng)x＝22時，取等號).
所以a≤22，
故a的取值范圍為(－∞，22].
【點(diǎn)撥】當(dāng)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)時?f′(x)≥0在(a，b)上恒成立；同樣，當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上為減函數(shù)時?f′(x)≤0在(a，b)上恒成立.然后就要根據(jù)不等式恒成立的條件來求參數(shù)的取值范圍了.
題型二　求函數(shù)的極值
【例2】已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1時取得極值，且f(1)＝－1.
(1)試求常數(shù)a，b，c的值；
(2)試判斷x＝±1是函數(shù)的極小值點(diǎn)還是極大值點(diǎn)，并說明理由.
【解析】(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
因?yàn)閤＝±1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，
所以x＝±1是方程f′(x)＝0，即3ax2＋2bx＋c＝0的兩根.
由根與系數(shù)的關(guān)系，得
又f(1)＝－1，所以a＋b＋c＝－1. ③
由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.
(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，
所以當(dāng)f′(x)＝32x2－32＞0時，有x＜－1或x＞1；
當(dāng)f′(x)＝32x2－32＜0時，有－1＜x＜1.
所以函數(shù)f(x)＝12x3－32x在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函數(shù)，在(－1,1)上是減函數(shù).
所以當(dāng)x＝－1時，函數(shù)取得極大值f(－1)＝1；當(dāng)x＝1時，函數(shù)取得極小值f(1)＝－1.
【點(diǎn)撥】求函數(shù)的極值應(yīng)先求導(dǎo)數(shù).對于多項(xiàng)式函數(shù)f(x)來講， f(x)在點(diǎn)x＝x0處取極值的必要條件是f′(x)＝0.但是， 當(dāng)x0滿足f′(x0)＝0時， f(x)在點(diǎn)x＝x0處卻未必取得極值，只有在x0的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號時，x0才是f(x)的極值點(diǎn).并且如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則x0是f(x)的極大值點(diǎn)，f(x0)是極大值；如果f′(x)在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則x0是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)是極小值.
【變式訓(xùn)練2】定義在R上的函數(shù)y＝f(x)，滿足f(3－x)＝f(x)，(x－32)f′(x)＜0，若x1＜x2，且x1＋x2＞3，則有(　　)
A. f(x1)＜f(x2)B. f(x1)＞f(x2)
C. f(x1)＝f(x2)D.不確定
【解析】由f(3－x)＝f(x)可得f[3－(x＋32)]＝f(x＋32)，即f(32－x)＝f(x＋32)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x＝32對稱.又因?yàn)?x－32)f′(x)＜0，所以當(dāng)x＞32時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x＜32時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x1＋x22＝32時，f(x1)＝f(x2)，因?yàn)閤1＋x2＞3，所以x1＋x22＞32，相當(dāng)于x1，x2的中點(diǎn)向右偏離對稱軸，所以f(x1)＞f(x2).故選B.
題型三　求函數(shù)的最值
【例3】 求函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－14x2在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值.
【解析】f′(x)＝11＋x－12x，令11＋x－12x＝0，化簡為x2＋x－2＝0，解得x1＝－2或x2＝1，其中x1＝－2舍去.
又由f′(x)＝11＋x－12x＞0，且x∈[0,2]，得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，同理， 得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2)，所以f(1)＝ln 2－14為函數(shù)f(x)的極大值.又因?yàn)閒(0)＝0，f(2)＝ln 3－1＞0，f(1)＞f(2)，所以，f(0)＝0為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最小值，f(1)＝ln 2－14為函數(shù)f(x)在[0,2]上的最大值.
【點(diǎn)撥】求函數(shù)f(x)在某閉區(qū)間[a，b]上的最值，首先需求函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值，然后，將f(x)的各個極值與f(x)在閉區(qū)間上的端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，才能得出函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值.
【變式訓(xùn)練3】(2008江蘇)f(x)＝ax3－3x＋1對x∈[－1,1]總有f(x)≥0成立，則a＝　　　.
【解析】若x＝0，則無論a為何值，f(x)≥0恒成立.
當(dāng)x∈(0,1]時，f(x)≥0可以化為a≥3x2－1x3，
設(shè)g(x)＝3x2－1x3，則g′(x)＝3(1－2x)x4，
x∈(0，12)時，g′(x)＞0，x∈(12，1]時，g′(x)＜0.
因此g(x)max＝g(12)＝4，所以a≥4.
當(dāng)x∈[－1,0)時，f(x)≥0可以化為
a≤3x2－1x3，此時g′(x)＝3(1－2x)x4＞0，
g(x)min＝g(－1)＝4，所以a≤4.
綜上可知，a＝4.
總結(jié)提高
1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是：
(1)確定函數(shù)f(x)的定義域D；
(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；
(3)根據(jù)f′(x)＞0，且x∈D，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；根據(jù)f′(x)＜0，且x∈D，求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
2.求函數(shù)極值的步驟是：
(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)判斷f′(x)在方程根左右的值的符號，確定f(x)在這個根處取極大值還是取極小值.
3.求函數(shù)最值的步驟是：
先求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；再將f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.

