一、基礎(chǔ)知識(shí)
定義1 既有大小又有方向的量，稱為向量。畫(huà)圖時(shí)用有向線段來(lái)表示，線段的長(zhǎng)度表示向量的模。向量的符號(hào)用兩個(gè)大寫(xiě)字母上面加箭頭，或一個(gè)小寫(xiě)字母上面加箭頭表示。書(shū)中用黑體表示向量，如a. a表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量。
定義2 方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個(gè)非零向量平行和結(jié)合律。
定理1 向量的運(yùn)算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足交換律和結(jié)合律。
定理2 非零向量a, b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù) 0，使得a= f
定理3 平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a, b不共線，則對(duì)同一平面內(nèi)任意向是c，存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x, y，使得c=xa+yb，其中a, b稱為一組基底。
定義3 向量的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i, j作為基底，任取一個(gè)向量c，由定理3可知存在唯一一組實(shí)數(shù)x, y，使得c=xi+yi，則（x, y）叫做c坐標(biāo)。
定義4 向量的數(shù)量積，若非零向量a, b的夾角為 ，則a, b的數(shù)量積記作a?b=a?bcos =a?bcos
定理4 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，
1．a(chǎn)+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，
2．λa=(λx1, λy1), a?(b+c)=a?b+a?c，
3．a(chǎn)?b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= (a, b 0),
4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.
定義5 若點(diǎn)P是直線P1P2上異于p1，p2的一點(diǎn)，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使 ，λ叫P分 所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則 。由此可得若P1，P，P2的坐標(biāo)分別為(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，則
定義6 設(shè)F是坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)圖形，將F上所有的點(diǎn)按照向量a=(h, k)的方向，平移a= 個(gè)單位得到圖形 ，這一過(guò)程叫做平移。設(shè)p(x, y)是F上任意一點(diǎn)，平移到 上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ，則 稱為平移公式。
定理5 對(duì)于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), a?b≤a?b，并且a+b≤a+b.
【證明】 因?yàn)閍2?b2-a?b2= -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又a?b≥0, a?b≥0，
所以a?b≥a?b.
由向量的三角形法則及直線段最短定理可得a+b≤a+b.
注：本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1）對(duì)n維向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同樣有a?b≤a?b，化簡(jiǎn)即為柯西不等式： (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又a?b≥0, a?b≥0，
所以a?b≥a?b.
由向量的三角形法則及直線段最短定理可得a+b≤a+b.
注：本定理的兩個(gè)結(jié)論均可推廣。1）對(duì)n維向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同樣有a?b≤a?b，化簡(jiǎn)即為柯西不等式： (x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）對(duì)于任意n個(gè)向量，a1, a2, …,an，有 a1, a2, …,an≤ a1+a2+…+an。
二、方向與例題
1．向量定義和運(yùn)算法則的運(yùn)用。
例1 設(shè)O是正n邊形A1A2…An的中心，求證：
【證明】 記 ，若 ，則將正n邊形繞中心O旋轉(zhuǎn) 后與原正n邊形重合，所以 不變，這不可能，所以
例2 給定△ABC，求證：G是△ABC重心的充要條件是
【證明】必要性。如圖所示，設(shè)各邊中點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，延長(zhǎng)AD至P，使DP=GD，則
又因?yàn)锽C與GP互相平分，
所以BPCG為平行四邊形，所以BG PC，所以
所以
充分性。若 ，延長(zhǎng)AG交BC于D，使GP=AG，連結(jié)CP，則 因?yàn)?，則 ，所以GB CP，所以AG平分BC。
同理BG平分CA。
所以G為重心。
例3 在凸四邊形ABCD中，P和Q分別為對(duì)角線BD和AC的中點(diǎn)，求證：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【證明】 如圖所示，結(jié)結(jié)BQ，QD。
因?yàn)?，
所以
= ?
= ①
又因?yàn)?
同理 ， ②
， ③
由①，②，③可得
。得證。
2．證利用定理2證明共線。
例4 △ABC外心為O，垂心為H，重心為G。求證：O，G，H為共線，且OG：GH=1：2。
【證明】 首先
=
其次設(shè)BO交外接圓于另一點(diǎn)E，則連結(jié)CE后得CE
又AH BC，所以AH//CE。
又EA AB，CH AB，所以AHCE為平行四邊形。
所以
所以 ，
所以 ，
所以 與 共線，所以O(shè)，G，H共線。
所以O(shè)G：GH=1：2。
3．利用數(shù)量積證明垂直。
例5 給定非零向量a, b. 求證：a+b=a-b的充要條件是a b.
