第3節(jié) 帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動
【考綱知識梳理】
一、復(fù)合場
復(fù)合場是指電場、磁場和重力場并存，或其中某兩場并存，或其中某兩場并存，或分區(qū)域存在。
二、帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動分類
1、當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中所受的合外力為0時(shí)，粒子將做勻速直線運(yùn)動或靜止．
2、當(dāng)帶電粒子所受的合外力與運(yùn)動方向在同一條直線上時(shí)，粒子將做變速直線運(yùn)動．
3、當(dāng)帶電粒子所受的合外力充當(dāng)向心力時(shí)，粒子將做勻速圓周運(yùn)動．
4、當(dāng)帶電粒子所受的合外力的大小、方向均是不斷變化的時(shí)，粒子將做變加速運(yùn)動，這類問題一般只能用能量關(guān)系處理．
三、帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的應(yīng)用實(shí)例
1、粒子速度選擇器
速度選擇器是近代物理學(xué)研究中常用的一種實(shí)驗(yàn)工具，其功能是為了選擇某種速度的帶電粒子
（1）．結(jié)構(gòu)：
①平行金屬板M、N，將M接電源正極，N板接電源負(fù)極，M、N間形成勻強(qiáng)電場，設(shè)場強(qiáng)為E；
②在兩板之間的空間加上垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；
③在極板兩端加垂直極板的檔板，檔板中心開孔S1、S2，孔S1、S2水平正對。
（2）．原理
工作原理。設(shè)一束質(zhì)量、電性、帶電量、速度均不同的粒子束（重力不計(jì)），從S1孔垂直磁場和電場方向進(jìn)入兩板間，當(dāng)帶電粒子進(jìn)入電場和磁場共存空間時(shí)，同時(shí)受到電場力和洛倫茲力作用
若
。
即：當(dāng)粒子的速度 時(shí)，粒子勻速運(yùn)動，不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，可以從S2孔飛出。由此可見，盡管有一束速度不同的粒子從S1孔進(jìn)入，但能從S2孔飛出的粒子只有一種速度，而與粒子的質(zhì)量、電性、電量無關(guān)
（3）．幾個(gè)問題
①粒子受力特點(diǎn)??電場力F與洛侖茲力f方向相反
②粒子勻速通過速度選擇器的條件??帶電粒子從小孔S1水平射入， 勻速通過疊加場， 并從小孔S2水平射出，電場力與洛侖茲力平衡， 即 ;即;
③使粒子勻速通過選擇器的兩種途徑:
當(dāng) 一定時(shí)??調(diào)節(jié)E和B的大小;
當(dāng)E和B一定時(shí)??調(diào)節(jié)加速電壓U的大小; 根據(jù)勻速運(yùn)動的條件和功能關(guān)系， 有， 所以， 加速電壓應(yīng)為 。
④如何保證F和f的方向始終相反??將 、E、B三者中任意兩個(gè)量的方向同時(shí)改變， 但不能同時(shí)改變?nèi)齻�(gè)或者其中任意一個(gè)的方向， 否則將破壞速度選擇器的功能。
⑤如果粒子從S2孔進(jìn)入時(shí)，粒子受電場力和洛倫茲力的方向相同，所以無論粒子多大的速度，所有粒子都將發(fā)生偏轉(zhuǎn)
⑥兩個(gè)重要的功能關(guān)系??當(dāng)粒子進(jìn)入速度選擇器時(shí)速度， 粒子將因側(cè)移而不能通過選擇器。如圖， 設(shè)在電場方向側(cè)移后粒子速度為v，
當(dāng) 時(shí): 粒子向f方向側(cè)移， F做負(fù)功??粒子動能減少， 電勢能增加， 有
當(dāng) 時(shí):粒子向F方向側(cè)移， F做正功??粒子動能增加， 電勢能減少， 有;
2、磁流體發(fā)電機(jī)
磁流體發(fā)電就是利用等離子體來發(fā)電。
（1）．等離子體的產(chǎn)生：在高溫條件下（例如2000K）氣體發(fā)生電離，電離后的氣體中含有離子、電子和部分未電離的中性粒子，因?yàn)檎��?fù)電荷的密度幾乎相等，從整體看呈電中性，這種高度電離的氣體就稱為等離子體，也有人稱它為“物質(zhì)的第四態(tài)”。
（2）．工作原理:
