§3　集合的基本運算
3．1　交集與并集

課時目標 　1.理解兩個集合的交集與并集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集.2.能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用．

1．一般地，由________________________的所有元素組成的集合，叫作A與B的交集，記作________(讀作“A交B”)，即A∩B＝________________.
2．一般地，由屬于________________的所有元素組成的集合，叫作A與B的并集，記作______(讀作“A并B”)，即A∪B＝________________.
3．A∩A＝____，A∪A＝____，A∩?＝____，A∪?＝____.
4．若A?B，則A∩B＝____，A∪B＝____.
5．A∩B____A，A∩B____B，A____A∪B，
A∩B____A∪B.

一、選擇題
1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，則集合A∪B等于(　　)
A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}
C．{1,2} D．{0}
2．集合A＝{x－1≤x≤2}，B＝{xx<1}，則A∩B等于(　　)
A．{xx<1} B．{x－1≤x≤2}
C．{x－1≤x≤1} D．{x－1≤x<1}
3．若集合A＝{參加北京奧運會比賽的運動員}，集合B＝{參加北京奧運會比賽的男運動員}，集合C＝{參加北京奧運會比賽的女運動員}，則下列關(guān)系正確的是(　　)
A．A?B B．B?C
C．A∩B＝C D．B∪C＝A
4．已知集合M＝{(x，y)x＋y＝2}，N＝{(x，y)x－y＝4}，那么集合M∩N為(　　)
A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)
C．{3，－1} D．{(3，－1)}
5．滿足條件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的個數(shù)是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，則(　　)
A．N∈M B．M∪N＝M
C．M∩N＝M D．M>N
題　號123456
答　案
二、填空題
7．設(shè)集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，則t＝________.
8．設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實數(shù)a＝________.
9．設(shè)集合A＝{x－1≤x≤2}，B＝{x－1三、解答題
10．已知方程x2＋px＋q＝0的兩個不相等實根分別為α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}， C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝?.求p，q的值．

11．設(shè)集合A＝{－2}，B＝{xax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．

能力提升
12．定義集合運算：A*B＝{zz＝xy，x∈A，y∈B}．設(shè)A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A*B的所有元素之和為(　　)
A．0 B．2
C．3 D．6
13．設(shè)U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，則稱(M，N)為一個“理想配集”，求符合此條件的“理想配集”的個數(shù)(規(guī)定(M，N)與(N，M)不同)．

