高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第二章 函數(shù)A
【知識(shí)導(dǎo)讀】
【方法點(diǎn)撥】
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要，最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．高中函數(shù)以具體的冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的概念，性質(zhì)和圖像為主要研究對(duì)象，適當(dāng)研究分段函數(shù)，含絕對(duì)值的函數(shù)和抽象函數(shù)；同時(shí)要對(duì)初中所學(xué)二次函數(shù)作深入理解．
1.活用“定義法”解題．定義是一切法則與性質(zhì)的基礎(chǔ)，是解題的基本出發(fā)點(diǎn)．利用定義，可直接判斷所給的對(duì)應(yīng)是否滿足函數(shù)的條件，證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等．
2.重視“數(shù)形結(jié)合思想”滲透．“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．當(dāng)你所研究的問(wèn)題較為抽象時(shí)，當(dāng)你的思維陷入困境時(shí)，當(dāng)你對(duì)雜亂無(wú)章的條件感到頭緒混亂時(shí)，一個(gè)很好的建議：畫(huà)個(gè)圖像！利用圖形的直觀性，可迅速地破解問(wèn)題，乃至最終解決問(wèn)題．
3.強(qiáng)化“分類討論思想”應(yīng)用．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法．進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”．
4.掌握“函數(shù)與方程思想”．函數(shù)與方程思想是最重要，最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，它在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的地位與作用很高．函數(shù)的思想包括運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題，轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題．
第1課 函數(shù)的概念
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.在體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域．
2.準(zhǔn)確理解函數(shù)的概念，能根據(jù)函數(shù)的三要素判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．設(shè)有函數(shù)組：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ；⑤ ， ．其中表示同一個(gè)函數(shù)的有___②④⑤___．
2.設(shè)集合 ， ，從 到 有四種對(duì)應(yīng)如圖所示：
其中能表示為 到 的函數(shù)關(guān)系的有_____②③____．
3.寫(xiě)出下列函數(shù)定義域：
(1) 的定義域?yàn)開(kāi)_____________； (2) 的定義域?yàn)開(kāi)_____________；
(3) 的定義域?yàn)開(kāi)_____________； (4) 的定義域?yàn)開(kāi)________________．
4．已知三個(gè)函數(shù):(1) ； (2) ； (3) ．寫(xiě)出使各函數(shù)式有意義時(shí)， ， 的約束條件：
(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.寫(xiě)出下列函數(shù)值域：
(1) ， ；值域是 ．
(2) ； 值域是 ．
(3) ， ． 值域是 ．
【范例解析】
例1.設(shè)有函數(shù)組：① ， ；② ， ；
③ ， ；④ ， ．其中表示同一個(gè)函數(shù)的有③④．
分析：判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，關(guān)鍵看函數(shù)的三要素是否相同．
解：在①中， 的定義域?yàn)?， 的定義域?yàn)?，故不是同一函數(shù)；在②中， 的定義域?yàn)?， 的定義域?yàn)?，故不是同一函數(shù)；③④是同一函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)函數(shù)當(dāng)它們的三要素完全相同時(shí)，才能表示同一函數(shù)．而當(dāng)一個(gè)函數(shù)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定時(shí)，它的值域也就確定，故判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，只需判斷它的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同即可．
例2.求下列函數(shù)的定義域：① ； ② ；
解：（1）① 由題意得： 解得 且 或 且 ，
故定義域?yàn)?．
② 由題意得： ，解得 ，故定義域?yàn)?．
例3.求下列函數(shù)的值域：
（1） ， ；
（2） ；
（3） ．
分析：運(yùn)用配方法，逆求法，換元法等方法求函數(shù)值域．
（1）解： ， ， 函數(shù)的值域?yàn)?；
（2）解法一：由 ， ，則 ， ，故函數(shù)值域?yàn)?．
解法二：由 ，則 ， ， ， ，故函數(shù)值域?yàn)?．
（3）解：令 ，則 ， ，
當(dāng) 時(shí)， ，故函數(shù)值域?yàn)?．
點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)或二次函數(shù)型的函數(shù)求值域可用配方法；逆求法利用函數(shù)有界性求函數(shù)的值域；用換元法求函數(shù)的值域應(yīng)注意新元的取值范圍．
【反饋演練】
1．函數(shù)f(x)＝ 的定義域是___________．
2．函數(shù) 的定義域?yàn)開(kāi)________________．
3. 函數(shù) 的值域?yàn)開(kāi)_______________．
4. 函數(shù) 的值域?yàn)開(kāi)____________．