磁流體發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)原理如圖（1）所示，其平面圖如圖（2）所示。M、N為平行板電極，極板間有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，讓等離子體平行于極板從左向右高速射入極板間，由于洛倫茲力的作用，正離子將向M板偏轉(zhuǎn)，負(fù)離子將向N板偏轉(zhuǎn)，于是在M板上積累正電荷，在N板上積累負(fù)電荷。這樣在兩極板間就產(chǎn)生電勢差，形成了電場，場強(qiáng)方向從M指向N，以后進(jìn)入極板間的帶電粒子除受到洛倫茲力 之外，還受到電場力 的作用，只要 ，帶電粒子就繼續(xù)偏轉(zhuǎn)，極板上就繼續(xù)積累電荷，使極板間的場強(qiáng)增加，直到帶電粒子所受的電場力 與洛倫茲力 大小相等為止。此后帶電粒子進(jìn)入極板間不再偏轉(zhuǎn)，極板上也就不再積累電荷而形成穩(wěn)定的電勢差
（3）．電動勢的計(jì)算: 設(shè)兩極板間距為d， 根據(jù)兩極電勢差達(dá)到最大值的條件 ， 即 ， 則磁流體發(fā)電機(jī)的電動勢。
3、電磁流量計(jì)
電磁流量計(jì)是利用霍爾效應(yīng)來測量管道中液體流量（單位時(shí)間內(nèi)通過管內(nèi)橫截面的液體的體積）的一種設(shè)備。其原理為：
如圖所示
圓形管道直徑為d（用非磁性制成），管道內(nèi)有向左勻速流動的導(dǎo)電液體，在管道所在空間加一垂直管道向里的勻強(qiáng)磁場，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；管道內(nèi)隨液體一起流動的自由電荷（正、負(fù)離子）在洛倫茲力作用下垂直磁場方向偏轉(zhuǎn)，使管道上ab兩點(diǎn)間有電勢差，管道內(nèi)形成電場；當(dāng)自由電荷受電場力和洛倫茲力平衡時(shí)，ab間電勢差就保持穩(wěn)定，測出ab間電勢差的大小U，則有：
，
故管道內(nèi)液體的流量
4. 霍爾效應(yīng)
（1）．霍爾效應(yīng)。金屬導(dǎo)體板放在垂直于它的勻強(qiáng)磁場中，當(dāng)導(dǎo)體板中通過電流時(shí)，在平行于磁場且平行于電流的兩個(gè)側(cè)面間會產(chǎn)生電勢差，這種現(xiàn)象叫霍爾效應(yīng)。
（2）．霍爾效應(yīng)的解釋。如圖，截面為矩形的金屬導(dǎo)體，在ｘ方向通以電流Ｉ，在ｚ方向加磁場Ｂ，導(dǎo)體中自由電子逆著電流方向運(yùn)動。由左手定則可以判斷，運(yùn)動的電子在洛倫茲力作用下向下表面聚集，在導(dǎo)體的上表面A就會出現(xiàn)多余的正電荷，形成上表面電勢高，下表面電勢低的電勢差，導(dǎo)體內(nèi)部出現(xiàn)電場，電場方向由A指向A’，以后運(yùn)動的電子將同時(shí)受洛倫茲力 和電場力 作用，隨著表面電荷聚集，電場強(qiáng)度增加， 也增加，最終會使運(yùn)動的電子達(dá)到受力平衡（ ）而勻速運(yùn)動，此時(shí)導(dǎo)體上下兩表面間就出現(xiàn)穩(wěn)定的電勢差。
（3）．霍爾效應(yīng)中的結(jié)論。
設(shè)導(dǎo)體板厚度為h(y軸方向)、寬度為d、通入的電流為I，勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)體中單位體積內(nèi)自由電子數(shù)為n，電子的電量為e，定向移動速度大小為v，上下表面間的電勢差為U；
①由 ①。
②實(shí)驗(yàn)研究表明，U、I、B的關(guān)系還可表達(dá)為 ②，k為霍爾系數(shù)。又由電流的微觀表達(dá)式有： ③。聯(lián)立①②③式可得 。由此可通過霍爾系數(shù)的測定來確定導(dǎo)體內(nèi)部單位體積內(nèi)自由電子數(shù)。
③考察兩表面間的電勢差 ，相當(dāng)于長度為h的直導(dǎo)體垂直勻強(qiáng)磁場B以速度v切割磁感線所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢
【要點(diǎn)名師透析】
一、帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動分析
1.帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的分析方法
(1)弄清復(fù)合場的組成.如磁場、電場的復(fù)合,磁場、重力場的復(fù)合,磁場、電場、重力場三者的復(fù)合等.