【證明】a+b=a-b (a+b)2=(a-b)2 a2+2a?b+b2=a2-2a?b+b2 a?b=0 a b.
例6 已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為AB中點(diǎn)，E為△ACD重心。求證：OE CD。
【證明】 設(shè) ，
則 ，
又 ，
所以
a?(b-c). （因?yàn)閍2=b2=c2=OH2）
又因?yàn)锳B=AC，OB=OC，所以O(shè)A為BC的中垂線。
所以a?(b-c)=0. 所以O(shè)E CD。
4．向量的坐標(biāo)運(yùn)算。
例7 已知四邊形ABCD是正方形，BE//AC，AC=CE，EC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AF=AE。
【證明】 如圖所示，以CD所在的直線為x軸，以C為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則A，B坐標(biāo)分別為（-1，1）和（0，1），設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x, y），則 =(x, y-1), ，因?yàn)?，所以-x-(y-1)=0.
又因?yàn)?，所以x2+y2=2.
由①，②解得
所以
設(shè) ，則 。由 和 共線得
所以 ，即F ，
所以 =4+ ，所以AF=AE。
三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．以下命題中正確的是__________. ①a=b的充要條件是a=b，且a//b；②(a?b)?c=(a?c)?b；③若a?b=a?c，則b=c；④若a, b不共線，則xa+yb=ma+nb的充要條件是x=m, y=n；⑤若 ，且a, b共線，則A，B，C，D共線；⑥a=(8, 1)在b=(-3, 4)上的投影為-4。
2．已知正六邊形ABCDEF，在下列表達(dá)式中：① ；② ；③ ；④ 與 ，相等的有__________.
3．已知a=y-x, b=2x-y, a=b=1, a?b=0，則x+y=__________.
4．設(shè)s, t為非零實(shí)數(shù)，a, b為單位向量，若sa+tb=ta-sb，則a和b的夾角為_(kāi)_________.
5．已知a, b不共線， =a+kb, =la+b，則“kl-1=0”是“M，N，P共線”的__________條件.
6．在△ABC中，M是AC中點(diǎn)，N是AB的三等分點(diǎn)，且 ，BM與CN交于D，若 ，則λ=__________.
7．已知 不共線，點(diǎn)C分 所成的比為2， ，則 __________.
8．已知 =b, a?b=a-b=2，當(dāng)△AOB面積最大時(shí)，a與b的夾角為_(kāi)_________.
9．把函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象按向量a平移后得到y(tǒng)=2x2的圖象，c=(1, -1), 若 ，c?b=4，則b的坐標(biāo)為_(kāi)_________.
10．將向量a=(2, 1)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 得到向量b，則b的坐標(biāo)為_(kāi)_________.
11．在Rt△BAC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，試問(wèn) 與 的夾角 取何值時(shí) 的值最大？并求出這個(gè)最大值。
12．在四邊形ABCD中， ，如果a?b=b?c=c?d=d?a，試判斷四邊形ABCD的形狀。
四、高考水平訓(xùn)練題
1．點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是此平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的________心。
2．在△ABC中， ，且a?b<0，則△ABC的形狀是__________.
3．非零向量 ，若點(diǎn)B關(guān)于 所在直線對(duì)稱的點(diǎn)為B1，則 =__________.
4．若O為△ABC 的內(nèi)心，且 ，則△ABC 的形狀為_(kāi)_________.
5．設(shè)O點(diǎn)在△ABC 內(nèi)部，且 ，則△AOB與△AOC的面積比為_(kāi)_________.
6．P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若 ，則P是△ABC 的__________心.
7．已知 ，則 的取值范圍是__________.
8．已知a=(2, 1), b=(λ, 1)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是__________.
9．在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=2，則 的最小值為_(kāi)_________.
10．已知集合M={aa=(1, 2)+ λ(3, 4), λ∈R}，集合N={aa=(-2, -2)+ λ(4, 5), λ∈R},mj M N=__________.
