數(shù)學(xué)（理）試卷
一、：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1．設(shè)非空集合P、Q滿足 ，則（ ）
A． B． ，有
C． ，使得 D． ，使得
2．已知 ，其中 是實數(shù)， 是虛數(shù)單位，則 的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
3．設(shè)隨機變量 服從正態(tài)分布N (3，7)，若 ，則a =（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知集合 ， ，且 ，則
A． B． C． D．
5．已知某幾何體的三視圖如下，則該幾何體體積為（ ）
正視圖 側(cè)視圖
俯視圖
（第5題圖） （第6題圖）
A．4+ B．4+ C．4+ D．4+
6．如右上圖，已知 為如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果，二項式 的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為 ( )
A． B． C． D．
7．先后擲骰子（骰子的六個面上分別標有1、2、3、4、5、6個點）兩次，落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為x，y，設(shè)事件 為“x +y為偶數(shù)”， 事件 為“x ，y中有偶數(shù)且“ ”，則概率 （ ）
A． B． C． D．
8．正項等比數(shù)列 中，存在兩項 使得 ，且 ，則 的
最小值是( )
A． B．2 C． D．
9．設(shè) 滿足約束條件 ，若 恒成立，則實數(shù) 的最大值為( )
A． B． C． D．
10．已知函數(shù) 是偶函數(shù)，且 ，當 時， ，則方程 在區(qū)間 上的解的個數(shù)是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題 分，共 分．請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上，書寫不清楚，模棱兩可均不得分．
11．一個學(xué)校高三年級共有學(xué)生600人，其中男生有360人，女生有240人，為了調(diào)查高三學(xué)生的復(fù)習狀況，用分層抽樣的方法從全體高三學(xué)生中抽取一個容量為50的樣本，應(yīng)抽取女生 人．
12．已知函數(shù) ( )的圖象如下圖所示，它與x軸在原點處相切，且x軸與函數(shù)圖象所圍區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為112，則a的值為 ．
13．某小朋友按如右圖所示的規(guī)則練習數(shù)數(shù)，1大拇指，2食指，
3中指，4無名指，5小指，6無名指， ，一直數(shù)到2013時，
對應(yīng)的指頭是 (填指頭的名稱)．
14．設(shè) 是橢圓 的兩個焦點， 為橢圓上任意一點，當
取最大值時的余弦值為 ．則（Ⅰ）橢圓的離心率為 ；
（Ⅱ）若橢圓上存在一點 ,使 ( 為坐標原點)，且 ,則 的值為 ．
（二）選考題（請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑．如果全選，則按第15題作答結(jié)果給分．）
15．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖,在△ABC中,AB＝AC, 72° ,⊙O過A、B兩點且與BC相切
于點B,與AC交于點D,連結(jié)BD,若BC＝ ,則 ．
16．（選修4-4：坐標系與參數(shù)方程）
已知曲線 的極坐標方程分別為 ，
，則曲線 與 交點的極坐標為 ．
三、解答題：本大題共6小題，共 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（本題滿分12分）設(shè)角 是 的三個內(nèi)角,已知向量 ， ,且 .
(Ⅰ)求角 的大��；
(Ⅱ)若向量 ,試求 的取值范圍.
18．（本題滿分12分）某校要用三輛校車從新校區(qū)把教師接到老校區(qū)，已知從新校區(qū)到老校區(qū)有兩條公路，校車走公路①堵車的概率為 ，不堵車的概率為 ；校車走公路②堵車的概率為 ，不堵車的概率為 ．若甲、乙兩輛校車走公路①，丙校車由于其他原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響．
（Ⅰ）若三輛校車中恰有一輛校車被堵的概率為 ，求走公路②堵車的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求三輛校車中被堵車輛的個數(shù) 的分布列和數(shù)學(xué)期望．學(xué)
19．（本題滿分12分）如圖， 為矩形， 為梯形，平面 平面 ，
， .
