豐臺(tái)區(qū)2013年高三第二學(xué)期統(tǒng)一練習(xí)（二）
數(shù)學(xué)（理科）
第一部分（ 共40分）
一 、共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. 復(fù)數(shù) 的虛部為
（A）3 （B） （C）4 （D）
2. 設(shè)向量a=(x,1), b=(4,x),且a,b方向相反，則x的值是
（A）2 （B）-2 （C） （D）0
3. 展開式中的常數(shù)項(xiàng)是
（A）6 （B）4 （C）-4 （D）-6
4. 已知數(shù)列{an}， 則“{an}為等差數(shù)列”是“a1+a3=2a2”的
（A）充要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充分而不必要條件 （D）既不充分又不必要條件
5. 下列四個(gè)函數(shù)中，最小正周期為 ，且圖象關(guān)于直線 對(duì)稱的是
（A） （B）
（C） （D）
6. 在平面區(qū)域 內(nèi)任取一點(diǎn) ，若 滿足 的概率大于 ，則 的取值范圍是
（A） （B） （C） （D）
7. 用5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字之間恰有一個(gè)奇數(shù)數(shù)字的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是
(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72
8. 已知偶函數(shù)f(x)（x∈R），當(dāng) 時(shí)，f(x)=-x(2+x)，當(dāng) 時(shí)，f(x)=(x-2)(a-x)（ ）.
關(guān)于偶函數(shù)f(x)的圖象G和直線 :y=m（ ）的3個(gè)命題如下：
①當(dāng)a=4時(shí)，存在直線 與圖象G恰有5個(gè)公共點(diǎn)；
②若對(duì)于 ，直線 與圖象G的公共點(diǎn)不超過4個(gè)，則a≤2；
③ ，使得直線 與圖象G交于4個(gè)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等.
其中正確命題的序號(hào)是
(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③
第二部分（非選擇題 共110分）
二、題共6小題，每小題5分，共30分.
9. 圓 的半徑是________。
10.已知變量 具有線性相關(guān)關(guān)系，測(cè)得 的一組數(shù)據(jù)如下： ，其回歸方程為 ，則 的值是 。
11.如圖，已知⊙O的弦AB交半徑OC于點(diǎn)D,若AD=4,BD=3,OC=4,則CD的長為______。
12.若雙曲線C: 的離心率為 ,則拋物線 的焦點(diǎn)到C的漸近線距離是______。
13.曲線 在 處的切線方程是______，在x=x0處的切線與直線 和y軸圍成三角形的面積為 。
14.在圓 上有一點(diǎn)P(4,3)，點(diǎn)E,F是y軸上兩點(diǎn)，且滿足 ,直線PE，PF與圓交于C，D，則直線CD的斜率是________。
三、解答題共6小題，共80分.解答要寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15．（本小題13分） 已知 的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,且
（Ⅰ）求A的度數(shù)；
（Ⅱ）若 求 的面積S.
16（本小題13分）國家對(duì)空氣質(zhì)量的分級(jí)規(guī)定如下表：
污染指數(shù)0~5051~100101~150151~200201~300>300
空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染
某市去年6月份30天的空氣污染指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如下：
3414018731212104045782365792078160
421013816315422273615149103135201648
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（Ⅰ）寫出下面頻率分布表中a,b,x,y的值；
（Ⅱ）某人計(jì)劃今年6月份到此城市觀光4天，若將（Ⅰ）中的頻率作為概率，他遇到空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的天數(shù)用X表示，求X的分布列和均值EX.
頻率分布表
分組頻數(shù)頻率
[0,50] 14
(50,100] ax
(100,150]5
(150,200]by
(200,250]2
合計(jì)301
17. （本小題13分）如圖(1)，等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點(diǎn)D在線段AC上， 于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））.
（Ⅰ）求證：PB DE；
（Ⅱ）若PE BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長.
圖（1） 圖（2）
18.（本小題13分）已知函數(shù) .
（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a>0，討論 的單調(diào)性.
19.（本小題14分）已知橢圓C： 的短軸的端點(diǎn)分別為A,B,直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M (m, ) 滿足 ，且 .
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）用m表示點(diǎn)E,F的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若?BME面積是?AMF面積的5倍，求m的值.
20.（本小題14分）已知等差數(shù)列 的通項(xiàng)公式為an=3n-2，等比數(shù)列 中， .記集合 ， ，把集合U中的元素按從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列 .
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，并寫出數(shù)列 的前4項(xiàng)；
（Ⅱ）把集合 中的元素從小到大依次排列構(gòu)成數(shù)列 ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式，并說明理由；
（Ⅲ）求數(shù)列 的前n項(xiàng)和
豐臺(tái)區(qū)2013年高三第二學(xué)期統(tǒng)一練習(xí)（二）
數(shù)學(xué)（理科）
一 、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.
題號(hào)12345678
答案ABACC DBD
二、題共6小題，每小題5分，共30分.
9. 1； 10. 0.9； 11. 2； 12. ； 13. 3x+y-4=0, 2； 14. .
三、解答題共6小題，共80分.解答要寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15．（本小題13分） 已知 的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,且
（Ⅰ）求A的度數(shù)；
（Ⅱ）若 求 的面積S.
