專題三 數(shù)列與不等式
【重點知識回顧】
1． 數(shù)列在高考中，一般設(shè)計一個客觀題和一個解答題，主要考查數(shù)列和不等式部分的基本知識，對基本運算能力要求較高，解答題常常綜合考查函數(shù)、方程、不等式等知識．難度較大，尤其是數(shù)列、函數(shù)和不等式的綜合考題，又加入了邏輯推理能力的考查，成為了近幾年數(shù)列考題的新熱點．
2． 數(shù)列與不等式部分的重點為：等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、前 項和；不等式的性質(zhì)、解法和兩個重要不等式的應(yīng)用；該部分重點考查運算能力和邏輯推理能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸于轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想．
【典型例題】
1．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合
等差數(shù)列與等比數(shù)列都是高考命題的重點知識，考題經(jīng)常將它們綜合在一起綜合考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式、求和公式等基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對基本的運算要求比較高．
例1．設(shè) 是公差不為0的等差數(shù)列， 且 成等比數(shù)列，則 的前 項和 =（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：設(shè)數(shù)列 的公差為 ，則根據(jù)題意得 ，解得 或 （舍去），所以數(shù)列 的前 項和 ．
例2．等比數(shù)列 的前n項和為 ，且4 ，2 ， 成等差數(shù)列．若 =1，則 =（ ）
（A）7 （B）8 （3）15 （4）16
解析： 4 ，2 ， 成等差數(shù)列， ，即 ，
， ，因此選C．
點評：該類題目綜合考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、通項公式和等比數(shù)列的求和公式等，基礎(chǔ)性較強，綜合程度較小，要求具有較熟練的運算能力．
2．函數(shù)與不等式綜合
不等式與函數(shù)有著密切的聯(lián)系，其中線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點問題之一，經(jīng)常以選擇題或填空題出現(xiàn)．有不少關(guān)于最值方面的問題，通常用二次函數(shù)的配方法求最值或用均值不等式求最值，考題經(jīng)常以與不等式有關(guān)的實際應(yīng)用問題出現(xiàn)．在應(yīng)用不等式解決實際問題時，要注意以下四點：
①理解題意，設(shè)變量．設(shè)變量時一般把要求最值的變量定為自變量；
②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最值問題；
③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最值；
④正確寫出答案．
例３．設(shè)x，y滿足約束條件 ，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則 的最小值為（ ）
A． B． C． D． 4
答案：A
解析：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線ax+by= z（a>0，b>0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時，目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6, 而 = ，故選A．
點評：本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題．要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域，并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值，對于形如已知2a+3b=6，求 的
最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答．
例4．本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標(biāo)準(zhǔn)分別為 元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0．3萬元和0．2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是 萬元．
答案：70
解析：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為 分鐘和 分鐘，總收益為 元，由題意得
目標(biāo)函數(shù)為 ．
二元一次不等式組等價于
作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域．
如圖：作直線 ，即 ．
平移直線，從圖中可知，當(dāng)直線過 點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．
聯(lián)立 解得 ． 點 的坐標(biāo)為 ．
（元）．
點評：本題是線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，通過數(shù)形結(jié)合解答問題．用線性規(guī)劃的方法解決實際問題能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，隨著課改的深入，這類試題應(yīng)該是高考的熱點題型之一．
例5．設(shè) 為實數(shù)，函數(shù) ．
(1)若 ，求 的取值范圍；
(2)求 的最小值；
(3)設(shè)函數(shù) ，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式 的解集．
解析：（1）若 ，則 ；
（2）當(dāng) 時， ，
當(dāng) 時， ，
綜上 ；
（3） 時， 得 ，
當(dāng) 時， ；
當(dāng) 時，△>0，得： ；
討論得：當(dāng) 時，解集為 ；
當(dāng) 時，解集為 ；
當(dāng) 時，解集為 ．
點評：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力．
3．函數(shù)與數(shù)列的綜合
高考試題中經(jīng)常將函數(shù)與數(shù)列綜合在一起，設(shè)計綜合性較強的解答題，考查數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項及求和公式等主干知識和分析問題、解決問題的邏輯推理能力．
例6．知函數(shù) ．
（Ⅰ）設(shè) 是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項和為 ，其中 ．若點 (n∈N*)在函數(shù) 的圖象上，求證：點 也在 的圖象上；
（Ⅱ）求函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的極值．
解析：(Ⅰ)證明： 因為 所以 ，
由點 在函數(shù) 的圖象上,
， 又 ，
所以 ， 是 的等差數(shù)列，
所以 ,又因為 ,所以 ,
故點 也在函數(shù) 的圖象上．
(Ⅱ)解: ,令 得 ．
當(dāng)x變化時, ? 的變化情況如下表:
x(-∞,-2)-2(-2,0)
f(x)+0-
f(x)?極大值 ?