(2)正確受力分析,除重力、彈力、摩擦力外要特別注意靜電力和磁場力的分析.
(3)確定帶電粒子的運(yùn)動狀態(tài),注意運(yùn)動情況和受力情況的結(jié)合.
(4)對于粒子連續(xù)通過幾個(gè)不同種類的場時(shí),要分階段進(jìn)行處理.
(5)畫出粒子運(yùn)動軌跡,靈活選擇不同的運(yùn)動規(guī)律.
①當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中做勻速直線運(yùn)動時(shí),根據(jù)受力平衡列方程求解.
②當(dāng)帶電粒子在復(fù)合場中做勻速圓周運(yùn)動時(shí),應(yīng)用牛頓定律結(jié)合圓周運(yùn)動規(guī)律求解.
③當(dāng)帶電粒子做復(fù)雜曲線運(yùn)動時(shí),一般用動能定理或能量守恒定律求解.
④對于臨界問題,注意挖掘隱含條件.
2.復(fù)合場中粒子重力是否考慮的三種情況
(1)對于微觀粒子，如電子、質(zhì)子、離子等，因?yàn)槠渲亓σ话闱闆r下與電場力或磁場力相比太小，可以忽略；而對于一些實(shí)際物體，如帶電小球、液滴、金屬塊等一般應(yīng)當(dāng)考慮其重力.
(2)在題目中有明確說明是否要考慮重力的，這種情況按題目要求處理比較正規(guī)，也比較簡單.
(3)不能直接判斷是否要考慮重力的，在進(jìn)行受力分析與運(yùn)動分析時(shí)，要結(jié)合運(yùn)動狀態(tài)確定是否要考慮重力.
【例1】(16分)如圖所示, 在水平地面上方有一范圍足夠大的互相正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場區(qū)域.磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直紙面向里.一質(zhì)量為m、帶電荷量為q的帶正電微粒在此區(qū)域內(nèi)沿豎直平面(垂直于磁場方向的平面)做速度大小為v的勻速圓周運(yùn)動,重力加速度為g.
(1)求此區(qū)域內(nèi)電場強(qiáng)度的大小和方向.
(2)若某時(shí)刻微粒在場中運(yùn)動到P點(diǎn)時(shí),速度與水平方向的夾角為60°,且已知P點(diǎn)與水平地面間的距離等于其做圓周運(yùn)動的半徑.求該微粒運(yùn)動到最高點(diǎn)時(shí)與水平地面間的距離.
(3)當(dāng)帶電微粒運(yùn)動至最高點(diǎn)時(shí),將電場強(qiáng)度的大小變?yōu)樵瓉淼?(方向不變,且不計(jì)電場變化對原磁場的影響),且?guī)щ娢⒘Ｄ苈渲恋孛?求帶電微粒落至地面時(shí)的速度大小.
【詳解】(1)由于帶電微�？梢栽陔妶觥⒋艌龊椭亓�場共存的區(qū)域內(nèi)沿豎直平面做勻速圓周運(yùn)動,表明帶電微粒所受的電場力和重力大小相等、方向相反,因此電場強(qiáng)度的方向豎直向上. (1分)
設(shè)電場強(qiáng)度為E,則有mg=qE (2分)
即 (1分)
(2)設(shè)帶電微粒做勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為R,根據(jù)牛頓第二定律和洛倫茲力公式有 (1分)解得 (1分)
依題意可畫出帶電微粒做勻速圓周運(yùn)動的軌跡如圖所示,由幾何關(guān)系可知,該微粒運(yùn)動至最高點(diǎn)時(shí)與水平地面間的距離 (4分)
(3)將電場強(qiáng)度的大小變?yōu)樵瓉淼?則電場力F電= 帶電微粒運(yùn)動過程中,洛倫茲力不做功,所以在它從最高點(diǎn)運(yùn)動至地面的過程中,只有重力和電場力做功,設(shè)帶電微粒落地時(shí)的速度大小為v1,根據(jù)動能定理有 (4分) 解得：
二、帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的分類
1.帶電粒子在復(fù)合場中無約束情況下的運(yùn)動
(1)磁場力、重力并存
①若重力和洛倫茲力平衡，則帶電體做勻速直線運(yùn)動.
