數(shù)學(xué)（理科）
學(xué)校_____________班級(jí)_______________姓名______________考號(hào)___________
本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至5頁(yè)，共150分．考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷（ 共40分）
一、本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．
1、已知集合 ， ，那么集合 是（ ）
A． B．
C． D．
2、如圖是某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖，其中成績(jī)分組區(qū)間是： ， ， ， ， ， ，則圖中 的值等于（ ）
A． B． ?
C． D．
3、已知圓的極坐標(biāo)方程是 ，那么該圓的直角坐標(biāo)方程是（ ）
A． B．
C． D．
4、已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三個(gè)視圖都是直角三角形，則在該三棱錐的四個(gè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5、程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，當(dāng)輸入 的值為 時(shí)，輸出 的值為（ ）
A．
B．
C．
D．
6、已知 ，那么 的值為（ ）
A． B． C． D．
7、過(guò)拋物線(xiàn) 焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 ， 兩點(diǎn)，若 ，則 的中點(diǎn)到 軸的距離等于（ ）
A． B． C． D．
8、已知函數(shù) 是定義在 上的奇函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， （其中 是 的導(dǎo)函數(shù)），若 ， ， ，則 ， ， 的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共110分）
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
9、已知向量 ， ，若 ，則 ________．
10、若復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) 的值為_(kāi)_______．
11、各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 ， ，則 的值為_(kāi)_______， 的值為_(kāi)_______．
12、如圖， 為⊙ 的直徑， 切⊙ 于點(diǎn) ，且過(guò)點(diǎn) 的割線(xiàn) 交 的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) ，若 ， ，則 ________， ________．
13、5名志愿者到3個(gè)不同的地方參加義務(wù)植樹(shù)，則每個(gè)地方至少有一名志愿者的方案共有________種．
14、在數(shù)列 中，若對(duì)任意的 ，都有 （ 為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列 為比等差數(shù)列， 稱(chēng)為比公差．現(xiàn)給出以下命題：
①等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，等差數(shù)列不一定是比等差數(shù)列；
②若數(shù)列 滿(mǎn)足 ，則數(shù)列 是比等差數(shù)列，且比公差 ；
③若數(shù)列 滿(mǎn)足 ， ， （ ），則該數(shù)列不是比等差數(shù)列；
④若 是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，則數(shù)列 是比等差數(shù)列．
其中所有真命題的序號(hào)是________．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．
15、（本小題共13分）
已知函數(shù) ．
⑴ 求 的最小正周期；
⑵ 當(dāng) 時(shí)，求 的取值范圍．
16、（本小題共13分）
某校高三年級(jí)同學(xué)進(jìn)行體育測(cè)試，測(cè)試成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、合格三個(gè)等級(jí)．測(cè)試結(jié)果如下表：（單位：人）
優(yōu)秀良好合格
男
女
按優(yōu)秀、良好、合格三個(gè)等級(jí)分層，從中抽取 人，其中成績(jī)?yōu)閮?yōu)的有 人．
⑴ 求 的值；
⑵ 若用分層抽樣的方法，在合格的同學(xué)中按男女抽取一個(gè)容量為 的樣本，從中任選 人，記 為抽取女生的人數(shù)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望．
17、（本小題共14分）
如圖， 是等邊三角形， ， ，將 沿 折疊到 的位置，使得 ．
⑴ 求證： ；
⑵ 若 ， 分別是 ， 的中點(diǎn)，求二面角 的余弦值．
18、（本小題共14分）
已知函數(shù) （ ）．
⑴ 求 的單調(diào)區(qū)間；
⑵ 如果 是曲線(xiàn) 上的任意一點(diǎn)，若以 為切點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率 恒成立，求實(shí)數(shù) 的最小值；
⑶ 討論關(guān)于 的方程 的實(shí)根情況．
19、（本小題共13分）
已知橢圓 ： （ ）的離心率 ，原點(diǎn)到過(guò)點(diǎn) ， 的直線(xiàn)的距離是 ．
⑴ 求橢圓 的方程；
