第三章 函數(shù)

一、基礎(chǔ)知識
定義1 映射，對于任意兩個(gè)集合A，B，依對應(yīng)法則f，若對A中的任意一個(gè)元素x，在B中都有唯一一個(gè)元素與之對應(yīng)，則稱f: A→B為一個(gè)映射。
定義2 單射，若f: A→B是一個(gè)映射且對任意x, y∈A, x y, 都有f(x) f(y)則稱之為單射。
定義3 滿射，若f: A→B是映射且對任意y∈B，都有一個(gè)x∈A使得f(x)=y，則稱f: A→B是A到B上的滿射。
定義4 一一映射，若f: A→B既是單射又是滿射，則叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即從B到A由相反的對應(yīng)法則f-1構(gòu)成的映射，記作f-1: A→B。
定義5 函數(shù)，映射f: A→B中，若A，B都是非空數(shù)集，則這個(gè)映射為函數(shù)。A稱為它的定義域，若x∈A, y∈B，且f(x)=y（即x對應(yīng)B中的y），則y叫做x的象，x叫y的原象。集合{f(x)x∈A}叫函數(shù)的值域。通常函數(shù)由解析式給出，此時(shí)函數(shù)定義域就是使解析式有意義的未知數(shù)的取值范圍，如函數(shù)y=3 -1的定義域?yàn)閧xx≥0,x∈R}.
定義6 反函數(shù)，若函數(shù)f: A→B（通常記作y=f(x)）是一一映射，則它的逆映射f-1: A→B叫原函數(shù)的反函數(shù)，通常寫作y=f-1(x). 這里求反函數(shù)的過程是：在解析式y(tǒng)=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后將x, y互換得y=f-1(x)，最后指出反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域。例如：函數(shù)y= 的反函數(shù)是y=1- (x 0).
定理1 互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。
定理2 在定義域上為增（減）函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)必為增（減）函數(shù)。
定義7 函數(shù)的性質(zhì)。
（1）單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上滿足對任意的x1, x2∈I并且x1< x2，總有f(x1)f(x2))，則稱f(x)在區(qū)間I上是增（減）函數(shù)，區(qū)間I稱為單調(diào)增（減）區(qū)間。
（2）奇偶性：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，且D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的數(shù)集，若對于任意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)是奇函數(shù)；若對任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，則稱f(x)是偶函數(shù)。奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。
（3）周期性：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)每一個(gè)數(shù)時(shí)，f(x+T)=f(x)總成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T稱為這個(gè)函數(shù)的周期，如果周期中存在最小的正數(shù)T0，則這個(gè)正數(shù)叫做函數(shù)f(x)的最小正周期。
定義8 如果實(shí)數(shù)aa}記作開區(qū)間（a, +∞），集合{xx≤a}記作半開半閉區(qū)間（-∞,a].
定義9 函數(shù)的圖象，點(diǎn)集{(x,y)y=f(x), x∈D}稱為函數(shù)y=f(x)的圖象，其中D為f(x)的定義域。通過畫圖不難得出函數(shù)y=f(x)的圖象與其他函數(shù)圖象之間的關(guān)系(a,b>0)；（1）向右平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x-a)的圖象；（2）向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x+a)的圖象；（3）向下平移b個(gè)單位得到y(tǒng)=f(x)-b的圖象；（4）與函數(shù)y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱；（5）與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱；（6）與函數(shù)y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；（7）與函數(shù)y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。
定理3 復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性，記住四個(gè)字：“同增異減”。例如y= , u=2-x在（-∞,2）上是減函數(shù)，y= 在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以y= 在（-∞,2）上是增函數(shù)。
注：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法為同增異減。這里不做嚴(yán)格論證，求導(dǎo)之后是顯然的。
二、方法與例題
1．?dāng)?shù)形結(jié)合法。
例1 求方程x-1= 的正根的個(gè)數(shù).
【解】 分別畫出y=x-1和y= 的圖象，由圖象可知兩者有唯一交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)正根。

例2 求函數(shù)f(x)= 的最大值。
【解】 f(x)= ，記點(diǎn)P(x, x 2)，A（3，2），B（0，1），則f(x)表示動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A和B距離的差。
因?yàn)镻A-PA≤AB= ,當(dāng)且僅當(dāng)P為AB延長線與拋物線y=x2的交點(diǎn)時(shí)等號成立。
所以f(x)max=
2.函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。
例3 設(shè)x, y∈R，且滿足 ，求x+y.
【解】 設(shè)f(t)=t3+1997t，先證f(t)在（-∞，+∞）上遞增。事實(shí)上，若a0，所以f(t)遞增。
由題設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4 奇函數(shù)f(x)在定義域（-1，1）內(nèi)是減函數(shù)，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范圍。
【解】 因?yàn)閒(x) 是奇函數(shù)，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由題設(shè)f(1-a)又f(x)在定義域（-1，1）上遞減，所以-1<1-a例5 設(shè)f(x)是定義在（-∞，+∞）上以2為周期的函數(shù)，對k∈Z, 用Ik表示區(qū)間(2k-1, 2k+1]，已知當(dāng)x∈I0時(shí)，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。
【解】 設(shè)x∈Ik，則2k-1所以f(x-2k)=(x-2k)2.