注意到 ,從而
①當(dāng) ,此時 無極小值；
②當(dāng) 的極小值為 ,此時 無極大值；
③當(dāng) 既無極大值又無極小值．
點評：本小題主要考查函數(shù)極值、等差數(shù)列等基本知識，考查分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題和解決問題的能力．
4．?dāng)?shù)列與不等式、簡易邏輯等的綜合
數(shù)列是培養(yǎng)推理論證能力的極好載體，將數(shù)列的知識與推理證明的方法交織在一起進(jìn)行考查，是新課程高考中的一個亮點，常常榮歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法、分類討論、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想和方法于一體，對能力的要求較高．
例7．設(shè) 若 是 與 的等比中項，則 的最小值為（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
答案：B
解析：因為 ，所以 ，
，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時“=”成立，故選擇B．
點評：本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，以及均值不等式求最值的運用，考查了變通能力．
例8．設(shè)數(shù)列 滿足 為實數(shù)．
（Ⅰ）證明： 對任意 成立的充分必要條件是 ；
（Ⅱ）設(shè) ，證明： ；
（Ⅲ）設(shè) ，證明： ．
解析： (1) 必要性： ，又 ，即 ．
充分性 ：設(shè) ，對 用數(shù)學(xué)歸納法證明 ，
當(dāng) 時， ．假設(shè) ，
則 ，且 ，
，由數(shù)學(xué)歸納法知 對所有 成立．
(2) 設(shè) ，當(dāng) 時， ，結(jié)論成立．
當(dāng) 時， ，
,由（1）知 ，所以 且 ，
，
，
．
(3) 設(shè) ，當(dāng) 時， ，結(jié)論成立，
當(dāng) 時，由（2）知 ，
，
．
點評：該題綜合考查了等比數(shù)列的求和、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用、充分必要條件和數(shù)學(xué)歸納法等，具有較高的難度，對邏輯推理能力的考查要求較高．
５．?dāng)?shù)列與概率的綜合
數(shù)列與概率的綜合考查，雖然不是經(jīng)常但很有新意，這種命題也體現(xiàn)了在知識交匯處命題的指導(dǎo)思想．
例9．將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（ �。�
�。粒� Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有 個，其中為等差數(shù)列有三類：
（1）公差為0的有6個；（2）公差為1或-1的有8個；（3）公差為2或-2的有4個，共有18個，成等差數(shù)列的概率為 ，選B．
點評：本題是以數(shù)列和概率的背景出現(xiàn)，題型新穎而別開生面，有采取分類討論，分類時要做到不遺漏，不重復(fù)．
【模擬演練】
1．公差不為零的等差數(shù)列 的前 項和為 ．若 是 的等比中項, ,則 等于( )
A． 18 B． 24 C． 60 D． 90
2． 等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別用Sn和Tn表示，若 ，則 的值為( )
A B C D
3．已知函數(shù) ，則不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4． 已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則(a＋b)2cd的最小值是________．
5．設(shè)數(shù)列 的前 項和為 ，點 均在函數(shù) 的圖象上．
則數(shù)列 的通項公式為 ．
6．命題 實數(shù) 滿足 ，其中 ，命題 實數(shù) 滿足 或 ，且 是 的必要不充分條件，求 的取值范圍．
7．已知二次函數(shù) 的二次項系數(shù)為 a ，且不等式 的解集為（1 , 3）．
（l）若方程 有兩個相等的根，求 的解析式；
（2）若 的最大值為正數(shù)，求 a 的取值范圍．
8．圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位：元)．
（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)：
（Ⅱ）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．
【參考答案】
1．答案：C
解析：由 得 得 ,再由 得: 則 ,所以 ,故選C．
2．答案：A
解析： ∵ ； ．
∴ ．
3． 答案：C
解析：依題意得 或
所以 或
解得： ，故選C．
4．答案：4
解析：∵(a＋b)2cd＝(x＋y)2xy≥(2xy)2xy＝4．
5．答案：
解析：由題意得， 即 ．
當(dāng)n≥2時， ;
當(dāng)n=1時， × -2×1-1-6×1-5．
所以 ．
6．解析：設(shè) ，
=
因為 是 的必要不充分條件，所以 ，且 推不出
而 ，
所以 ，則 或
即 或 ．
7．解析：（1）因為 的解集為（1，3），所以 且 ．
因而 （1）
由方程 得： （2）
因為方程（2）有兩個相等的根．
所以 ，即 ．
解得： （舍去）或 ，
將 代入（1）得 的解析式為： ，
（2） ，
有a < 0，可得 的最大值為 ，
所以 > 0，且a < 0．
解得： ，
故當(dāng) 的最大值為正數(shù)時，實數(shù)a的取值范圍是 ．
8．解析：（1）如圖，設(shè)矩形的另一邊長為a m，則 -45x-180(x-2)+180?2a=225x+360a-360，
由已知xa=360,得a= ，所以y=225x+ ．
(II)
．當(dāng)且僅當(dāng)225x= 時，等號成立．
即當(dāng)x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/72262.html
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