第6課 二次函數(shù)
【考點導讀】
1.理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)；
2.能結(jié)合二次函數(shù)的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系．
【基礎(chǔ)練習】
1.已知二次函數(shù) ,則其圖像的開口向__上__；對稱軸方程為 ；頂點坐標為 ，與 軸的交點坐標為 ，最小值為 ．
2.二次函數(shù) 的圖像的對稱軸為 ,則 __－2___，頂點坐標為 ，遞增區(qū)間為 ，遞減區(qū)間為 ．
3.函數(shù) 的零點為 ．
4.實系數(shù)方程 兩實根異號的充要條件為 ；有兩正根的充要條件為 ；有兩負根的充要條件為 ．
5.已知函數(shù) 在區(qū)間 上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是__________．
【范例解析】
例1.設 為實數(shù)，函數(shù) ， ．
（1）討論 的奇偶性；
（2）若 時，求 的最小值．
分析：去絕對值．
解：（1）當 時，函數(shù)
此時， 為偶函數(shù)．
當 時， ， ，
， ．
此時 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（2）
由于 在 上的最小值為 ，在 內(nèi)的最小值為 ．
故函數(shù) 在 內(nèi)的最小值為 ．
點評：注意分類討論；分段函數(shù)求最值，先求每個區(qū)間上的函數(shù)最值，再確定最值中的最值．
例2.函數(shù) 在區(qū)間 的最大值記為 ，求 的表達式．
分析：二次函數(shù)在給定區(qū)間上求最值，重點研究其在所給區(qū)間上的單調(diào)性情況．
解：∵直線 是拋物線 的對稱軸，∴可分以下幾種情況進行討論：
（1）當 時，函數(shù) ， 的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由 知 在 上單調(diào)遞增，故 ；
（2）當 時， ， ，有 =2；
（3）當 時，，函數(shù) ， 的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若 即 時， ，
若 即 時， ，
若 即 時， ．
綜上所述，有 = ．
點評：解答本題應注意兩點：一是對 時不能遺漏；二是對 時的分類討論中應同時考察拋物線的開口方向，對稱軸的位置及 在區(qū)間 上的單調(diào)性．
【反饋演練】
1．函數(shù) 是單調(diào)函數(shù)的充要條件是 ．
2．已知二次函數(shù)的圖像頂點為 ，且圖像在 軸上截得的線段長為8，則此二次函數(shù)的解析式為 ．
3. 設 ，二次函數(shù) 的圖象為下列四圖之一：
則a的值為 （ B ）
A．1B．－1C． D．
4．若不等式 對于一切 成立，則a的取值范圍是 ．
5.若關(guān)于x的方程 在 有解，則實數(shù)m的取值范圍是 ．
6.已知函數(shù) 在 有最小值，記作 ．
（1）求 的表達式；
（2）求 的最大值．
解：（1）由 知對稱軸方程為 ，
當 時，即 時， ；
當 ，即 時， ；
當 ，即 時， ；
綜上， ．
（2）當 時， ；當 時， ；當 時， ．故當 時， 的最大值為3．
7. 分別根據(jù)下列條件,求實數(shù)a的值：
（1）函數(shù) 在在 上有最大值2；
（2）函數(shù) 在在 上有最大值4．
解：（1）當 時， ，令 ，則 ；
當 時， ，令 ， （舍）；
當 時， ，即 ．
綜上，可得 或 ．
（2）當 時， ，即 ，則 ；
當 時， ，即 ，則 ．
綜上， 或 ．
8. 已知函數(shù) ．
（1）對任意 ，比較 與 的大��；
（2）若 時，有 ，求實數(shù)a的取值范圍．
解：（1）對任意 ， ，
故 ．
（2）又 ，得 ，即 ，
得 ，解得 ．
第7課 指數(shù)式與對數(shù)式
【考點導讀】
1.理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，掌握分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)；
2.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)；
3.能運用指數(shù)，對數(shù)的運算性質(zhì)進行化簡，求值，證明，并注意公式成立的前提條件；
4.通過指數(shù)式與對數(shù)式的互化以及不同底的對數(shù)運算化為同底對數(shù)運算．
【基礎(chǔ)練習】
1.寫出下列各式的值：
； ____4____； ；
___0_____； ____1____； __－4__．
2.化簡下列各式：
（1） ；
（2） ．
3.求值：（1） ___－38____；
（2） ____1____；
（3） _____3____．
【范例解析】
例1. 化簡求值：
（1）若 ，求 及 的值；
（2）若 ，求 的值．
分析：先化簡再求值．
解：（1）由 ，得 ，故 ；
又 ， ； ，故 ．
（2）由 得 ；則 ．
點評：解條件求值問題：（1）將已知條件適當變形后使用；（2）先化簡再代入求值．
例2.（1）求值： ；
（2）已知 ， ，求 ．
分析：化為同底．
解：（1）原式= ；
（2）由 ，得 ；所以 ．
點評：在對數(shù)的求值過程中，應注意將對數(shù)化為同底的對數(shù)．
例3. 已知 ，且 ，求c的值．
分析：將a，b都用c表示．
解：由 ，得 ， ；又 ，則 ，
得 ． ， ．
點評：三個方程三個未知數(shù)，消元法求解．
【反饋演練】