5．函數(shù) 的定義域?yàn)開(kāi)____________________．
6.記函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)锳，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定義域?yàn)锽．
(1) 求A；
(2) 若B A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)由2－ ≥0，得 ≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵B A， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥ 或a≤－2，而a<1，
∴ ≤a<1或a≤－2，故當(dāng)B A時(shí)， 實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞,－2]∪[ ,1)．
第2課 函數(shù)的表示方法
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法，列表法，解析法）表示函數(shù)．
2.求解析式一般有四種情況：（1）根據(jù)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題須建立一種函數(shù)關(guān)系式；（2）給出函數(shù)特征，利用待定系數(shù)法求解析式；（3）換元法求解析式；（4）解方程組法求解析式．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.設(shè)函數(shù) ， ，則 _________； __________．
2.設(shè)函數(shù) ， ,則 _____3_______； ； ．
3.已知函數(shù) 是一次函數(shù)，且 ， ,則 __15___．
4.設(shè)f(x)＝ ，則f[f( )]＝_____________．
5.如圖所示的圖象所表示的函數(shù)解析式為_(kāi)_________________________．
【范例解析】
例1.已知二次函數(shù) 的最小值等于4，且 ，求 的解析式．
分析：給出函數(shù)特征，可用待定系數(shù)法求解．
解法一：設(shè) ，則 解得
故所求的解析式為 ．
解法二： ， 拋物線 有對(duì)稱軸 ．故可設(shè) ．
將點(diǎn) 代入解得 ．故所求的解析式為 ．
解法三：設(shè) ，由 ，知 有兩個(gè)根0，2，
可設(shè) ， ，
將點(diǎn) 代入解得 ．故所求的解析式為 ．
點(diǎn)評(píng)：三種解法均是待定系數(shù)法，也是求二次函數(shù)解析式常用的三種形式：一般式，頂點(diǎn)式，零點(diǎn)式．
例2.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時(shí)出發(fā)前往乙家．如圖，表示甲從出發(fā)到乙家為止經(jīng)過(guò)的路程y（km）與時(shí)間x（分）的關(guān)系．試寫(xiě)出 的函數(shù)解析式．
分析：理解題意，根據(jù)圖像待定系數(shù)法求解析式．
解：當(dāng) 時(shí)，直線方程為 ，當(dāng) 時(shí)，直線方程為 ，
點(diǎn)評(píng)：建立函數(shù)的解析式是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵，把題中文字語(yǔ)言描述的數(shù)學(xué)關(guān)系用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)．要注意求出解析式后，一定要寫(xiě)出其定義域．
【反饋演練】
1．若 ， ，則 （ D ）
Ａ． �。拢� Ｃ． �。模�
2．已知 ，且 ，則m等于________．
3. 已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)＝x2＋2x．求函數(shù)g(x)的解析式．
解：設(shè)函數(shù) 的圖象上任意一點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 ，
則
∵點(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上
∴ ．
第3課 函數(shù)的單調(diào)性
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.理解函數(shù)單調(diào)性，最大（�。┲导捌鋷缀我饬x；
2.會(huì)運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷或證明一些函數(shù)的增減性．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.下列函數(shù)中：
① ； ② ； ③ ； ④ ．
其中，在區(qū)間(0，2)上是遞增函數(shù)的序號(hào)有___②___．
2.函數(shù) 的遞增區(qū)間是___ R ___．
3.函數(shù) 的遞減區(qū)間是__________．
4.已知函數(shù) 在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，且 ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍__________．
5.已知下列命題：
①定義在 上的函數(shù) 滿足 ，則函數(shù) 是 上的增函數(shù)；
②定義在 上的函數(shù) 滿足 ，則函數(shù) 在 上不是減函數(shù)；
③定義在 上的函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上也是增函數(shù)，則函數(shù) 在 上是增函數(shù)；
④定義在 上的函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上也是增函數(shù)，則函數(shù) 在 上是增函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)有_____②______．
【范例解析】
例 . 求證：（1）函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）函數(shù) 在區(qū)間 和 上都是單調(diào)遞增函數(shù)．
分析：利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，注意符號(hào)的確定．
證明：（1）對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值 ， ，且 ，
因?yàn)?
