第八章 平面解析幾何
【知識(shí)特點(diǎn)】
1、本章內(nèi)容主要包括直線與方程、圓與方程、圓錐曲線，是解析幾何最基本，也是很重要的內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一；
2、本章內(nèi)容集中體現(xiàn)了用坐標(biāo)法研究曲線的思想與方法，概念、公式多，內(nèi)容多，具有較強(qiáng)的綜合性；
3、研究圓錐曲線的方法很類似，因此可利用類比的方法復(fù)習(xí)橢圓、雙曲線、拋物線的定義與幾何性質(zhì)，掌握解決解析幾何問(wèn)題的最基本的方法。
【重點(diǎn)關(guān)注】
1、關(guān)于直線的方程，直線的斜率、傾斜角，幾種距離公式，兩直線的位置關(guān)系，圓錐曲線的定義與性質(zhì)等知識(shí)的試題，都屬于基本題目，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，一般涉及兩個(gè)以上的知識(shí)點(diǎn)，這些將是今后高考考查的熱點(diǎn)；
2、關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系的題目出現(xiàn)次數(shù)較多，既有選擇題、填空題，也有解答題。既考查基礎(chǔ)知識(shí)的應(yīng)用能力，又考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；
3、直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題多以高檔題出現(xiàn)，要求學(xué)生分析問(wèn)題的能力，計(jì)算能力較高；
4、注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用
解析法、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、分類討論思想及待定系數(shù)法在各種題型中均有體現(xiàn)，應(yīng)引起重視。
【地位和作用】
解析幾何是17世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的重大成果之一，其本質(zhì)是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想。在本模塊中，學(xué)生將在平面直角坐標(biāo)系中建立直線和圓的代數(shù)方程，運(yùn)用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì)及其相互位置關(guān)系，并了解空間直角坐標(biāo)系。體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，初步形成用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力。
在平面解析幾何初步的中，教師應(yīng)幫助學(xué)生經(jīng)歷如下的過(guò)程：首先將幾何問(wèn)題代數(shù)化，用代數(shù)的語(yǔ)言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；處理代數(shù)問(wèn)題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問(wèn)題。這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何的始終，幫助學(xué)生不斷地體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。
從新課改近兩年來(lái)的高考信息統(tǒng)計(jì)可以看出，命題呈現(xiàn)出以下特點(diǎn)：
1、各種題型均有所體現(xiàn)，分值大約在19-24分之間，比重較高，以低檔題、中檔題為主；
2、主要考查直線及圓的方程，圓錐曲線的定義、性質(zhì)及綜合應(yīng)用，符合考綱要求，這些知識(shí)屬于本章的重點(diǎn)內(nèi)容，是高考的必考內(nèi)容，有時(shí)還注重在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題；
3、預(yù)計(jì)本章在今后的高考中仍將以直線及圓的方程，圓錐曲線的定義、性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為主命題，且難度有所降低；更加注重與其他知識(shí)交匯，充分體現(xiàn)以能力立意的命題方向。
第一節(jié) 直線與方程
【高考目標(biāo)導(dǎo)航】
一、基本公式、直線的傾斜角與斜率及直線方程
（一）考綱點(diǎn)擊
1、在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，掌握確定直線位置的幾何要素；
2、掌握兩點(diǎn)間的距離公式；
3、理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；
4、掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。
（二）熱點(diǎn)提示
1、基本公式、直線的斜率、方程以及兩直線的位置關(guān)系是高考的重點(diǎn)；
2、常和圓錐曲線綜合命題，重點(diǎn)考查函數(shù)與方程、數(shù)學(xué)形結(jié)合思想；
3、多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬于中低檔題目。
二、兩條直線的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離
（一）考綱點(diǎn)擊
1、能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；
2、能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；
3、掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離。
（二）熱點(diǎn)提示
1、兩條直線的平行與垂直是非常重要的位置關(guān)系，因此高考中對(duì)直線的考查多以此為載體；
2、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，兩平行線間的距離公式是高考考查的重點(diǎn)；
3、常在與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的交匯處命題。
【考綱知識(shí)梳理】
一、直線的傾斜角與斜率
1、直線的傾斜角與斜率
（1）直線的傾斜角
①關(guān)于傾斜角的概念要抓住三點(diǎn)：
?.與x軸相交;
?.x軸正向;
?.直線向上方向.
②直線與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定它的傾斜角為 .
③傾斜角 的范圍 .