3.3　導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二)

典例精析
題型一　利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
【例1】已知函數(shù)f(x)＝12x2＋ln x.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域；
(2)求證：x＞1時，f(x)＜23x3.
【解析】(1)由已知f′(x)＝x＋1x，
當(dāng)x∈[1，e]時，f′(x)＞0，因此f(x)在 [1，e]上為增函數(shù).
故f(x)max＝f(e)＝e22＋1，f(x)min＝f(1)＝12，
因而f(x)在區(qū)間[1，e]上的值域?yàn)閇12，e22＋1].
(2)證明：令F(x)＝f(x)－23x3＝－23x3＋12x2＋ln x，則F′(x)＝x＋1x－2x2＝(1－x)(1＋x＋2x2)x，
因?yàn)閤＞1，所以F′(x)＜0，
故F(x)在(1，＋∞)上為減函數(shù).
又F(1)＝－16＜0，
故x＞1時，F(xiàn)(x)＜0恒成立，
即f(x)＜23x3.
【點(diǎn)撥】有關(guān)“超越性不等式”的證明，構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性是常用的證明方法.
【變式訓(xùn)練1】已知對任意實(shí)數(shù)x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x＞0時，f′(x)＞0，g′(x)＞0，則x＜0時(　　)
A.f′(x)＞0，g′(x)＞0B.f′(x)＞0，g′(x)＜0
C.f′(x)＜0，g′(x)＞0D.f′(x)＜0，g′(x)＜0
【解析】選B.
題型二　優(yōu)化問題
【例2】 (2009湖南)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩個橋墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測算，一個橋墩的工程費(fèi)用為256萬元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋x)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素.記余下工程的費(fèi)用為y萬元.
(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)當(dāng)m＝640米時，需新建多少個橋墩才能使y最�。�
【解析】(1)設(shè)需新建n個橋墩，則(n＋1)x＝m，
即n＝mx－1.
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x
＝256(mx－1)＋mx(2＋x)x
＝256mx＋mx＋2m－256.
(2)由(1)知f′(x)＝－256mx2＋12mx ＝m2x2(x －512).
令f′(x)＝0，得x ＝512.所以x＝64.
當(dāng)0＜x＜64時，f′(x)＜0，f(x)在區(qū)間(0,64)內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)64＜x＜640時，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(64,640)內(nèi)為增函數(shù).
所以f(x)在x＝64處取得最小值.
此時n＝mx－1＝64064－1＝9.
故需新建9個橋墩才能使y最小.
【變式訓(xùn)練2】(2010上海)如圖所示，為了制作一個圓柱形燈籠，先要制作4個全等的矩形骨架，總計(jì)耗用9.6米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面(不安裝上底面).當(dāng)圓柱底面半徑r取何值時，S取得最大值？并求出該最大值(結(jié)果精確到0.01平方米).
【解析】設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，
則由已知可得4(4r＋2h)＝9.6，所以2r＋h＝1.2.
S＝2.4πr－3πr2，h＝1.2－2r＞0，所以r＜0.6.
所以S＝2.4πr－3πr2(0＜r＜0.6).
令f(r)＝2.4πr－3πr2，則f′(r)＝2.4π－6πr.
令f′(r)＝0得r＝0.4.所以當(dāng)0＜r＜0.4，f′(r)＞0；
當(dāng)0.4＜r＜0.6，f′(r)＜0.
所以r＝0.4時S最大，Smax＝1.51.
題型三　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)問題
【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)＝13x3－mx2＋(m2－4)x，x∈R.
(1)當(dāng)m＝3時，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；
(2)已知函數(shù)f(x)有三個互不相同的零點(diǎn)0，α，β，且α＜β.若對任意的x∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)m＝3時，f(x)＝13x3－3x2＋5x，f′(x)＝x2－6x＋5.
因?yàn)閒(2)＝23，f′(2)＝－3，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(2，23)，切線的斜率為－3，
則所求的切線方程為y－23＝－3(x－2)，即9x＋3y－20＝0.
(2)f′(x)＝x2－2mx＋(m2－4).
令f′(x)＝0，得x＝m－2或x＝m＋2.
當(dāng)x∈(－∞，m－2)時，f′(x)＞0，f(x)在(－∞，m－2)上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈(m－2，m＋2)時，f′(x)＜0，f(x)在(m－2，m＋2)上是減函數(shù)；
當(dāng)x∈(m＋2，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)在(m＋2，＋∞)上是增函數(shù).
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個互不相同的零點(diǎn)0，α，β，且f(x)＝13x[x2－3mx＋3(m2－4)]，
所以
解得m∈(－4，－2)∪(－2,2)∪(2,4).
當(dāng)m∈(－4，－2)時，m－2＜m＋2＜0，
所以α＜m－2＜β＜m＋2＜0.
此時f(α)＝0，f(1)＞f(0)＝0，與題意不合，故舍去.
當(dāng)m∈(－2,2)時，m－2＜0＜m＋2，
所以α＜m－2＜0＜m＋2＜β.
因?yàn)閷θ我獾膞∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值.
因?yàn)楫?dāng)x＝m＋2時，函數(shù)f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1.
當(dāng)m∈(2,4)時，0＜m－2＜m＋2，
所以0＜m－2＜α＜m＋2＜β.
因?yàn)閷θ我獾膞∈[α，β]，都有f(x)≥f(1)恒成立，
所以α＜1＜β.
所以f(1)為函數(shù)f(x)在[α，β]上的最小值.
因?yàn)楫?dāng)x＝m＋2時，函數(shù)f(x)在[α，β]上取最小值，
所以m＋2＝1，即m＝－1(舍去).
綜上可知，m的取值范圍是{－1}.