1．對并集、交集概念全方面的感悟
(1)對于并集，要注意其中“或”的意義，“或”與通常所說的“非此即彼”有原則性的區(qū)別，它們是“相容”的．
“x∈A，或x∈B”這一條件，包括下列三種情況：x∈A但x?B；x∈B但x?A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由所有至少屬于A、B兩者之一的元素組成的集合．
(2)A∩B中的元素是“所有”屬于集合A且屬于集合B的元素，而不是部分，特別地，當集合A和集合B沒有公共元素時，不能說A與B沒有交集，而是A∩B＝?.
2．集合的交、并運算中的注意事項
(1)對于元素個數(shù)有限的集合，可直接根據(jù)集合的“交”、“并”定義求解，但要注意集合元素的互異性．
(2)對于元素個數(shù)無限的集合，進行交、并運算時，可借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法求解，但要注意端點值取到與否．
拓展　交集與并集的運算性質(zhì)，除了教材中介紹的以外，還有A?B?A∪B＝B，A?B?A∩B＝A.這種轉(zhuǎn)化在做題時體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，十分有效．
§3　集合的基本運算
3．1　交集與并集
知識梳理
1．既屬于集合A又屬于集合B　A∩B　{xx∈A，且x∈B}
2．集合A或?qū)儆诩�合B　A∪B　{xx∈A，或x∈B}
3．A　A　?　A　4.A　B　　5.?　?　?　?
作業(yè)設(shè)計
1．A
2．D　[由交集定義得{x－1≤x≤2}∩{xx<1}＝{x－1≤x<1}．]
3．D　[參加北京奧運會比賽的男運動員與參加北京奧運會比賽的女運動員構(gòu)成了參加北京奧運會比賽的所有運動員，因此A＝B∪C.]
4．D　[M、N中的元素是平面上的點，M∩N是集合，并且其中元素也是點，解x＋y＝2，x－y＝4，得x＝3，y＝－1.]
5．B　[由已知得M＝{2,3}或{1,2,3}，共2個．]
6．B　[∵N M，∴M∪N＝M.]
7．0或1
解析　由A∪B＝A知B?A，
∴t2－t＋1＝－3，①
或t2－t＋1＝0，②
或t2－t＋1＝1.③
①無解；②無解；③t＝0或t＝1.
8．1
解析　∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.
9．－1　2
解析　∵B∪C＝{x－3∴A∩(B∪C)＝A，
由題意{xa≤x≤b}＝{x－1≤x≤2}，
∴a＝－1，b＝2.
10．解　由A∩C＝A，A∩B＝?，可得：A＝{1,3}，
即方程x2＋px＋q＝0的兩個實根為1,3.
∴1＋3＝－p1×3＝q，∴p＝－4q＝3.
11．解　∵A∩B＝B，∴B?A.
∵A＝{－2}≠?，∴B＝?或B≠?.
當B＝?時，方程ax＋1＝0無解，此時a＝0.
當B≠?時，此時a≠0，則B＝{－1a}，
∴－1a∈A，即有－1a＝－2，得a＝12.
綜上，得a＝0或a＝12.
12．D　[x的取值為1,2，y的取值為0,2，
∵z＝xy，∴z的取值為0,2,4，所以2＋4＝6，故選D.]
13．解　符合條件的理想配集有
①M＝{1,3}，N＝{1,3}．
②M＝{1,3}，N＝{1,2,3}．
③M＝{1,2,3}，N＝{1,3}．
共3個．

3．2　全集與補集

課時目標 　1.理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集.2.熟練掌握集合的基本運算．

1．在研究某些集合的時候，這些集合往往是某個給定集合的______，這個給定的集合叫作全集，常用符號____表示．全集含有我們所要研究的這些集合的______元素．
2．設(shè)U是全集，A是U的一個子集(即______)，則由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫作U中子集A的______(或______)，記作______，即?UA＝___________________.
3．補集與全集的性質(zhì)
(1)?UU＝______；(2)?U?＝____；(3)?U(?UA)＝____；
(4)A∪(?UA)＝____；(5)A∩(?UA)＝____.

一、選擇題
1．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，則?UA等于(　　)
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
2．已知全集U＝R，集合M＝{xx2－4≤0}，則?UM等于(　　)
A．{x－2C．{xx<－2或x>2} D．{xx≤－2或x≥2}
3．設(shè)全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,5}，則A∩(?UB)等于(　　)
A．{2} B．{2,3} C．{3} D．{1,3}
4．設(shè)全集U和集合A、B、P滿足A＝?UB，B＝?UP，則A與P的關(guān)系是(　　)
A．A＝?UP B．A＝P
C．A P D．A P
5．如圖，I是全集，M、P、S是I的3個子集，則陰影部分所表示的集合是(　　)

A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩(?IS) D．(M∩P)∪(?IS)
6．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是(　　)
A．A∪B B．A∩B
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
題　號123456
答　案
二、填空題
7．設(shè)U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈Ux2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，則實數(shù)m＝________.
8．設(shè)全集U＝{xx<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，則?UA＝________，?UB＝______，?BA＝________.
9．已知全集U，A B，則?UA與?UB的關(guān)系是____________________．
三、解答題
10．設(shè)全集是數(shù)集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，?UA＝{5}，求實數(shù)a，b的值．

11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，設(shè)全集為U，若B∪(?UB)＝A，求?UB.