（2）直線的斜率
①直線的斜率就是直線傾斜角的正切值，而傾斜角為 的直線斜率不存在。
②經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) 的直線的斜率公式是
③每條直線都有傾斜角，但并不是每條直線都有斜率。
2、兩條直線平行與垂直的判定
（1）兩條直線平行
對(duì)于兩條不重合的直線 ，其斜率分別為 ，則有 。特別地，當(dāng)直線 的斜率都不存在時(shí)， 的關(guān)系為平行。
（2）兩條直線垂直
如果兩條直線 斜率存在，設(shè)為 ，則
注：兩條直線 垂直的充要條件是斜率之積為-1，這句話不正確；由兩直線的斜率之積為-1，可以得出兩直線垂直，反過(guò)來(lái)，兩直線垂直，斜率之積不一定為-1。如果 中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)， 互相垂直。
二、直線的方程
1、直線方程的幾種形式
名稱方程的形式已知條件局限性
點(diǎn)斜式 為直線上一定點(diǎn)，k為斜率不包括垂直于x軸的直線
斜截式 k為斜率，b是直線在y軸上的截距不包括垂直于x軸的直線
兩點(diǎn)式 且 是直線上兩定點(diǎn)不包括垂直于x軸和y軸的直線
截距式 a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距不包括垂直于x軸和y軸或過(guò)原點(diǎn)的直線
一般式 A，B，C為系數(shù)無(wú)限制，可表示任何位置的直線
注：過(guò)兩點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？（不一定。（1）若x1= x2且y1≠y2，直線垂直于x軸，方程為 ；（2）若 ，直線垂直于y軸，方程為 ；（3）若 ，直線方程可用兩點(diǎn)式表示）
2、線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式
若點(diǎn) 的坐標(biāo)分別為 ，且線段 的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），則 此公式為線段 的中點(diǎn)坐標(biāo)公式。
三、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式
1.兩條直線的交點(diǎn)
設(shè)兩條直線的方程是 ，兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組 的解，若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；反之，亦成立。
2.幾種距離
（1）兩點(diǎn)間的距離
平面上的兩點(diǎn) 間的距離公式
特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x,y）的距離
（2）點(diǎn)到直線的距離
點(diǎn) 到直線 的距離 ；
（3）兩條平行線間的距離
兩條平行線 間的距離
注：（1）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程要化為一般式；
（2）求兩條平行線間的距離時(shí)，必須將兩直線方程化為系數(shù)相同的一般形式后，才能套用公式計(jì)算。
四、兩條直線的位置關(guān)系
【要點(diǎn)名師透析】
一、直線的傾斜角與斜率
（一）直線的傾斜角
※相關(guān)鏈接※
2．已知斜率k的范圍，求傾斜角 的范圍時(shí)，若k為正數(shù)，則 的范圍為 的子集，且k=tan 為增函數(shù)；若k為負(fù)數(shù)，則 的范圍為 的子集，且k=tan 為增函數(shù)。若k的范圍有正有負(fù)，則可所范圍按大于等于0或小于0分為兩部分，針對(duì)每一部分再根據(jù)斜率的增減性求傾斜角范圍。
※例題解析※
〖例〗已知直線的斜率k=-cos ( ∈R).求直線的傾斜角 的取值范圍。
思路解析：cos 的范圍 斜率k的范圍 tan 的范圍 傾斜角 的取值范圍。
解答：
（二）直線的斜率及應(yīng)用
※相關(guān)鏈接※
1、斜率公式： 與兩點(diǎn)順序無(wú)關(guān)，即兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)在公式中前后次序相同；
2、求斜率的一般方法：
（1）已知直線上兩點(diǎn)，根據(jù)斜率公式 求斜率；
（2）已知直線的傾斜角 或 的某種三角函數(shù)根據(jù) 來(lái)求斜率；
3、利用斜率證明三點(diǎn)共線的方法：
已知 若 ，則有A、B、C三點(diǎn)共線。
注：斜率變化分成兩段， 是分界線，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論。
※例題解析※
〖例〗設(shè) 是互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)，如果 在同一直線上，求證：
思路解析：若三點(diǎn)共線，則由任兩點(diǎn)所確定的直線斜率相等或都不存在。
解答：
（三）兩條直線的平行與垂直
〖例〗已知點(diǎn)M（2，2），N（5，-2），點(diǎn)P在x軸上，分別求滿足下列條件的P點(diǎn)坐標(biāo)。
（1）∠MOP=∠OPN（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（2）∠MPN是直角。
思路解析：∠MOP=∠OPN OM//PN，∠MPN是直角 MP NP，故而可利用兩直線平行和垂直的條件求得。
解答：
注：（1）充分掌握兩直線平行的條件及垂直的條件是解決本題的關(guān)鍵，對(duì)于斜率都存在且不重合的兩條直線 和 ， 。若有一條直線的斜率不存在，那么另一條直線的斜率是多少一定要特別注意。
（2）注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用。