又因?yàn)閒(x)是以2為周期的函數(shù)，
所以當(dāng)x∈Ik時(shí)，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2.
例6 解方程：(3x-1)( )+(2x-3)( +1)=0.
【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化為
m( +1)+n( +1)=0. ①
若m=0，則由①得n=0，但m, n不同時(shí)為0，所以m 0, n 0.
?)若m>0，則由①得n<0，設(shè)f(t)=t( +1),則f(t)在（0，+∞）上是增函數(shù)。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=
?)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x= ,但與m<0矛盾。
綜上，方程有唯一實(shí)數(shù)解x=
3.配方法。
例7 求函數(shù)y=x+ 的值域。
【解】 y=x+ = [2x+1+2 +1]-1
= ( +1)-1≥ -1=- .
當(dāng)x=- 時(shí)，y取最小值- ，所以函數(shù)值域是[- ，+∞）。
4．換元法。
例8 求函數(shù)y=( + +2)( +1),x∈[0,1]的值域。
【解】令 + =u，因?yàn)閤∈[0,1]，所以2≤u2=2+2 ≤4,所以 ≤u≤2,所以 ≤ ≤2，1≤ ≤2，所以y= ,u2∈[ +2，8]。
所以該函數(shù)值域?yàn)閇2+ ，8]。
5．判別式法。
例9 求函數(shù)y= 的值域。
【解】由函數(shù)解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ①
當(dāng)y 1時(shí)，①式是關(guān)于x的方程有實(shí)根。
所以△=9(y+1)2-16(y-1)2≥0，解得 ≤y≤1.
又當(dāng)y=1時(shí)，存在x=0使解析式成立，
所以函數(shù)值域?yàn)閇 ，7]。
6．關(guān)于反函數(shù)。
例10 若函數(shù)y=f(x)定義域、值域均為R，且存在反函數(shù)。若f(x)在(-∞,+ ∞)上遞增，求證：y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函數(shù)。
【證明】設(shè)x1即y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)遞增。
例11 設(shè)函數(shù)f(x)= ，解方程：f(x)=f-1(x).
【解】 首先f(x)定義域?yàn)椋?∞，- ）∪[- ，+∞）；其次，設(shè)x1, x2是定義域內(nèi)變量，且x10,
所以f(x)在（-∞，- ）上遞增，同理f(x)在[- ，+∞）上遞增。
在方程f(x)=f-1(x)中，記f(x)=f-1(x)=y，則y≥0，又由f-1(x)=y得f(y)=x，所以x≥0,所以x,y∈[- ，+∞）.
若x y，設(shè)x同理若x>y也可得出矛盾。所以x=y.
即f(x)=x，化簡得3x5+2x4-4x-1=0,
即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0,
因?yàn)閤≥0，所以3x4+5x3+5x2+5x+1>0，所以x=1.
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．已知X={-1, 0, 1}, Y={-2, -1, 0, 1, 2}，映射f：X→Y滿足：對任意的x∈X，它在Y中的象f(x)使得x+f(x)為偶數(shù)，這樣的映射有_______個(gè)。
2．給定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：X→Y，若f為單射，則f有_______個(gè)；若f為滿射，則f有_______個(gè)；滿足f[f(x)] =f(x)的映射有_______個(gè)。
3．若直線y=k(x-2)與函數(shù)y=x2+2x圖象相交于點(diǎn)（-1，-1），則圖象與直線一共有_______個(gè)交點(diǎn)。
4．函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇 ]，則函數(shù)g(x)=f(x)+ 的值域?yàn)開______。
5．已知f(x)= ，則函數(shù)g(x)=f[f(x)]的值域?yàn)開______。
6．已知f(x)=x+a，當(dāng)x≥3時(shí)f(x)為增函數(shù)，則a的取值范圍是_______。
7．設(shè)y=f(x)在定義域（ ，2）內(nèi)是增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)遞減區(qū)間為_______。
8．若函數(shù)y= (x)存在反函數(shù)y= -1(x)，則y= -1(x)的圖象與y=- (-x)的圖象關(guān)于直線_______對稱。
9．函數(shù)f(x)滿足 =1- ，則f( )=_______。
10. 函數(shù)y= , x∈(1, +∞)的反函數(shù)是_______。
11．求下列函數(shù)的值域：（1）y= ; (2)y= ; (3)y=x+2 ; (4) y=
12. 已知 定義在R上，對任意x∈R, f(x)=f(x+2)，且f(x)是偶函數(shù)，又當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)=x，則當(dāng)x∈[-2,0]時(shí)，求f(x)的解析式。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．已知a∈ , f(x)定義域是（0,1]，則g(x)=f(x+a)+f(x-a)+f(x)的定義域?yàn)開______。
2．設(shè)0≤a<1時(shí)，f(x)=(a-1)x2-6ax+a+1恒為正值。則f(x)定義域?yàn)開______。
3．映射f: {a, b, c, d}→{1，2，3}滿足104．設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R)的值域?yàn)镽，且為增函數(shù)，若方程f(x)=x解集為P，f[f(x)]=x解集為Q，則P，Q的關(guān)系為：P_______Q（填=、 、 ）。
5．下列函數(shù)是否為奇函數(shù)：（1）f(x)=(x-1) ；（2）g(x)=2x+1-2x-1 ; (3) (x)= ；（4）y=