11．設(shè)G為△ABO的重心，過(guò)G的直線與邊OA和OB分別交于P和Q，已知 ，△OAB與△OPQ的面積分別為S和T，
（1）求y=f(x)的解析式及定義域；（2）求 的取值范圍。
12．已知兩點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），有一點(diǎn)P使得 成公差小于零的等差數(shù)列。
（1）試問(wèn)點(diǎn)P的軌跡是什么？（2）若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0, y0), 為 與 的夾角，求tan .
五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題
1．在直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為（1，0），（0，2），當(dāng)實(shí)數(shù)p, q滿足 時(shí)，若點(diǎn)C，D分別在x軸，y軸上，且 ，則直線CD恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________.
2．p為△ABC內(nèi)心，角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a, b, c. O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)， 則 =___________（用a, b, c, x, y, z表示）.
3．已知平面上三個(gè)向量a, b, c均為單位向量，且兩兩的夾角均為1200，若ka+b+c>1(k∈R)，則k的取值范圍是___________.
4．平面內(nèi)四點(diǎn)A，B，C，D滿足 ，則 的取值有___________個(gè).
5．已知A1A2A3A4A5是半徑為r的⊙O內(nèi)接正五邊形，P為⊙O上任意一點(diǎn)，則 取值的集合是___________.
6．O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，A，B，C為△ABC 的角，若sinA? +sinB? +sinC? ，則點(diǎn)O為△ABC 的___________心.
7．對(duì)于非零向量a, b, “a=b”是“(a+b) (a-b)”的___________條件.
8．在△ABC 中， ，又(c?b)：(b?a)：(a?c)=1：2：3，則△ABC 三邊長(zhǎng)之比a：b：c=____________.
9．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且 ，CP交AB于D，求證：
10．已知△ABC的垂心為H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分別為O1，O2，O3，令 ，求證：（1）2p=b+c-a；（2）H為△O1O2O3的外心。
11．設(shè)坐標(biāo)平面上全部向量的集合為V，a=(a1, a2)為V中的一個(gè)單位向量，已知從V到 的變換T，由T(x)=-x+2(x?a)a(x∈V)確定，
（1）對(duì)于V的任意兩個(gè)向量x, y, 求證：T(x)?T(y)=x?y；
（2）對(duì)于V的任意向量x，計(jì)算T[T(x)]-x；
（3）設(shè)u=(1, 0)； ，若 ，求a.
六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題
1．已知A，B為兩條定直線AX，BY上的定點(diǎn)，P和R為射線AX上兩點(diǎn)，Q和S為射線BY上的兩點(diǎn)， 為定比，M，N，T分別為線段AB，PQ，RS上的點(diǎn)， 為另一定比，試問(wèn)M，N，T三點(diǎn)的位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。
2．已知AC，CE是正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，點(diǎn)M，N分別內(nèi)分AC，CE，使得AM：AC=CN：CE=r，如果B，M，N三點(diǎn)共線，求r.
3．在矩形ABCD的外接圓的弧AB上取一個(gè)不同于頂點(diǎn)A，B的點(diǎn)M，點(diǎn)P，Q，R，S是M分別在直線AD，AB，BC，CD上的射影，求證：直線PQ與RS互相垂直。
4．在△ABC內(nèi)，設(shè)D及E是BC的三等分點(diǎn)，D在B和F之間，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，G是AB的中點(diǎn)，又設(shè)H是線段EG和DF的交點(diǎn)，求比值EH：HG。
5．是否存在四個(gè)平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個(gè)向量之和均與其余兩個(gè)向量之和垂直？
6．已知點(diǎn)O在凸多邊形A1A2…An內(nèi)，考慮所有的 AiOAj，這里的i, j為1至n中不同的自然數(shù)，求證：其中至少有n-1個(gè)不是銳角。
7．如圖，在△ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M，F(xiàn)D和AC交于點(diǎn)N，求證：（1）OB DF，OC DE，（2）OH MN。
8．平面上兩個(gè)正三角形△A1B1C1和△A2B2C2，字母排列順序一致，過(guò)平面上一點(diǎn)O作 ，求證△ABC為正三角形。
9．在平面上給出和為 的向量a, b, c, d，任何兩個(gè)不共線，求證：
a+b+c+d≥a+d+b+d+c+d.
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/77200.html
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