【變式訓(xùn)練3】已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.
(1)討論函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的單調(diào)性；
(2)若方程f(x)＝g(x)在區(qū)間[2，e]上有兩個不等解，求a的取值范圍.
【解析】(1)當(dāng)a＞0時，F(xiàn)(x)的遞增區(qū)間為(1a，＋∞)，遞減區(qū)間為(0，1a)；
當(dāng)a≤0時，F(xiàn)(x)的遞減區(qū)間為(0，＋∞).
(2)[12ln 2，1e).
總結(jié)提高
在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理方程、不等式有關(guān)問題時，首先應(yīng)熟練地將方程、不等式問題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性、極值或最值.

3.4　定積分與微積分基本定理

典例精析
題型一　求常見函數(shù)的定積分
【例1】 計(jì)算下列定積分的值.
(1) (x－1)5dx；
(2) (x＋sin x)dx.
【解析】(1)因?yàn)閇16(x－1)6]′＝(x－1)5，
所以 (x－1)5dx＝ ＝16.
(2)因?yàn)?x22－cos x)′＝x＋sin x，
所以 (x＋sin x)dx＝ ＝π28＋1.
【點(diǎn)撥】(1)一般情況下，只要能找到被積函數(shù)的原函數(shù)，就能求出定積分的值；
(2)當(dāng)被積函數(shù)是分段函數(shù)時，應(yīng)對每個區(qū)間分段積分，再求和；
(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，應(yīng)先去掉絕對值符號后積分；
(4)當(dāng)被積函數(shù)具有奇偶性時，可用以下結(jié)論：
①若f(x)是偶函數(shù)時，則 f(x)dx＝2 f(x)dx；
②若f(x)是奇函數(shù)時，則 f(x)dx＝0.
【變式訓(xùn)練1】求 (3x3＋4sin x)dx.
【解析】 (3x3＋4sin x)dx表示直線x＝－5，x＝5，y＝0和曲線y＝3x3＋4sin x所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，且在x軸上方的面積取正號，在x軸下方的面積取負(fù)號.
又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)
＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x).
所以f(x)＝3x3＋4sin x在[－5,5]上是奇函數(shù)，
所以 (3x3＋4sin x)dx＝－ (3x3＋4sin x)dx，
所以 (3x3＋4sin x)dx＝ (3x3＋4sin x)dx＋ (3x3＋4sin x)dx＝0.
題型二　利用定積分計(jì)算曲邊梯形的面積
【例2】求拋物線y2＝2x與直線y＝4－x所圍成的平面圖形的面積.
【解析】方法一：如圖，
由
得交點(diǎn)A(2,2)，B(8，－4)，
則S＝ [2x－(－2x)]dx＋ [4－x－(－2x)]dx
＝ ＋
＝163＋383＝18.
方法二：S＝ [(4－y)－y22]dy
＝ ＝18.
【點(diǎn)撥】根據(jù)圖形的特征，選擇不同的積分變量，可使計(jì)算簡捷，在以y為積分變量時，應(yīng)注意將曲線方程變?yōu)閤＝φ(y)的形式，同時，積分上、下限必須對應(yīng)y的取值.
【變式訓(xùn)練2】設(shè)k是一個正整數(shù)，(1＋xk)k的展開式中x3的系數(shù)為116，則函數(shù)y＝x2與y＝kx－3的圖象所圍成的陰影部分(如圖)的面積為　　　　.