，
又 ，則 ， ，得 ，
故 ，即 ，即 ．
所以，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值 ， ，且 ，
因?yàn)?，
又 ，則 ， ， 得，
故 ，即 ，即 ．
所以，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù)．
同理，對(duì)于區(qū)間 ，函數(shù) 是單調(diào)增函數(shù)；
所以，函數(shù) 在區(qū)間 和 上都是單調(diào)增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，一般分三步驟：（1）在給定區(qū)間內(nèi)任意取兩值 ， ；（2）作差 ，化成因式的乘積并判斷符號(hào)；（3）給出結(jié)論．
例2.確定函數(shù) 的單調(diào)性．
分析：作差后，符號(hào)的確定是關(guān)鍵．
解：由 ，得定義域?yàn)?．對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值 ， ，且 ，
則
又 ， ，
，即 ．
所以， 在區(qū)間 上是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用有理化可以對(duì)含根號(hào)的式子進(jìn)行符號(hào)的確定．
【反饋演練】
1．已知函數(shù) ，則該函數(shù)在 上單調(diào)遞__減__，（填“增”“減”）值域?yàn)開(kāi)________．
2．已知函數(shù) 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，則 __25___.
3. 函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
4. 函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．
5. 已知函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：設(shè)對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值 ， ，且 ，
則 ，
， ， 得， ， ，即 ．
第4課 函數(shù)的奇偶性
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.了解函數(shù)奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性；
2.定義域?qū)ζ媾夹缘挠绊懀憾x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條件；不具備上述對(duì)稱性的，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.給出4個(gè)函數(shù)：① ；② ；③ ；④ ．
其中奇函數(shù)的有___①④___；偶函數(shù)的有____②____；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的有____③____．
2. 設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) －1 ．
3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ A ）
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6）
分析：判斷函數(shù)的奇偶性，先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再利用定義判斷．
解：（1）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ,
所以 為偶函數(shù)．
（2）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ，
，故 為奇函數(shù)．
（3）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ， 且 ，
所以 既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)．
（4）定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；故 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（5）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ， ，則 且 ，故 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（6）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
， 又 ，
，故 為奇函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)首先注意其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；其次，利用定義即 或 判斷，注意定義的等價(jià)形式 或 ．
例2. 已知定義在 上的函數(shù) 是奇函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， ，求函數(shù) 的解析式，并指出它的單調(diào)區(qū)間．
分析：奇函數(shù)若在原點(diǎn)有定義，則 ．
解：設(shè) ，則 ， ．
又 是奇函數(shù)， ， ．
當(dāng) 時(shí)， ．
綜上， 的解析式為 ．
作出 的圖像，可得增區(qū)間為 ， ，減區(qū)間為 ， ．
點(diǎn)評(píng)：（1）求解析式時(shí) 的情況不能漏；（2）兩個(gè)單調(diào)區(qū)間之間一般不用“ ”連接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通過(guò)“ ”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化；（4）根據(jù)圖像寫(xiě)單調(diào)區(qū)間．