②若重力和洛倫茲力不平衡，則帶電體將做復(fù)雜的曲線運(yùn)動，因F洛不做功，故機(jī)械能守恒，由此可求解問題.
(2)電場力、磁場力并存(不計(jì)重力的微觀粒子)
①若電場力和洛倫茲力平衡，則帶電體做勻速直線運(yùn)動.
②若電場力和洛倫茲力不平衡，則帶電體做復(fù)雜的曲線運(yùn)動，因F洛不做功，可用動能定理求解問題.
(3)電場力、磁場力、重力并存
①若三力平衡，一定做勻速直線運(yùn)動.
②若重力與電場力平衡，一定做勻速圓周運(yùn)動.
③若合力不為零且與速度方向不垂直，做復(fù)雜的曲線運(yùn)動，因F洛不做功，可用能量守恒或動能定理求解問題.
2.帶電粒子在復(fù)合場中有約束情況下的運(yùn)動
帶電體在復(fù)合場中受輕桿、輕繩、圓環(huán)、軌道等約束的情況下，常見的運(yùn)動形式有直線運(yùn)動和圓周運(yùn)動，此時(shí)解題要通過受力分析明確變力、恒力做功情況，并注意洛倫茲力不做功的特點(diǎn)，運(yùn)用動能定理、能量守恒定律結(jié)合牛頓運(yùn)動定律求出結(jié)果.
3.帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動的臨界值問題
由于帶電粒子在復(fù)合場中受力情況復(fù)雜、運(yùn)動情況多變，往往出現(xiàn)臨界問題，這時(shí)應(yīng)以題目中的“最大”、“最高”、“至少”等詞語為突破口，挖掘隱含條件，根據(jù)臨界條件列出輔助方程，再與其他方程聯(lián)立求解.
【例2】(14分)如圖所示,足夠長的光滑絕緣斜面與水平面的夾角為α(sinα=0.6)，放在勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中，電場強(qiáng)度E=50 V/m，方向水平向左，磁場方向垂直紙面向外.一個(gè)電荷量為q=4×10-2C，質(zhì)量m=0.40 kg的光滑小球，以初速度v0=20 m/s從斜面底端向上滑，然后又下滑，共經(jīng)過3 s脫離斜面，求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度.(g取10 m/s2)
【詳解】小球沿斜面向上運(yùn)動過程中受力分析如圖所示，由牛頓第二定律，得
qEcosα+mgsinα=ma1， (3分)故 (1分)
代入數(shù)據(jù)得a1=10 m/s2， (1分)
上行時(shí)間 (1分)
小球沿斜面下滑過程中受力分析如圖所示，小球在離開斜面前做勻加速直線運(yùn)動，a2=10 m/s2 (1分)
運(yùn)動時(shí)間t2=1 s (1分)
脫離斜面時(shí)的速度v=a2t2=10 m/s (1分)
在垂直斜面方向上小球脫離斜面受力條件有： qvB+qEsinα=mgcosα， (3分)
故 (2分)
【感悟高考真題】
1.（2011?新課標(biāo)全國卷?T25）如圖，在區(qū)域I（0≤x≤d）和區(qū)域II（d≤x≤2d）內(nèi)分別存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別為B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一質(zhì)量為m、帶電荷量q（q＞0）的粒子a于某時(shí)刻從y軸上的P點(diǎn)射入?yún)^(qū)域I，其速度方向沿x軸正向。已知a在離開區(qū)域I時(shí)，速度方向與x軸正方向的夾角為30°；此時(shí)，另一質(zhì)量和電荷量均與a相同的粒子b也從p點(diǎn)沿x軸正向射入?yún)^(qū)域I，其速度大小是a的1/3。不計(jì)重力和兩粒子之間的相互作用力。求
（1）粒子a射入?yún)^(qū)域I時(shí)速度的大小；
（2）當(dāng)a離開區(qū)域II時(shí)，a、b兩粒子的y坐標(biāo)之差。