1．若 ，則 ．
2．設 ，則 ．
3．已知函數(shù) ，若 ，則 －b．
4．設函數(shù) 若 ，則x0的取值范圍是（－∞，－1）∪（1，+∞）．
5．設已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于 ．
6．若 ， ，則k =__－1__．
7．已知函數(shù) ，且 ．
（1）求實數(shù)c的值；
（2）解不等式 ．
解：（1）因為 ，所以 ，
由 ，即 ， ．
（2）由（1）得：
由 得，當 時，解得 ．
當 時，解得 ，
所以 的解集為 ．
第8課 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
【考點導讀】
1.了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù) ， ， ， ， 的圖像了解它們的變化情況；
2.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
3.在解決實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．
【基礎(chǔ)練習】
1.指數(shù)函數(shù) 是R上的單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
2.把函數(shù) 的圖像分別沿x軸方向向左，沿y軸方向向下平移2個單位，得到 的圖像，則 ．
3.函數(shù) 的定義域為___R__；單調(diào)遞增區(qū)間 ；值域 ．
4.已知函數(shù) 是奇函數(shù)，則實數(shù)a的取值 ．
5.要使 的圖像不經(jīng)過第一象限，則實數(shù)m的取值范圍 ．
6.已知函數(shù) 過定點，則此定點坐標為 ．
【范例解析】
例1.比較各組值的大小：
（1） ， ， ， ；
（2） ， ， ，其中 ；
（3） ， ．
分析：同指不同底利用冪函數(shù)的單調(diào)性，同底不同指利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．
解：（1） ，而 ，
．
（2） 且 ， ．
（3） ．
點評：比較同指不同底可利用冪函數(shù)的單調(diào)性，同底不同指可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；另注意通過0，1等數(shù)進行間接分類．
例2.已知定義域為 的函數(shù) 是奇函數(shù),求 的值；
解：因為 是奇函數(shù)，所以 =0，即
又由f（1）= －f（－1）知
例3.已知函數(shù) ，求證：
（1）函數(shù) 在 上是增函數(shù)；
（2）方程 沒有負根．
分析：注意反證法的運用．
證明：（1）設 ， ，
， ，又 ，所以 ， ， ，則
故函數(shù) 在 上是增函數(shù)．
（2）設存在 ，滿足 ，則 ．又 ，
即 ，與假設 矛盾，故方程 沒有負根．
點評：本題主要考察指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)和方程的內(nèi)在聯(lián)系．
【反饋演練】
1．函數(shù) 對于任意的實數(shù) 都有（ C ）
A． B．
C． D．
2．設 ，則（ A ）
A．－2
A．先向左平行移動1個單位B．先向右平行移動1個單位
C．先向上平行移動1個單位D． 先向下平行移動1個單位
4．函數(shù) 的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ C ）
A． B．
C． D．
5．函數(shù) 在 上的最大值與最小值的和為3，則 的值為___2__．
6．若關(guān)于x的方程 有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍．
解：由 得， ，
7．已知函數(shù) ．
（1）判斷 的奇偶性；
（2）若 在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
解：（1）定義域為R，則 ，故 是奇函數(shù)．
（2）設 ， ，
當 時，得 ，即 ；
當 時，得 ，即 ；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是 ．
第9課 對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
【考點導讀】
1.理解對數(shù)函數(shù)的概念和意義，能畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
2.在解決實際問題的過程中，體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；
3.熟練運用分類討論思想解決指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題．
【基礎(chǔ)練習】
1. 函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ．
2. 函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間是 ．
【范例解析】
例1. （1）已知 在 是減函數(shù)，則實數(shù) 的取值范圍是_________．
（2）設函數(shù) ，給出下列命題：
① 有最小值； ②當 時， 的值域為 ；
③當 時， 的定義域為 ；
④若 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，則實數(shù) 的取值范圍是 ．