6. 設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R且x 0)，對任意非零實(shí)數(shù)x1, x2滿足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，又f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)，則不等式f(x)+f(x- )≤0的解集為_______。
7．函數(shù)f(x)= ，其中P，M為R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定f(P)={yy=f(x), x∈P}, f(M)={yy=f(x), x∈M}，給出如下判斷：①若P∩M= ，則f(P) ∩f(M)= ；②若P∩M ，則f(P) ∩f(M) ；③若P∪M=R, 則f(P) ∪f(M)=R；④若P∪M R，則f(P) ∪f(M) R. 其中正確的判斷是_______。
8．函數(shù)y=f(x+1)的反函數(shù)是y=f-1(x+1)，并且f(1)=3997，則f(1998)= _______。
9．已知y=f(x)是定義域?yàn)閇-6，6]的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，3]時(shí)是一次函數(shù)，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)是二次函數(shù)，又f(6)=2，當(dāng)x∈[3，6]時(shí)，f(x)≤f(5)=3。求f(x)的解析式。
10．設(shè)a>0，函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且f(x+a)= ，求證：f(x)為周期函數(shù)。
11．設(shè)關(guān)于x的方程2x2-tx-2=0的兩根為α，β（α<β），已知函數(shù)f(x)= ,（1）求f(α)、f(β)；（2）求證：f(x)在[α，β]上是增函數(shù)；（3）對任意正數(shù)x1, x2，求證： <2α-β.

五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．奇函數(shù)f(x)存在函數(shù)f-1(x)，若把y=f(x)的圖象向上平移3個(gè)單位，然后向右平移2個(gè)單位后，再關(guān)于直線y=-x對稱，得到的曲線所對應(yīng)的函數(shù)是________.
2．若a>0，a 1,F(x)是奇函數(shù)，則G(x)=F(x) 是________（奇偶性）.
3．若 =x，則下列等式中正確的有________.①F(-2-x)=-2-F(x)；②F(-x)= ；③F(x-1)=F(x)；④F(F(x))=-x.
4.設(shè)函數(shù)f：R→R滿足f(0)=1，且對任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2，則f(x)=________.
5．已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，f(1)=1，且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5, f(x+1) ≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x，則g(2002)= ________.
6. 函數(shù)f(x)= 的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
7. 函數(shù)f(x)= 的奇偶性是：________奇函數(shù)，________偶函數(shù)（填是，非）。
8. 函數(shù)y=x+ 的值域?yàn)開_______.
9．設(shè)f(x)= ,
對任意的a∈R，記V(a)=max{f(x)-axx∈[1, 3]}-min{f(x)-axx∈[1, 3]}，試求V(a)的最小值。
10．解方程組： （在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)）
11．設(shè)k∈N+, f: N+→N+滿足：（1）f(x)嚴(yán)格遞增；（2）對任意n∈N+, 有f[f(n)]=kn，求證：對任意n∈N+, 都有 n≤f(n)≤
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．求證：恰有一個(gè)定義在所有非零實(shí)數(shù)上的函數(shù)f，滿足：（1）對任意x≠0, f(x)=x?f ；（2）對所有的x≠-y且xy≠0，有f(x)+f(y)=1+f(x+y).
2.設(shè)f(x)對一切x>0有定義，且滿足：（?）f(x)在（0，+∞）是增函數(shù)；(?)任意x>0, f(x)f =1，試求f(1).
3. f:[0,1]→R滿足：（1）任意x∈[0, 1], f(x)≥0；（2）f(1)=1；（3）當(dāng)x, y, x+y∈[0, 1]時(shí)，f(x)+f(y)≤f(x+y)，試求最小常數(shù)c，對滿足（1），（2），（3）的函數(shù)f(x)都有f(x)≤cx.
4. 試求f(x,y)=6(x2+y2)(x+y)-4(x2+xy+y2)-3(x+y)+5(x>0, y>0)的最小值。
5．對給定的正數(shù)p,q∈(0, 1)，有p+q>1≥p2+q2，試求f(x)=(1-x) + 在[1-q,p]上的最大值。
6．已知f: (0,1)→R且f(x)= .
當(dāng)x∈ 時(shí)，試求f(x)的最大值。
7．函數(shù)f(x)定義在整數(shù)集上，且滿足f(n)= ，求f(100)的值。
8．函數(shù)y=f(x)定義在整個(gè)實(shí)軸上，它的圖象在圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角 后不變。（1）求證：方程f(x)=x恰有一個(gè)解；（2）試給出一個(gè)具有上述性質(zhì)的函數(shù)。
9．設(shè)Q+是正有理數(shù)的集合，試構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f: Q+→Q+，滿足這樣的條件：f(xf(y))= x, y∈Q+.

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