【解析】Tr＋1＝Crk(xk)r，令r＝3，得x3的系數(shù)為C3k1k3＝116，解得k＝4.由 得函數(shù)y＝x2與y＝4x－3的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1,3.
所以陰影部分的面積為S＝ (4x－3－x2)dx＝(2x2－3x－ ＝43.
題型三　定積分在物理中的應(yīng)用
【例3】 (1) 變速直線運(yùn)動的物體的速度為v(t)＝1－t2，初始位置為x0＝1，求它在前2秒內(nèi)所走過的路程及2秒末所在的位置；
(2)一物體按規(guī)律x＝bt3作直線運(yùn)動，式中x為時間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方，試求物體由x＝0運(yùn)動到x＝a時阻力所做的功.
【解析】(1)當(dāng)0≤t≤1時，v(t)≥0，當(dāng)1≤t≤2時，v(t)≤0，所以前2秒內(nèi)所走過的路程為
s＝ v(t)dt＋ (－v(t))dt
＝ (1－t2)dt＋ (t2－1)dt
= ＋ ＝2.
2秒末所在的位置為
x1＝x0＋ v(t)dt＝1＋ (1－t2)dt＝13.
所以它在前2秒內(nèi)所走過的路程為2,2秒末所在的位置為x1＝13.
(2) 物體的速度為v＝(bt3)′＝3bt2.
媒質(zhì)阻力F阻＝kv2＝k(3bt2)2＝9kb2t4，其中k為比例常數(shù)，且k＞0.
當(dāng)x＝0時，t＝0；
當(dāng)x＝a時，t＝t1＝(ab) ，
又ds＝vdt，故阻力所做的功為
W阻＝ ds ＝ kv2?vdt＝k v3dt
＝ k (3bt2)3dt＝277kb3t71 ＝ 277k3a7b2.
【點(diǎn)撥】定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)注意：v(t)＝ a(t)dt，s(t)＝ v(t)dt和W＝ F(x)dx這三個公式.
【變式訓(xùn)練3】定義F(x，y)＝(1＋x)y，x，y∈(0，＋∞).令函數(shù)f(x)＝F[1，log2(x2－4x＋9)]的圖象為曲線C1，曲線C1與y軸交于點(diǎn)A(0，m)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C1作切線，切點(diǎn)為B(n，t)(n＞0)，設(shè)曲線C1在點(diǎn)A，B之間的曲線段與線段OA，OB所圍成圖形的面積為S，求S的值.
【解析】因?yàn)镕(x，y)＝(1＋x)y，所以f(x)＝F(1，log2(x2－4x＋9))＝ ＝x2－4x＋9，故A(0,9)，又過坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C1作切線，切點(diǎn)為B(n，t)(n＞0)，f′(x)＝2x－4.
所以 解得B(3,6)，
所以S＝ (x2－4x＋9－2x)dx＝(x33－3x2＋9x) =9.

總結(jié)提高
1.定積分的計(jì)算關(guān)鍵是通過逆向思維求得被積函數(shù)的原函數(shù).?
2.定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用必須遵循相應(yīng)的物理過程和物理原理.?
3.利用定積分求平面圖形面積的步驟：?
（1）畫出草圖，在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖象；?
（2）借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分的上、下限；?
（3）把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和；?
（4）計(jì)算定積分，寫出答案.?

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