則其中正確命題的序號是_____________．
分析：注意定義域，真數(shù)大于零．
解：（1） ， 在 上遞減，要使 在 是減函數(shù)，則 ；又 在 上要大于零，即 ，即 ；綜上， ．
（2）① 有無最小值與a的取值有關(guān)；②當 時， ，成立；
③當 時，若 的定義域為 ，則 恒成立，即 ，即 成立；④若 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，則 解得 ，不成立．
點評：解決對數(shù)函數(shù)有關(guān)問題首先要考慮定義域，并能結(jié)合對數(shù)函數(shù)圖像分析解決．
例3.已知函數(shù) ，求函數(shù) 的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性.
分析：利用定義證明復合函數(shù)的單調(diào)性．
解：x須滿足 所以函數(shù) 的定義域為（－1，0）∪（0，1）.
因為函數(shù) 的定義域關(guān)于原點對稱，且對定義域內(nèi)的任意x，有
，所以 是奇函數(shù).
研究 在（0，1）內(nèi)的單調(diào)性，任取x1、x2∈（0，1），且設x1
得 >0，即 在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
由于 是奇函數(shù)，所以 在（－1，0）內(nèi)單調(diào)遞減.
點評：本題重點考察復合函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明，運用函數(shù)性質(zhì)解決問題的能力．
【反饋演練】
1．給出下列四個數(shù)：① ；② ；③ ；④ .其中值最大的序號是___④___.
2．設函數(shù) 的圖像過點 ， ，則 等于___5_ _．
3．函數(shù) 的圖象恒過定點 ，則定點 的坐標是 ．
4．函數(shù) 上的最大值和最小值之和為a，則a的值為 ．
5．函數(shù) 的圖象和函數(shù) 的圖象的交點個數(shù)有___3___個.
6．下列四個函數(shù)：① ； ② ；③ ；
④ .其中，函數(shù)圖像只能是如圖所示的序號為___②___.
7．求函數(shù) , 的最大值和最小值．
解：
令 ， ，則 ，
即求函數(shù) 在 上的最大值和最小值．
故函數(shù) 的最大值為0，最小值為 ．
8．已知函數(shù) ．
（1）求 的定義域；（2）判斷 的奇偶性；（3）討論 的單調(diào)性，并證明．
解：（1）解：由 ，故的定義域為 ．
（2） ，故 為奇函數(shù)．
（3）證明：設 ，則 ，
．
當 時， ，故 在 上為減函數(shù)；同理 在 上也為減函數(shù)；
當 時， ，故 在 ， 上為增函數(shù)．
第10課 函數(shù)與方程
【考點導讀】
1.能利用二次函數(shù)的圖像與判別式的正負，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，了解函數(shù)零點與方程根的聯(lián)系．
2.能借助計算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的實質(zhì)．
3.體驗并理解函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法．
【基礎(chǔ)練習】
1.函數(shù) 在區(qū)間 有_____1 ___個零點．
2.已知函數(shù) 的圖像是連續(xù)的，且 與 有如下的對應值表：
123456
－2.33.40－1.3－3.43.4
則 在區(qū)間 上的零點至少有___3__個．
【范例解析】
例1. 是定義在區(qū)間[－c，c]上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令 ，
則下列關(guān)于函數(shù) 的結(jié)論：
①若a<0，則函數(shù) 的圖象關(guān)于原點對稱；
②若a=－1，－2
④若 ， ，則方程 =0有三個實根．
其中，正確的結(jié)論有___________．
分析：利用圖像將函數(shù)與方程進行互化．
解：當 且 時， 是非奇非偶函數(shù)，①不正確；當 ， 時， 是奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，③不正確；當 ， 時， ，由圖知，當 時， 才有三個實數(shù)根，故④不正確；故選②．
點評：本題重點考察函數(shù)與方程思想，突出考察分析和觀察能力；題中只給了圖像特征，因此，應用其圖，察其形，舍其次，抓其本．
例2.設 ，若 ， ， ．
求證：（1） 且 ；
（2）方程 在 內(nèi)有兩個實根．
分析：利用 ， ， 進行消元代換．
證明：（1） ， ，由 ，得 ，代入 得：
，即 ，且 ，即 ，即證．
（2） ，又 ， ．則兩根分別在區(qū)間 ， 內(nèi)，得證．
點評：在證明第（2）問時，應充分運用二分法求方程解的方法，選取 的中點 來考察 的正負是首選目標，如不能實現(xiàn) ，則應在區(qū)間內(nèi)選取其它的值．本題也可選 ，也可利用根的分布來做．
【反饋演練】
1．設 ， 為常數(shù)．若存在 ，使得 ，則實數(shù)a的取值范圍是 ．
2．設函數(shù) 若 ， ，則關(guān)于x的方程 解的個數(shù)為（ C ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知 ，且方程 無實數(shù)根，下列命題：
①方程 也一定沒有實數(shù)根；②若 ，則不等式 對一切實數(shù) 都成立；