【詳解】（1）設(shè)粒子a在I內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動的圓心為C（在y軸上），半徑為Ra1，粒子速率為va,運(yùn)動軌跡與兩磁場區(qū)域邊界的交點(diǎn)為P′，如圖，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有，
qvaB=mva2Ra1 ①
由幾何關(guān)系有∠PCP′=θ ②
Ra1=dsinθ ③
式中θ=30°，由上面三式可得
va=2dqBm ④
（2）設(shè)粒子a在II內(nèi)做圓周運(yùn)動的圓心為Oa，半徑為Ra2，射出點(diǎn)為Pa（圖中未畫出軌跡），
∠P′OaPa=θ′，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有，
q va（2B）=mva2Ra2 ⑤
由①⑤式得Ra2=Ra12 ⑥
C、P′、Oa三點(diǎn)共線，且由⑥式知Oa點(diǎn)必位于
x=32 d ⑦
的平面上，由對稱性知，Pa點(diǎn)與P′的縱坐標(biāo)相同，即
yPa=Ra1cosθ＋h ⑧
式中，h是C點(diǎn)的縱坐標(biāo)。
設(shè)b在I中運(yùn)動的軌道半徑為Rb1，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有，
q（va3 ）B= m Rb1 （va3 ）2 ⑨
設(shè)a到達(dá)Pa點(diǎn)時(shí)，b位于Pb點(diǎn)，轉(zhuǎn)過的角度為α，如果b沒有飛出I，則
tTa2 =θ′2π ⑩
tTb1 =α2π ⑾
式中，t是a在區(qū)域II中運(yùn)動的時(shí)間，而
Ta2=2πRa2va ⑿
Tb1=2πRb1va/3 ⒀
由⑤⑨⑩⑾⑿⒀式得
α=30° ⒁
由①③⑨⒁式可見，b沒有飛出I。Pb點(diǎn)的y坐標(biāo)為
yP2=Rb1（2+cosα）+h ⒂
由①③⑧⑨⒁⒂式及題給條件得，a、b兩粒子的y坐標(biāo)差為
yP2－yPa=23 （3 －2）d
2.（2011?安徽高考?T23）如圖所示，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)，有相互垂直的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場方向垂直于xOy平面向里。一帶正電的粒子（不計(jì)重力）從O點(diǎn)沿y軸正方向以某一速度射入，帶電粒子恰好做勻速直線運(yùn)動，經(jīng) 時(shí)間從p點(diǎn)射出。
（1）求電場強(qiáng)度的大小和方向。
（2）若僅撤去磁場，帶電粒子仍從O點(diǎn)以相同的速度射
入，經(jīng) 時(shí)間恰從半圓形區(qū)域的邊界射出。求粒子運(yùn)動加
速度的大小。
（3）若僅撤去電場，帶電粒子仍從O點(diǎn)射入，且速度為
原來的4倍，求粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間。
【答案】(1) (2) (3)
【詳解】（1）設(shè)帶電粒子質(zhì)量為m，電荷量為q，初速度為v,電場強(qiáng)度為E，可判斷出粒子受到的洛倫茲力沿x軸負(fù)方向，由于粒子的重力不計(jì)且粒子受力平衡，故粒子受到的電場力和洛倫茲力大小相等方向相反，電場強(qiáng)度沿沿x軸正方向， ①
② 得
（2）僅有電場時(shí)，帶電粒子在勻強(qiáng)電場中作類平拋運(yùn)動在y方向作勻速直線運(yùn)動，位移為 ③
由②③式得 ，設(shè)在水平方向位移為x，因射出位置在半圓線邊界上，于是 ,又因?yàn)榱Ｗ釉谒�平方向上做勻速直線運(yùn)動，則 ④
得 ⑤
（3）僅有磁場時(shí)入射速度 ，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中作勻速圓周運(yùn)動，設(shè)軌道半徑為 ，由牛頓第二定律有 ⑥，
又有 ⑦，
由②⑤⑥⑦得


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