【反饋演練】
1．已知定義域?yàn)镽的函數(shù) 在區(qū)間 上為減函數(shù)，且函數(shù) 為偶函數(shù)，則（ D ）
A． B． C． D．
2. 在 上定義的函數(shù) 是偶函數(shù)，且 ，若 在區(qū)間 是減函數(shù)，則函數(shù) （ B ）
A.在區(qū)間 上是增函數(shù)，區(qū)間 上是增函數(shù)
B.在區(qū)間 上是增函數(shù)，區(qū)間 上是減函數(shù)
C.在區(qū)間 上是減函數(shù)，區(qū)間 上是增函數(shù)
D.在區(qū)間 上是減函數(shù)，區(qū)間 上是減函數(shù)
3. 設(shè) ，則使函數(shù) 的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有 的值為_(kāi)___1，3 ___．
4．設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù)， 則 ________．
5．若函數(shù) 是定義在R上的偶函數(shù)，在 上是減函數(shù)，且 ，則使得 的x的取
值范圍是（－2，2）．
6. 已知函數(shù) 是奇函數(shù)．又 ， ,求a，b，c的值；
解：由 ，得 ，得 ．又 ，得 ，
而 ，得 ，解得 ．又 ， 或1．
若 ，則 ，應(yīng)舍去；若 ，則 ．
所以， ．
綜上，可知 的值域?yàn)?．
第5 課 函數(shù)的圖像
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.掌握基本初等函數(shù)的圖像特征，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；
2.掌握畫(huà)圖像的基本方法：描點(diǎn)法和圖像變換法．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.根據(jù)下列各函數(shù)式的變換，在箭頭上填寫(xiě)對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的變換：
（1） ；
（2） ．
2.作出下列各個(gè)函數(shù)圖像的示意圖：
（1） ； （2） ； （3） ．
解：（1）將 的圖像向下平移1個(gè)單位，可得 的圖像．圖略；
（2）將 的圖像向右平移2個(gè)單位，可得 的圖像．圖略；
（3）由 ，將 的圖像先向右平移1個(gè)單位，得 的圖像，再向下平移1個(gè)單位，可得 的圖像．如下圖所示：
3.作出下列各個(gè)函數(shù)圖像的示意圖：
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
解：（1）作 的圖像關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像，如圖1所示；
（2）作 的圖像關(guān)于x軸的對(duì)稱圖像，如圖2所示；
（3）作 的圖像及它關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像，如圖3所示；
（4）作 的圖像，并將x軸下方的部分翻折到x軸上方，如圖4所示．
4. 函數(shù) 的圖象是（ B ）
【范例解析】
例1.作出函數(shù) 及 ， ， ， ， 的圖像．
分析：根據(jù)圖像變換得到相應(yīng)函數(shù)的圖像．
解： 與 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；
與 的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；
將 的圖像向左平移2個(gè)單位得到 的圖像；
保留 的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將 的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留 在y軸右邊部分．圖略．
點(diǎn)評(píng)：圖像變換的類型主要有平移變換，對(duì)稱變換兩種．平移變換：左“+”右“－”，上“+”下“－”；對(duì)稱變換： 與 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；
與 的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱； 與 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
保留 的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將 的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留 在y軸右邊部分．
例2.設(shè)函數(shù) .
（1）在區(qū)間 上畫(huà)出函數(shù) 的圖像；
（2）設(shè)集合 . 試判斷集合 和 之間的關(guān)系，并給出證明.
分析：根據(jù)圖像變換得到 的圖像，第（3）問(wèn)實(shí)質(zhì)是恒成立問(wèn)題．
解：（1）
（2）方程 的解分別是 和 ，由于 在 和 上單調(diào)遞減，在 和 上單調(diào)遞增，因此 .
由于 .
【反饋演練】
1．函數(shù) 的圖象是（ B ）
2. 為了得到函數(shù) 的圖象，可以把函數(shù) 的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
3．已知函數(shù) 的圖象有公共點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，則 = ．
4．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f (x)的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，則
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
5. 作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：
（1） ； （2） ； （3） ．
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