③若 ，則必存在實數(shù) ，使
④若 ，則不等式 對一切實數(shù) 都成立．
其中正確命題的序號是 ①②④ ．
4．設二次函數(shù) ，方程 的兩根 和 滿足 ．求實數(shù) 的取值范圍．
解：令 ，
則由題意可得 ．
故所求實數(shù) 的取值范圍是 ．
5．已知函數(shù) 是偶函數(shù),求k的值；
解： 是偶函數(shù)，
由于此式對于一切 恒成立，
6．已知二次函數(shù) ．若a>b>c， 且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個交點.
證明：
的圖象與x軸有兩個交點.
第11課 函數(shù)模型及其應用
【考點導讀】
1.能根據(jù)實際問題的情境建立函數(shù)模型，結(jié)合對函數(shù)性質(zhì)的研究，給出問題的解答．
2.理解數(shù)據(jù)擬合是用來對事物的發(fā)展規(guī)律進行估計的一種方法，會根據(jù)條件借助計算工具解決一些簡單的實際問題．
3.培養(yǎng)學生數(shù)學地分析問題，探索問題，解決問題的能力．
【基礎(chǔ)練習】
1今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：
1.993.04.05.16.12
1.54.047.51218.01
現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，
① ② ③ ④
其中最接近的一個的序號是______③_______．
2.某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0 < x < 1)，則出廠價相應的提高比例為0.75x，同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤 = (出廠價－投入成本)×年銷售量.
(Ⅰ)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；
(Ⅱ)為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內(nèi)？
解：（Ⅰ）由題意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）
整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.
（Ⅱ）要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當
即 解不等式得 .
答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應滿足0 < x < 0.33.
【范例解析】
例. 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示．
(Ⅰ)寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式p=f(t)；寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t)；
(Ⅱ)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？
(注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天)
解：(Ⅰ)由圖一可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為
由圖二可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為
g(t)= (t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)設t時刻的純收益為h(t)，則由題意得
h(t)=f(t)－g(t)，
即
當0≤t≤200時，配方整理得
h(t)=－ (t－50)2+100，
所以，當t=50時，h(t)取得區(qū)間[0，200]上的最大值100；
當200
綜上:由100>87.5可知，h(t)在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大
【反饋演練】
1．把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，則這兩個正三角形面積之和的最小值是___________ ．
2．某地高山上溫度從山腳起每升高100m降低0.7℃，已知山頂?shù)臏囟仁?4.1℃，山腳的溫度是26℃，則此山的高度為_____17_____m．
3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤（單位：萬元）分別為L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為____45.6___萬元．
4．某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長分別為x，y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8cm2. 問x、y分別為多少時用料最省?
解：由題意得 xy+ x2=8，∴y= = (0
當( + )x= ,即x=8－4 時等號成立.
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/77565.html
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