, ……………………….2分
, ……………………….4分
°. …………………….6分
（Ⅱ）在 中, ,
或 (舍),………….10分
. …………………….13分
16（本小題13分）國家對(duì)空氣質(zhì)量的分級(jí)規(guī)定如下表：
污染指數(shù)0~5051~100101~150151~200201~300>300
空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染
某市去年6月份30天的空氣污染指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如下：
3414018731212104045782365792078160
421013816315422273615149103135201648
根據(jù)以上信息，解決下列問題：
（Ⅰ）寫出下面頻率分布表中a,b,x,y的值；
（Ⅱ）某人計(jì)劃今年6月份到此城市觀光4天，若將（Ⅰ）中的頻率作為概率，他遇到空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的天數(shù)用X表示，求X的分布列和均值EX.
頻率分布表
分組頻數(shù)頻率
[0,50] 14
(50,100] ax
(100,150]5
(150,200]by
(200,250]2
合計(jì)301
解：（Ⅰ） , ………………………….4分
（Ⅱ）由題意，該市4月份空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的概率為P= ，………..5分
. ………………………….10分
的分布列為:
X01234
………………………….11分
X~B(4， ), . ………………………….13分
17. （本小題13分）如圖(1)，等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點(diǎn)D在線段AC上， 于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））.
（Ⅰ）求證：PB DE；
（Ⅱ）若PE BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE的長.
圖（1） 圖（2）
解: （Ⅰ） ， ,DE PE, ……………….2分
， DE 平面PEB,
, BP DE; ……………………….4分
（Ⅱ） PE BE， PE DE， ,所以，可由DE,BE,PE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），……………………………………………………………5分
設(shè)PE=a，則B(0,4-a ,0),D(a,0,0)，C(2,2-a,0),P(0,0,a)，……………………7分
， ,……………………8分
設(shè)面PBC的法向量 ,
令 , , …………10分 …………….10分
, ……………………….12分
BC與平面PCD所成角為30°,
. ……………………….11分
，
解得：a= ,或a=4(舍)，所以，PE的長為 .……………………….13分
18.（本小題13分）已知函數(shù) .
（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a>0，討論 的單調(diào)性.
解：（Ⅰ） 的定義域?yàn)?, ……………………….1分
當(dāng) 時(shí)， ……………………….2分
令 在[1,e]上得極值點(diǎn)
x 2
……………………….4分
……………………….5分
. ………………….7分
（Ⅱ） ， ……………………….8分
① 時(shí)，由 >0得0
由 <0得2
在（0，+?）單調(diào)遞增； ……………………….11分
③當(dāng) 時(shí)，由 >0得0
由 <0得
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）用m表示點(diǎn)E,F的坐標(biāo)；
（Ⅲ）若?BME面積是?AMF面積的5倍，求m的值.
解：（Ⅰ）依題意知 , , ; ……………………… 3分
（Ⅱ） ,M (m, )，且 ， ………………………4分
直線AM的斜率為k1= ,直線BM斜率為k2= ,
直線AM的方程為y= ,直線BM的方程為y= , ……………6分
由 得 ，
………………………8分
由 得 ，
； ………………………10分
（Ⅲ） , , ,
, ， , ………………..12分
，
整理方程得 ，即 ，
又 ， ， ， 為所求. ………………14分
20.（本小題14分）已知等差數(shù)列 的通項(xiàng)公式為an=3n-2，等比數(shù)列 中， .記集合 ， ，把集合U中的元素按從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列 .
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，并寫出數(shù)列 的前4項(xiàng)；
（Ⅱ）把集合 中的元素從小到大依次排列構(gòu)成數(shù)列 ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式，并說明理由；
（Ⅲ）求數(shù)列 的前n項(xiàng)和
解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列 的公比為q，
，則q3=8， q=2， bn=2n-1， ………………..2分
數(shù)列 的前4項(xiàng)為1,4,7,10，數(shù)列{bn}的前4項(xiàng)為1,2,4,8，
數(shù)列 的前4項(xiàng)為1，2，4，7； ………………..3分
（Ⅱ）據(jù)集合B中元素2，8，32，128 A，猜測(cè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式為dn =22n-1.
………………..4分
dn=b2n ， 只需證明數(shù)列{bn}中，b2n-1∈A，b2n A（ ）.
證明如下：
b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1，
若 m∈N*,使b2n-1=3m-2，那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2，所以，若b2n-1∈A，則b2n+1∈A.因?yàn)閎1∈A，重復(fù)使用上述結(jié)論，即得b2n-1∈A（ ）。
同理，b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即b2n+2=b2n+3×2×4n-1，因?yàn)椤?×2×4n-1” 數(shù)列 的公差3的整數(shù)倍，所以說明b2n 與b2n+2 同時(shí)屬于A或同時(shí)不屬于A，
當(dāng)n=1時(shí)，顯然b2=2 A，即有b4=2 A，重復(fù)使用上述結(jié)論，
即得b2n A， dn =22n-1； ………………………………………8分
（Ⅲ）（1）當(dāng)n=1時(shí)，所以因?yàn)?，所以S1=1； ………………..9分
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由（Ⅱ）知，數(shù)列{bn}中，b2n-1∈A，b2n A，則 ，且k
下面討論正整數(shù)k與n的關(guān)系：
數(shù)列 中的第n項(xiàng)不外如下兩種情況：
① 或者② ，
若①成立，即有 ，
若②成立，即有 ，
有 或者 ，
顯然 = N*，所以 .
綜上所述， .
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/76513.html
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