綿陽市2013屆高中畢業(yè)班第三次診斷性考試
數(shù)學(xué)（文科） 2013年4月21日
本試卷分第I卷（)和第II卷（非）兩部分。第I卷l至2頁，第II卷 3至4頁。滿分150分�？荚嚂r間120分鐘。
注意事項(xiàng)：
1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考號用0.5毫米的黑色簽字筆填寫在答題卡上， 并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置。
2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應(yīng)題目標(biāo)號的位置上，非選擇題用0.5毫米的 黑色簽字筆書寫在答題卡的對應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷 上答題無效。
3.考試結(jié)束后，將答題卡收回。
第I卷（選擇題，共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.設(shè)集合U={l,2, 3, 4}, M={l, 2, 3}, N={2，3, 4},則 等于
A. {1, 2} B. {2, 3}
C.{2, 4}D. {1, 4}
2.拋物線x2=-4y的準(zhǔn)線方程是
A. x=-1B. x=2
C.y=1D. y=-2
3.若復(fù)數(shù)z滿足z*i=1+i(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z=
A. 1+i B. -1-I C. 1-I D. -1+i
4.設(shè)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則“a1
C.充要條件D.既不充分又不必要條件
5.平面向量a與b的夾角為600,a=(2, 0)，b =(cosa, sina),則a+2b=
A. B.2
C. 4D. 12
6.函數(shù)f(x)= x-sinx的大致圖象可能是
7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出結(jié)果為26,則M處的條件為
A. B.
C. k>3l D. k>l5
8.己知函數(shù). ，若函數(shù)f(x)在區(qū)間 上單調(diào)遞增，則0的取值范圍是
A [ ]
B [ ]
C ( ] [ )
D ( ] [ )
9.已知橢圓 與離心率為2的雙曲線 的公共焦點(diǎn) 是F1 F2,點(diǎn)P是兩曲線的一個公共點(diǎn)，若 ,則橢圓的離心率為
A. B. C. D.
10.已知函數(shù)f(x)=ln(ex+a)(e是自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，若 函數(shù)f(x)=lnx-f(x)(x2-2ex+m)在(0, +∞)上有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
A. B.
C. D.
第II卷（非選擇題，共100分）
二、題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.
11.若直線x+(a-1)y=4與直線x=1平行，則實(shí)數(shù)a的值是____
12.如圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長為4 的正方形，俯視圖是一個直徑為4的圓，則這個幾何體的側(cè) 面積是____
13.設(shè)變量x、y滿足約束條件： ，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值是_______
14.己知 ，且 則cosa=______
15.定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x), 是函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，如果 ，使得f(b)-f(a)= ,則稱 為[a,b]上的“中值點(diǎn)”.下列函數(shù)：
① f(x)=2x+l,② f(x)=x2-x+l,
③ f(x)=lnx+l,④ ，
其中在區(qū)間[0, 1]上的“中值點(diǎn)”多于一個的函數(shù)是______(請寫出你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號）
三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16.(本小題滿分12分）
從高三學(xué)生中抽取n名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，成績（單位：分）的分組及各數(shù)據(jù)繪制的頻 率分布直方圖如圖所示，已知成績的范圍是 區(qū)間[40, 100),且成績在區(qū)間[70, 90)的學(xué) 生人數(shù)是27人.
(I)求n的值;
(II)試估計(jì)這n名學(xué)生的平均成績；
(III)若從數(shù)學(xué)成績（單位：分）在[40,60)的學(xué)生中隨機(jī)選取2人進(jìn)行成績分析，求至少有1人成績在[40, 50)內(nèi)的概率.
17.(本小題滿分12分）
已知{an}是等差數(shù)列，a1=3, Sn是其前n項(xiàng)和，在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}中， b1=1 且b2+S2=1O, S5 =5b3+3a2.
(I )求數(shù)列{an}, {bn}的通項(xiàng)公式；
(II)設(shè) ，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,求證
18.(本小題滿分12分）
如圖，ABCD是邊長為2的正方形，ED?平面ABCD,ED=1, EF//BD 且EF= BD.
(I)求證：BF//平面ACE
(II)求證：平面EAC?平面BDEF;
(III)求幾何體ABCDEF的體積.
19.(本小題滿分12分）
函數(shù) 的部分圖象如圖示，將y=f(x)的圖象向右平移 個單位后得到函數(shù)y=f(x)的 圖象.
(I )求函數(shù)y=g(x)的解析式；
(II)已知ΔABC中三個內(nèi)角A，B， C的對邊分別為a, b，c，且滿足 + ＝2 sinAsinaB,且C= ，c=3，求ΔABC的面積.
20.(本小題滿分13分）
已知橢圓C: 的離心率為 ，以原點(diǎn)為圓心，橢圓c的短半軸長為半徑的圓與直線 相切.A、B是橢圓的左右頂點(diǎn)，直線l 過B點(diǎn)且與x軸垂直，如圖.
(I )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(II)設(shè)G是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，GH?x軸，H為垂足，延長HG到點(diǎn)Q 使得HG=GQ,連接AQ并延長交直線l于點(diǎn)M,點(diǎn)N為MB的中點(diǎn)，判定直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.