（3）利用斜率的幾何意義可以證明不等式，利用兩斜率之間的關(guān)系可以判斷兩直線的平行或垂直，數(shù)形結(jié)合的思想方法可幫助我們很直觀地分析問(wèn)題，抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。
二、直線的方程
（一）直線方程的求法
※相關(guān)鏈接※
1、求直線方程應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本�方程形式并注意各種形式的適用條件�；痉椒òɡ脳l件直接求直線的基本量和利用待定系數(shù)法求直線的基本量。
用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：
（1）設(shè)所求直線方程的某種形式；
（2）由條件建立所求參數(shù)的方程（組）；
（3）解這個(gè)方程（組）求參數(shù)；
（4）把所求的參數(shù)值代入所設(shè)直線方程。
2、求直線方程時(shí)，首先分析具備什么樣的條件；然后恰當(dāng)?shù)剡x用直線方程的形式準(zhǔn)確寫(xiě)出直線方程。要注意若不能斷定直線具有斜率時(shí)，應(yīng)對(duì)斜率存在與不存在加以討論。在用截距式時(shí)，應(yīng)先判斷截距是否為0。若不確定，則需分類討論。
※例題解析※
〖例〗求過(guò)點(diǎn)P（2，-1），在x軸和y軸上的截距分別為a、b,且滿足a=3b的直線方程。
思路解析：對(duì)截距是否為0分類討論 設(shè)出直線方程 代入已知條件求解 得直線方程。
解答：當(dāng)a=3,b≠0時(shí)，設(shè)所求直線方程為 ，即
（二）用一般式方程判定直線的位置關(guān)系
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兩條直線位置關(guān)系的判定
已知直線 ， ，則
（1）
（2）
（3）
（4）
※例題解析※
〖例〗已知直線 和直線 ，（1）試判斷 與 是否平行；（2） ⊥ 時(shí)，求 的值。
思路解析：可直接根據(jù)方程的一般式求解，也可根據(jù)斜率求解，所求直線的斜率可能不存在，故應(yīng)按 的斜率是否存在為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論。
解答：（1）方法一：
方法二：
（2）方法一：
由
方法二：
（三）直線方程的應(yīng)用
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利用直線方程解決問(wèn)題，可靈活選用直線方程的形式，以便簡(jiǎn)化運(yùn)算。一般地，已知一點(diǎn)通常選擇點(diǎn)斜式；已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；已知截距或兩點(diǎn)選擇截距式或兩點(diǎn)式。
另外，從所求的結(jié)論來(lái)看，若求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積或周長(zhǎng)，常選用截距式或點(diǎn)斜式。
注：（1）點(diǎn)斜式與斜截式是兩種常見(jiàn)的直線方程形式，要注意在這兩種形式中所要求直線的斜率存在。
（2）“截距”并非“距離”，可以是正的，也可以是負(fù)的，還可以是0。
※例題解析※
〖例〗如圖， 過(guò)點(diǎn)P（2，1）作直線 ，分別為交x、y軸正半軸于A、B兩點(diǎn)。
（1）當(dāng)?AOB的面積最小時(shí)，求直線 的方程；
（2）當(dāng)｜PA｜?｜PB｜取最小值時(shí)，求直線 的方程。
思路解析：求直線方程時(shí)，要善于根據(jù)已知條件，選取適當(dāng)?shù)男问�。由于本題中給出了一點(diǎn)，且直線與x、y軸在正方向上分別相交，故有如下常見(jiàn)思路：
①點(diǎn)斜式：設(shè) 的方程為 ，分別求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)題目要求建立目標(biāo)函數(shù)，求出最小值并確立最值成立的條件；
②截距式：設(shè) 的方程為 ，將點(diǎn)（2，1）代入得出a與b的關(guān)系，建立目標(biāo)函數(shù)，求最小值及最值成立的條件；
③根據(jù)題意，設(shè)出一個(gè)角，建立目標(biāo)函數(shù)，利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決。
解答：（1）方法一：設(shè) 的方程為 ，則
方法二：設(shè)所求直線方程為 ，由已知得 ，于是 。當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)， 取最大值 ，此時(shí) 取最小值4。故所求的直線 的方程為 ，即 。
方法三：設(shè)所求直線方程為 ，由已知得
（2）方法一：
方法二：
注：解析法解決實(shí)際問(wèn)題，就是在實(shí)際問(wèn)題中建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，用方程表示曲線，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，利用代數(shù)的方法使問(wèn)題得到解決。
三、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式
（一）有關(guān)距離問(wèn)題
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1、點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式是常用的公式，應(yīng)熟練掌握。
2、點(diǎn)到幾種特殊直線的距離
（1）點(diǎn) 到x軸的距離 。
（2）點(diǎn) 到y(tǒng)軸的距離 .