（Ⅰ）若 為 中點，求證： ∥平面 ；
（Ⅱ）求平面 與 所成銳二面角的大�。�
20．（本題滿分12分）已知正項數(shù)列{an} 的前 項和 ， ．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）定理：若函數(shù) 在區(qū)間D上是下凸函數(shù)，且 存在，則當
時，總有 ．請根據(jù)上述定理，且已知函數(shù) 是
上的下凸函數(shù)，證明：bn ≥ 32 ．
21．（本題滿分13分）拋物線 : 上一點 到拋物線 的焦點的距離為 ， 為拋物線的四個不同的點，其中 、 關(guān)于y軸對稱， ， ， ， ，直線 平行于拋物線 的以 為切點的切線．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）證明： ；
（Ⅲ） 到直線 、 的距離分別為 、 ，且 ， 的面積為48，求直線 的方程．
22．（本題滿分14分）已知函數(shù) 在 處的切線的斜率為1．
（ 為無理數(shù)， ）
（Ⅰ）求 的值及 的最小值；
（Ⅱ）當 時， ，求 的取值范圍；
（Ⅲ）求證： ．（參考數(shù)據(jù)： ）
數(shù)學(xué)（理）試卷答案及解析
選擇：BDCBA BBACB
11．20 12． 13．小指 14． ， 15．2 16．
1．【解析】 故選B．
2．【解析】 故選D．
3．【解析】由題意知對稱軸為 ，故選C．
4．【解析】 故選B．
5．【解析】該幾何體是一個圓柱與一個長方體的組成，其中重疊了一部分 ，所以該幾何體的體積為 ．故選A．
6．【解析】由程序框圖得 ，通項公式 ， 的最小值為為5． 故選B．
7．【解析】 故選B．
8．【解析】 ， ，解得 ，
由 得 ，
（當 取等），故選A．
9．【解析】作出可行域，由 恒成立知
令 ，由圖可知，當直線 與橢圓 相切時， 最小，消 得： 得 ∴ ．故選C．
10．【解析】由題意可得 ， 函數(shù)的周期是4， 可將問題轉(zhuǎn)化為
與 在區(qū)間 有幾個交點． 如圖：由圖知，有9個交點．選B．
11．【解析】 ．
12．【解析】 ， ，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．∴S陰影＝ [0－(－x3＋ax2)]dx＝(14x4－13ax3)0a＝112a4＝112，∴a＝ ．
13．【解析】∵小指對的數(shù)是5+8n，又∵2013=251×8+5，∴數(shù)到2013時對應(yīng)的指頭是小指．
14．【解析】設(shè) 分別為橢圓的長軸長，虛軸長，（Ⅰ）當點 位于短軸端點時， 最大， 得 或設(shè)
， ；
（Ⅱ）取 中點 ，由 得
設(shè) 得，
，
15．【解析】由已知得 ， ，解得 ．
16．【解析】由 解得 ，即兩曲線的交點為 ．
17．【解答】(Ⅰ)由題意得 ，
即 ，由正弦定理得 ，
再由余弦定理得 ， .
(Ⅱ) ，
，
，
，
所以 ，故 .
18．【解答】（Ⅰ）由已知條件得 ， 即 ，則 ．
（Ⅱ）解： 可能的取值為0，1，2，3．
； ；
；
的分布列為：
0123
所以 ．
19．【解答】（Ⅰ）證明：連結(jié) ，交 與 ，連結(jié) ，
在 中， 分別為兩腰 的中點， ∴ ，
面 ，又 面 ， 平面 ，
（Ⅱ）解法一：設(shè)平面 與 所成銳二面角的大小為 ，以 為空間坐標系的原點，分別以 所在直線為 軸建立空間直角坐標系，則
設(shè)平面 的單位法向量為 ，則可設(shè)
設(shè)面 的法向量 ，應(yīng)有
，
即： ，
解得： ，所以 ，
∴ ，所以平面 與 所成銳二面角為60°.
解法二：延長CB、DA相交于G，連接PG，過點D作DH⊥PG ，垂足為H，連結(jié)HC ，
∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG，又CD∩DH=D，
∴PG⊥平面CDH，從而PG⊥HC，
∴∠DHC為平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的平面角，
在 △ 中， ， ，
可以計算 ，
在 △ 中， ，
所以平面 與 所成銳二面角為60°.
20．【解答】（Ⅰ）當 時， 或 ．
由于{an} 是正項數(shù)列，所以 ．
當 時， ，
整理，得 ．
由于{an}是正項數(shù)列，∴ ．
∴數(shù)列{an}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
從而 ，當 時也滿足．∴ ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 又 是 上的下凸函數(shù)，
根據(jù)定理，得 ，
令 ，整理得 ，
， ．
21．【解答】（Ⅰ） QF=3=2+ ， =2．
（Ⅱ） 拋物線方程為 ，A( )， D( )， B( ) ，C( )，
， ， ，
，， ，
，
所以直線AC和直線AB的傾斜角互補， ．
（Ⅲ）設(shè) ，則m=n=ADsin ，
，
即 ，
把 與拋物線方程 聯(lián)立得： ，
， ，同理可得 ，
，
， ．
22．【解答】（Ⅰ） ，由已知，得 ∴a＝1．
此時 ， ，
∴當 時， ；當 時， ．
∴當x＝0時，f(x)取得極小值，該極小值即為最小值，∴f(x)min＝f(0)＝0．
（Ⅱ）記 ， ,
設(shè)
①當 時， ， ，
， ， 時滿足題意；
②當 時， ，得 ,
當 ， ， 在此區(qū)間上是減函數(shù)， ,
∴ 在此區(qū)間上遞減， 不合題意.
綜合得 的取值范圍為 .
法二：當 時， ，即 ．
①當 時， ；②當 時， 等價于 ．
記 ， ，則 ．
記 ，則 ，
當 時， ， 在 上單調(diào)遞增，
且 ， 在 上單調(diào)遞增，且 ，
當 時， ，從而 在 上單調(diào)遞增．
由洛必達法則有， ．
即當 時， ，所以當 時，所以 ，因此 ．
的取值范圍為 .
（Ⅲ）記 ， ，令 解得 ，
當 時函數(shù) 有最大值，且最大值為 ， ，
,
，
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/76810.html
相關(guān)閱讀：