能力提升
12．已知A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A等于(　　)
A．{1,3} B．{3,7,9}
C．{3,5,9} D．{3,9}
13．學校開運動會，某班有30名學生，其中20人報名參加賽跑項目，11人報名參加跳躍項目，兩項都沒有報名的有4人，問兩項都參加的有幾人？

1．全集與補集的互相依存關(guān)系
(1)全集并非是包羅萬象、含有任何元素的集合，它是對于研究問題而言的一個相對概念，它僅含有所研究問題中涉及的所有元素，如研究整數(shù)，Z就是全集，研究方程的實數(shù)解，R就是全集．因此，全集因研究問題而異．
(2)補集是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念．
(3)?UA的數(shù)學意義包括兩個方面：首先必須具備A?U；其次是定義?UA＝{xx∈U，且x?A}，補集是集合間的運算關(guān)系．
2．補集思想
做題時“正難則反”策略運用的是補集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困難，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A.

3．2　全集與補集
知識梳理
1．子集　U　全部　2.A?U　補集　余集　?UA　{xx∈U，且x?A}
3．(1)?　(2)U　(3)A　(4)U　(5)?
作業(yè)設(shè)計
1．D　[在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素構(gòu)成?UA.]
2．C　[∵M＝{x－2≤x≤2}，
∴?UM＝{xx<－2或x>2}．]
3．D　[由B＝{2,5}，知?UB＝{1,3,4}．
A∩(?UB)＝{1,3,5}∩{1,3,4}＝{1,3}．]
4．B　[由A＝?UB，得?UA＝B.
又∵B＝?UP，∴?UP＝?UA.
即P＝A，故選B.]
5．C　[依題意，由圖知，陰影部分對應(yīng)的元素a具有性質(zhì)a∈M，a∈P，a∈?IS，所以陰影部分所表示的集合是(M∩P)∩(?IS)，故選C.]
6．D　[由A∪B＝{1,3,4,5,6}，得?U(A∪B)＝{2,7}，故選D.]
7．－3
解析　∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.
8．{0,1,3,5,7,8}　{7,8}　{0,1,3,5}

解析　由題意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn圖表示出U，A，B，易得?UA＝{0,1,3,5,7,8}，?UB＝{7,8}，?BA＝{0,1,3,5}．
9．(?UB) (?UA)
解析　畫Venn圖，觀察可知(?UB) (?UA)．

10．解　∵?UA＝{5}，∴5∈U且5?A.
又b∈A，∴b∈U，由此得a2＋2a－3＝5，b＝3.
解得a＝2，b＝3或a＝－4，b＝3經(jīng)檢驗都符合題意．
11．解　因為B∪(?UB)＝A，
所以B?A，U＝A，因而x2＝3或x2＝x.
①若x2＝3，則x＝±3.
當x＝3時，A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，3}，
此時?UB＝{3}；
當x＝－3時，A＝{1,3，－3}，B＝{1,3}，U＝A＝{1,3，－3}，
此時?UB＝{－3}．
②若x2＝x，則x＝0或x＝1.
當x＝1時，A中元素x與1相同，B中元素x2與1也相同，不符合元素的互異性，故x≠1；
當x＝0時，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，U＝A＝{1,3,0}，
從而?UB＝{3}．
綜上所述，?UB＝{3}或{－3}或{3}．
12．D　[借助于Venn圖解，因為A∩B＝{3}，所以3∈A，又因為(?UB)∩A＝{9}，所以9∈A，故選D.]

13.

解　如圖所示，設(shè)只參加賽跑、只參加跳躍、兩項都參加的人數(shù)分別為a，b，x.
根據(jù)題意有a＋x＝20，b＋x＝11，a＋b＋x＝30－4.
解得x＝5，即兩項都參加的有5人．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/75226.html

相關(guān)閱讀：第十二章立體幾何(高中數(shù)學競賽標準教材)