（3）點(diǎn) 到與x軸平行的直線y=a的距離 。
（4）點(diǎn) 到與y軸平行的直線x=b的距離 .
注：點(diǎn)到直線的距離公式當(dāng)A=0或B=0時(shí)，公式仍成立，但也可不用公式而直接用數(shù)形結(jié)合法來(lái)求距離。
※例題解析※
〖例〗已知點(diǎn)P（2，-1）。
（1）求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線 的方程；
（2）求過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線 的方程，最大距離是多少？
（3）是否存在過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
思路解析：設(shè)出直線方程 由點(diǎn)到直線距離求參數(shù) 判斷何時(shí)取得最大值并求之。
解答：（1）過(guò)P點(diǎn)的直線 與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），可見(jiàn)，過(guò)P（2，-1）且垂直于x軸的直線滿足條件。此時(shí) 的斜率不存在，其方程為x=2。若斜率存在，設(shè) 的方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知，得 ，解得 。此時(shí) 的方程為3x-4y-10=0.
綜上，可得直線 的方程為x=2或3x-4y-10=0.
（2）作圖可得過(guò)P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過(guò)P點(diǎn)且與PO垂直的直線，由 ⊥OP，得 所以 由直線方程的點(diǎn)斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直線2x-y-5=0是過(guò)P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為 。
（3）由（2）可知，過(guò)P點(diǎn)不存在到原點(diǎn)距離超過(guò) 的直線，因此不存在過(guò)P點(diǎn)且到原點(diǎn)距離為6的直線。
（二）有關(guān)對(duì)稱問(wèn)題
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常見(jiàn)的對(duì)稱問(wèn)題：
（1）中心對(duì)稱
①若點(diǎn) 及 關(guān)于 對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得
②直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，再利用 ，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程。
（2）軸對(duì)稱
①點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱
若兩點(diǎn) 關(guān)于直線 ：Ax+By+C=0對(duì)稱，則線段 的中點(diǎn)在對(duì)稱軸 上，而且連接 的直線垂直于對(duì)稱軸 上，由方程組
可得到點(diǎn) 關(guān)于 對(duì)稱的點(diǎn) 的坐標(biāo) （其中 ）
②直線關(guān)于直線的對(duì)稱
此類問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱來(lái)解決，有兩種情況：一是已知直線與對(duì)稱軸相交；二是已知直線與對(duì)稱軸平行。
※例題解析※
〖例〗求直線 關(guān)于直線 對(duì)稱的直線 的方程。
思路解析：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題，利用方程組求解。
解答：方法一：由 知直線 與 的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1），設(shè)直線 的方程為y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直線 上任取一點(diǎn)（1，2），由題設(shè)知點(diǎn)（1，2）到直線 、 的距離相等，由點(diǎn)到直線的距離公式得
，解得 ，
∴直線 的方程為x-2y=0.
方法二：設(shè)所求直線上一點(diǎn)為P（x,y）,則在直線 上必存在一點(diǎn) 與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱。
由題設(shè)：直線 與直線 垂直，且線段 的中點(diǎn) 在直線上。
∴ 代入直線 得x+1=2(y-1)+3,
整理得x-2y=0.
所以所求直線方程為x-2y=0.