⑵ 若橢圓 上一動(dòng)點(diǎn) 關(guān)于直線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ，求 的取值范圍．
⑶ 如果直線(xiàn) （ ）交橢圓 于不同的兩點(diǎn) ， ，且 ， 都在以 為圓心的圓上，求 的值．
20、（本小題共13分）
已知數(shù)列 ， ， ， ， （ ）．
⑴求 ， ；
⑵是否存在正整數(shù) ，使得對(duì)任意的 ，有 ；
⑶設(shè) ，問(wèn) 是否為有理數(shù)，說(shuō)明理由．
北京市東城區(qū)2014-2013學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（二）
數(shù)學(xué)參考答案（理科）
一、（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
（1）B （2）C （3）A （4）D
（5）D （6）B （7）D （8）C
二、題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
（9） （10） （11）
（12） （13） （14）①③
注：兩個(gè)空的填空題第一個(gè)空填對(duì)得3分，第二個(gè)空填對(duì)得2分．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?br /> ．
所以 的最小正周期 ．
（Ⅱ） 因?yàn)?，
所以 ．
所以 的取值范圍是 ． ………………………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）設(shè)該年級(jí)共 人，由題意得 ，所以 ．
則 ．
（Ⅱ）依題意， 所有取值為 ．
，
，
．
的分布列為：
． ………………………………………13分
（17）（共14分）
（Ⅰ）證明：因?yàn)?br /> 所以 ，
又因?yàn)?，且 ，
所以 平面 ，
因?yàn)?平面 ，
所以 ．
（Ⅱ）因?yàn)椤?是等邊三角形，
， ，
不防設(shè) ，則 ，
又因?yàn)?， 分別為 ， 的中點(diǎn)，
由此以 為原點(diǎn)， ， ， 所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系 ．
則有 ， ， ， ， ， ．
所以 ， ．
設(shè)平面 的法向量為 ．
則
即
令 ，則 ．
所以 ．
又平面 的一個(gè)法向量為 ．
所以 ．
所以二面角 的余弦值為 ． ………………………………14分
（18）（共14分）
解:(Ⅰ) ，定義域?yàn)?，
則 ．
因?yàn)?，由 得 ， 由 得 ，
所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ．
(Ⅱ)由題意，以 為切點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率 滿(mǎn)足
，
所以 對(duì) 恒成立．
又當(dāng) 時(shí)， ，
所以 的最小值為 ．
(Ⅲ)由題意，方程 化簡(jiǎn)得
+
令 ，則 ．
當(dāng) 時(shí)， ，
當(dāng) 時(shí)， ，
所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減．
所以 在 處取得極大值即最大值，最大值為 ．
所以 當(dāng) ，即 時(shí)， 的圖象與 軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，
方程 有兩個(gè)實(shí)根，
當(dāng) 時(shí)， 的圖象與 軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，
方程 有一個(gè)實(shí)根，
當(dāng) 時(shí)， 的圖象與 軸無(wú)交點(diǎn)，
方程 無(wú)實(shí)根． ……14分
（19）（共13分）
解: (Ⅰ)因?yàn)?， ，
所以 ．
因?yàn)樵c(diǎn)到直線(xiàn) ： 的距離 ，
解得 ， ．
故所求橢圓 的方程為 ．
(Ⅱ)因?yàn)辄c(diǎn) 關(guān)于直線(xiàn) 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ，
所以
解得 ， ．
所以 ．
因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓 : 上，
所以 ．
因?yàn)?， 所以 ．
所以 的取值范圍為 ．
(Ⅲ)由題意
消去 ，整理得
．
可知 ．
設(shè) ， ， 的中點(diǎn)是 ，
則 ， ．
所以 ．
所以 ．
即 ．
又因?yàn)?，
所以 ．所以 ． ………………………………13分
（20）（共13分）
解：（Ⅰ） ；
．
（Ⅱ）假設(shè)存在正整數(shù) ，使得對(duì)任意的 ，有 ．
則存在無(wú)數(shù)個(gè)正整數(shù) ，使得對(duì)任意的 ，有 ．
設(shè) 為其中最小的正整數(shù)．
若 為奇數(shù)，設(shè) （ ），
則 ．
與已知 矛盾．
若 為偶數(shù)，設(shè) （ ），
則 ，
而
從而 ．
而 ，與 為其中最小的正整數(shù)矛盾．
綜上，不存在正整數(shù) ，使得對(duì)任意的 ，有 ．
（Ⅲ）若 為有理數(shù)，即 為無(wú)限循環(huán)小數(shù)，
則存在正整數(shù) ， ，對(duì)任意的 ，且 ，有 ．
與（Ⅱ）同理，設(shè) 為其中最小的正整數(shù)．
若 為奇數(shù)，設(shè) （ ），
當(dāng) 時(shí)，有 ．
與已知 矛盾．
若 為偶數(shù)，設(shè) （ ），
當(dāng) 時(shí)，有 ，
而
從而 ．
而 ，與 為其中最小的正整數(shù)矛盾．
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/75120.html
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