21.(本小題滿分14分）
已知函數(shù)f(x)=ex-ax(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(I )求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(II)如果對任意 ，都有不等式f(x)> x + x2成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(III)設(shè) ,證明： + + +…+ <
綿陽市高中2013級第三次診斷性考試
數(shù)學(xué)(文)參考解答及評分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．
DCCBB AABDD
二、題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．1 12．16π 13．3 14． 15．①④
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16．解：（Ⅰ）成績在區(qū)間 的頻率是：
1 (0.02+0.016+0.006+0.004)×10=0.54，
∴ 人． ……………………………………………………………3分
（Ⅱ）成績在區(qū)間 的頻率是：
1 (0.02+0.016+0.006+0.004+0.03) 10=0.24，
利用組中值估計(jì)這50名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績是：
45×0.04+55×0.06+65×0.2+75×0.3+85×0.24+95×0.16=76.2． ……………3分
（Ⅲ）成績在區(qū)間 的學(xué)生人數(shù)是：50×0.04=2人，
成績在區(qū)間 的學(xué)生人數(shù)是：50×0.06=3人，
設(shè)成績在區(qū)間 的學(xué)生分別是A1，A2，成績在區(qū)間 的學(xué)生分別是B1，B2，B3，
從成績在 的學(xué)生中隨機(jī)選取2人的所有結(jié)果有：(A1，A2)，(A1，B1)，
(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)共10種情況．
至少有1人成績在 內(nèi)的結(jié)果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)共7種情況．
∴ 至少有1人成績在 內(nèi)的概率P= ． ……………………………6分
17．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，
由題意可得：
解得q=2或q= (舍)，d=2．
∴ 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n+1，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式是 ． …7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，于是 ，
∴
< ． …………12分
18．解：（Ⅰ）如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接EO，于是DO=OB．
∵ EF∥BD且EF＝ BD，
∴ EF OB，
∴ 四邊形EFBO是平行四邊形，
∴ BF∥EO．
而BF 平面ACE，EO 平面ACE，
∴ BF∥平面ACE．…………………………4分
（Ⅱ）∵ ED⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴ ED⊥AC．
∵ ABCD是正方形，
∴ BD⊥AC，
∴ AC⊥平面BDEF．
又AC?平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF． ……………………………8分
（Ⅲ）連結(jié)FO，∵ EF DO，
∴ 四邊形EFOD是平行四邊形．
由ED⊥平面ABCD可得ED⊥DO，
∴ 四邊形EFOD是矩形．
∵ 平面EAC⊥平面BDEF．
∴ 點(diǎn)F到平面ACE的距離等于就是Rt△EFO斜邊EO上的高，
且高h(yuǎn)= ＝ ．
∴幾何體ABCDEF的體積
=
=2．……………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）由圖知： ，解得ω=2．
再由 ，
得 ，即 ．
由 ，得 ．
∴ ．
∴ ，
即函數(shù)y=g(x)的解析式為g(x)= ．………………………………6分
（Ⅱ）由已知化簡得： ．
∵ (R為△ABC的外接圓半徑)，
∴ ，
∴ sinA= ，sinB= ．
∴ ，即 ． ①
由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC，
即 9=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab． ②
聯(lián)立①②可得：2(ab)2-3ab-9=0，解得：ab=3或ab= (舍去)，
故△ABC的面積S△ABC= ．…………………………………12分
20．解：（Ⅰ）由題可得：e= ．
∵ 以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x+y+ =0相切，
∴ =b，解得b=1．
再由 a2=b2+c2，可解得：a=2．
∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ．……………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：A(-2，0)，B(2，0)，直線l的方程為：x=2．
設(shè)G(x0，y0)(y0≠0)，于是H(x0，0)，Q(x0，2y0)，
且有 ，即4y02=4-x02．
設(shè)直線AQ與直線BQ的斜率分別為：kAQ，kBQ，
∵ ，即AQ⊥BQ，
∴ 點(diǎn)Q在以AB為直徑的圓上．
∵ 直線AQ的方程為： ，
由 解得： 即 ，
∴ ．
∴ 直線QN的斜率為： ，
∴ ，于是直線OQ與直線QN垂直，
∴ 直線QN與以AB為直徑的圓O相切． …………………………………13分
21．解：（Ⅰ）∵ ，
當(dāng)a≤0時 ，得函數(shù)f (x)在(-∞，+∞)上是增函數(shù)．
當(dāng)a>0時，
若x∈(lna，+∞)， ，得函數(shù) 在(lna，+∞)上是增函數(shù)；
若x∈(-∞，lna)， ，得函數(shù) 在(-∞，lna)上是減函數(shù)．
綜上所述，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，+∞)；當(dāng)a>0時，函數(shù)f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是(lna，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞，lna)．…5分
（Ⅱ）由題知：不等式ex-ax>x+x2對任意 成立，
即不等式 對任意 成立．
設(shè) (x≥2)，于是 ．
再設(shè) ，得 ．
由x≥2，得 ，即 在 上單調(diào)遞增，
∴ h(x)≥h(2)=e2-4>0，進(jìn)而 ，
∴ g(x)在 上單調(diào)遞增，
∴ ，
∴ ，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
當(dāng)a=1時，函數(shù)f (x)在(-∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增．
∴ f (x)≥f (0)=1，即ex-x≥1，整理得1+x≤ex．
令 (n∈N*，i=1，2，…，n-1)，則 ≤ ，即 ≤ ，
∴ ≤ ， ≤ ， ≤ ，…， ≤ ，
顯然 ≤ ，
∴
≤
，
故不等式 （n∈N*）成立．……………4分
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/75363.html
相關(guān)閱讀：高中三年級數(shù)學(xué)模擬試卷