（三）解析法（坐標(biāo)法）應(yīng)用
〖例〗（12）如圖，已知P是等腰三角形ABC的底邊BC上一點(diǎn)，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，用解析法證明PM+PN為定值。
思路解析： 建立直角坐標(biāo)系利用點(diǎn)到直線的距離公式求出PM和PN的長(zhǎng)度。
解答：過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BC，垂足為O，以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)，……………1分
設(shè)B（-a,0），C（a,0）(a>0),A（0，b）,P( ,0),a,b為定值， 為參數(shù)，-a≤ ≤a,
∴AB的方程是bx-ay+ab=0,AC的方程是bx+ay-ab=0,……………………………………………………4分
由點(diǎn)到直線的距離公式得 ………………7分
∵a>0,b>0,∴ab>0,-ab<0,把原點(diǎn)坐標(biāo)代入AB，AC方程左端分別得ab,-ab,且點(diǎn)P在直線AB，AC的下方，∴b +ab>0,b - ab<0,………………………………………………10分
∴ ……………………12分
注：解析法（坐標(biāo)法）即通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題，用處理代數(shù)問(wèn)題的方法解決，這種方法是聯(lián)系平面解析幾何的紐帶。求定值問(wèn)題，應(yīng)先表示出要證明為定值的式子，最后出現(xiàn)定值。
【感悟高考真題】
1．（2011?北京高考文科?T8）已知點(diǎn) ， .若點(diǎn)C在函數(shù) 的圖象上，則使得 的面積為2的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
【思路點(diǎn)撥】設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出AB方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求出AB邊上的高，再利用面積為2可出點(diǎn)C的個(gè)數(shù).
【精講精析】選A.設(shè) ，則AB： ，AB= ,點(diǎn)C到直線AB的距離為d= .又因?yàn)辄c(diǎn)C在 上，所以 .令 ，解得 .所以滿足條件的點(diǎn)有4個(gè).
2．（2011?安徽高考理科?Ｔ15）在平面直角坐標(biāo)系中，如果 與y都是整數(shù)，就稱點(diǎn) 為整點(diǎn)，下列命題中正確的是_____________（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）.
①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
②如果 與 都是無(wú)理數(shù)，則直線 不經(jīng)過(guò)任何整點(diǎn)
③直線 經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng) 經(jīng)過(guò)兩個(gè)不同的整點(diǎn)
④直線 經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是： 與 都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過(guò)一個(gè)整點(diǎn)的直線
【思路點(diǎn)撥】考查數(shù)形結(jié)合，空間想象能力，特例的取得與一般性的檢驗(yàn).根據(jù)命題的特點(diǎn)選擇合適的情形.
【精講精析】①例如 ，②如 過(guò)整點(diǎn)（1,0），③設(shè) ( )是過(guò)原點(diǎn)的直線，若此直線過(guò)兩個(gè)整點(diǎn) ，則有 ， ，兩式相減得 ，則點(diǎn) 也在直線 上，通過(guò)這種方法可以得到直線 經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn)，通過(guò)上下平移 得對(duì)于 也成立，所以③正確；④如 不經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)整點(diǎn), ⑤如直線 ,只經(jīng)過(guò)（0,0）.故答案：①③⑤
3．（2011?安徽高考理科?Ｔ17）如圖， 為多面體，平面 與平面 垂直，點(diǎn) 在線段 上， △ ，△ ，△ ，△ 都是正三角形。
（Ⅰ）證明直線 ∥ ；
（Ⅱ）求棱錐 ? 的體積.
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）可以采用綜合法與向量法兩種方法，綜合法關(guān)鍵是作出輔助線，延長(zhǎng)EB與DA相交.向量法關(guān)鍵是建系寫(xiě)坐標(biāo).（Ⅱ）利用錐體體積公式，算出底面積與高.
【精講精析】（Ⅰ）(綜合法)
證明：設(shè)G是線段DA與線段EB的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，由于 與 都是正三角形，所以
同理，設(shè) 是線段DA與線段FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，有 又由于G和 都在線段DA的延長(zhǎng)線上，所以G與 重合.
在 和 中，由 和 可知B,C分別是GE和GF的中點(diǎn)，所以BC是 的中位線，故BC//EF.
(向量法)
過(guò)點(diǎn)F作 ，交AD于點(diǎn)Q，連接QE,由平面ABED⊥平面ADFC,知FQ⊥平面ABED,以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
由條件知
則有
所以 即得BC//EF.
（II）解：由OB=1,OE=2, 知 ，而 是邊長(zhǎng)為2的正三角形，故 ，所以
過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AD,交AD于點(diǎn)Q,由平面ABED⊥平面ACFD知，F(xiàn)Q就是四棱錐F-OBED的高，且 ，所以
4．（2011?安徽高考文科?Ｔ17）設(shè)直線
（I）證明 與 相交；
（II）證明 與 的交點(diǎn)在橢圓
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）反證法；先假設(shè) 與 不相交,之后推出矛盾.（Ⅱ）求出交點(diǎn)，代入方程.
【精講精析】（Ⅰ）反證法.假設(shè) 與 不相交，則 與 平行，有 代入 ，得 .
此與 為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾.從而 即 與 相交.
（Ⅱ）由方程組
解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)（x,y）為
而
即P(x,y)在橢圓 .
【考點(diǎn)模擬演練】
一、選擇題
1．傾斜角為45?，在 軸上的截距為 的直線方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
2．傾斜角為45?，在 軸上的截距為 的直線方程是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
3．過(guò)原點(diǎn)和 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
答案：D
4．已知過(guò)點(diǎn) 和 的直線與直線 平行，則 的值為（ �。�
A. B. C. D.
解析：
5．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1，2)、點(diǎn)B(3，1)到直線l的距離分別為1和2，則符合條件的直線條數(shù)為 ( )
A．3 B．2 C．4 D．1
答案：B
6．設(shè) 分別是 中 所對(duì)邊的邊長(zhǎng),則直線 與 的位置關(guān)系是( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直
答案：B
7．點(diǎn)P(2,3)到直線：ax+(a－1)y+3=0的距離d為最大時(shí)，d與a的值依次為 （ ）
A．3,-3 B．5,1 C．5,2 D．7,1
答案：B
8．已知 ，則直線 通過(guò)（ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D(zhuǎn). 第二、三、四象限
解析：
9．若方程 表示一條直線，則實(shí)數(shù) 滿足（ ）
A. B.
C. D. ， ，
解析： 不能同時(shí)為
10．若點(diǎn) 到直線 的距離為4，且點(diǎn) 在不等式 表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù) 的值為（ ）
A.7 B.－7 C.3 D.－3
答案：
11．已知點(diǎn) 到直線 的距離相等，則實(shí)數(shù) 的值等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
12．過(guò)點(diǎn) 的直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，且 ，則直線l的方程為（ ）
A.x+2y-4=0 B.x-2y=0 C.x-y-1=0 D.x+y-3=0
答案：D
二、填空題
13．已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,-2)、(0,0)、(3,1),若點(diǎn)M滿足 ,點(diǎn)N滿足 ，點(diǎn)P滿足 ，則P點(diǎn)的軌跡方程是 .
答案：x2+y2-2x-y=0
14．若直線 與 垂直，則 的值是 ．
答案：2
15．函數(shù) 圖像上的點(diǎn)到直線 距離的最小值是 _
答案：
16．直線 為參數(shù)）上與點(diǎn) 的距離等于 的點(diǎn)的坐標(biāo)是
答案：（-3，4）或（-1，2）
三、解答題
17．已知直線 ，
（1）系數(shù)為什么值時(shí)，方程表示通過(guò)原點(diǎn)的直線；
（2）系數(shù)滿足什么關(guān)系時(shí)與坐標(biāo)軸都相交；
（3）系數(shù)滿足什么條件時(shí)只與x軸相交；
（4）系數(shù)滿足什么條件時(shí)是x軸；
（5）設(shè) 為直線 上一點(diǎn)，
證明：這條直線的方程可以寫(xiě)成 .
解答：（1）把原點(diǎn) 代入 ，得 ；（2）此時(shí)斜率存在且不為零
即 且 ；（3）此時(shí)斜率不存在，且不與 軸重合，即 且 ；
（4） 且
（5）證明： 在直線 上
.
18．（本小題滿分14分）
已知函數(shù) 的定義域?yàn)?，且 . 設(shè)點(diǎn) 是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 分別作直線 和 軸的垂線，垂足分別為 ．
（1）求 的值；（2分）
（2）問(wèn)： 是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說(shuō)明理由；（5分）
（3）設(shè) 為原點(diǎn)，求四邊形 面積最小值（7分）
本小題主要考查位置關(guān)系、軌跡方程、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力，滿分14分,
解答：（1）∵ ，∴ . （2分）
（2）點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，
則有 ， ，（3分）
由點(diǎn)到直線的距離公式可知： ，（6分）
故有 ，即 為定值，這個(gè)值為1. （7分）
（3）由題意可設(shè) ，可知 .（8分）
∵ 與直線 垂直，∴ ，即 ，解得
，又 ，∴ .（10分）
∴ ， ，（12分）
∴ ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立．
∴ 此時(shí)四邊形 面積有最小值 ．（14分）
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaosan/77672.html
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