第二節(jié) 推理與證明
【高考目標(biāo)導(dǎo)航】
一、合情推理與演繹推理
1、考綱點(diǎn)擊
（1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用；
（2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理；
（3）了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異。
2、熱點(diǎn)提示
（1）歸納推理與數(shù)列相結(jié)合問題是考查重點(diǎn)；
（2）類比推理、演繹推理是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)；
（3）以選擇題、填空題的形式考查合情推理；考查演繹推理的各種題型都有，難度不大，多以中低檔題為主。
二、直接證明與間接證明
1、考綱點(diǎn)擊
（1）了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)；
（2）了解間接證明的一種基本方法——反證法，了解反證法的思考過程、特點(diǎn)；
2、熱點(diǎn)提示
（1）本考點(diǎn)在歷年高考中均有體現(xiàn)，主要以考查直接證明中的綜合法為主；
（2）分析法的思想應(yīng)用廣泛，反證法僅作為客觀題的判官方法，一般不會單獨(dú)命題；
（3）題型以解答題為主，主要在與其他知識點(diǎn)交匯處命題。
三、數(shù)學(xué)歸納法
1、考綱點(diǎn)擊
（1）了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；
（2）能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題。
2、熱點(diǎn)提示
（1）歸納——猜想——證明仍是高考重點(diǎn)；
（2）常與函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識結(jié)合，在知識的交匯處命題是熱點(diǎn)；
（3）題型以解答題為主，難度中等偏上。
【考綱知識梳理】
一、合情推理與演繹推理
注：歸納推理和類比推理的特點(diǎn)與區(qū)別：類比推理和歸納推理的結(jié)論都是有待于證明的。歸納推理是由特殊到一般的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理。
二、直接證明與間接證明
1、直接證明
注：分析法的特點(diǎn)是：從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，其逐步推理，實(shí)際上尋求它的充分條件；綜合法的特點(diǎn)是：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的必要條件。分析法與綜合法各有其特點(diǎn)，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法均能證明出來，往往選擇較簡單的一種。
2、間接證明
反證法：假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法。
三、數(shù)學(xué)歸納法
數(shù)學(xué)歸納證題的步驟：
（1）證明當(dāng)n取第一值 時命題成立：
（2）假設(shè)n=k(k≥ ,k∈ )時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從 開始的所有正整數(shù)n都成立。
注：1、第一個值 是否一定為1呢？不一定，要看題目中n的要求，如當(dāng)n≥3時，則第一個值 應(yīng)該為3。
2、數(shù)學(xué)歸納法兩個步驟有何關(guān)系？數(shù)學(xué)歸納法中兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推基礎(chǔ)，也叫歸納奠基，第二步是遞推的依據(jù)，也叫歸納遞推。兩者缺一不可。
【要點(diǎn)名師透析】
一、合情推理與演繹推理
（一）歸納推理
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1、歸納推理的特點(diǎn)：
（1）歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍；
（2）歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的。
2、歸納推理的一般步驟：
（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)；
（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般性命題。
注：歸納推理所得結(jié)論未必正確，有待進(jìn)一步證明。
※例題解析※
〖例〗設(shè) ，先分別求 ，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明。
思路解析：由f(x) 計算各和式 得出結(jié)論 歸納猜想 證明
解答： ，同理可得： 。
證明：設(shè)
（二）類比推理
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1、類比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步驟是：
（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；
（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）。
2、類比是科學(xué)研究最普遍的方法之一。在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，也是開拓新領(lǐng)域和創(chuàng)造新分支的重要手段。類比在數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛。數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無限之間有不少結(jié)論，都是先用類比法猜想，而后加以證明的。
注：類比推理推得的結(jié)論不一定正確，其正確性，有待進(jìn)一步證明。
※例題解析※
〖例1〗請用類比推理完成下表：
平面空間
三角形兩邊之和大于第三邊三棱錐任意三個面的面積之和大于第四個面的面積
三角形的面積等于任意一邊的長度與這邊上高的乘積的一半三棱錐的體積等于任意一個面的面積與該面上的高的乘積的三分之一
三角形的面積等于其內(nèi)切圓半徑與三角形周長的乘積的一半
思路點(diǎn)撥：由表格一、二兩個問題的類比可知，線對面，長度對面積，從而內(nèi)切圓應(yīng)相對內(nèi)切球，從而可解。
解答：本題由已知前兩組類比可得到如下信息：①平面中的三角形與空間中的三棱錐是類比對象；②三角形各邊的邊長與三棱錐的各面的面積是類比對象；③三角形邊上的高與三棱錐面上的高是類比對象；④三角形的面積與三棱錐的體積是類比對象；⑤三角形的面積公式中的“二分之一”，與三棱錐的體積公式中的“三分之一”是類比對象。
由以上分析可知：
故第三行空格應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一。（本題結(jié)論可用等體積法，將三棱錐分割成四個小三棱錐去證明，此處略）
〖例2〗平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行。類似地，寫出空間中的一個四棱錐為平行六面體的兩個充要條件：
充要條件①：
充要條件②：
解答：兩組對邊分別平行類比可得三組對面分別平行。一組對邊平行且相等類比可得兩組對面分別平行且全等。
答案：①三組對面分別平行；②兩組對面分別平行且全等。
注：類比推理是根據(jù)兩個對象有一部分屬性類似，推出這兩個對象其他屬性亦類似的一種推理方法。例如分式與分?jǐn)?shù)類比、平面幾何與立體幾何的某些對象類比等。當(dāng)然類比時有能出現(xiàn)錯誤，如：在平面內(nèi)，直線a、b、c，若a⊥b,b⊥c，則a∥c；在空間，三個平面α、β、Υ，若α⊥β,β⊥Υ，但α與Υ之間可能平行，也可能相交。
（三）演繹推理
〖例1〗（1）證明函數(shù) 在 上是增函數(shù)；
（2）當(dāng) 時， 是增函數(shù)還是減函數(shù)？
思路解析：（1）證明本題的大前提是增函數(shù)的定義，即增函數(shù) 滿足：在給定區(qū)間內(nèi)任取自變量的兩個值 且 ， ，小前提是函數(shù) ，x∈ ，結(jié)論滿足增函數(shù)定義。
（1）關(guān)鍵是看 與 的增區(qū)間或減區(qū)間的關(guān)系。
解答：（1）方法一：任取 ∈ ，
則
于是，根據(jù)“三段論”可知，
在 上是增函數(shù)；
方法二：
（2）∵ ，而 是區(qū)間 的子區(qū)間，∴ 在 上是增函數(shù)。
注：三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來講就是：若集合M的所有元素都具體性質(zhì)P，S是M的子集，那么S所有元素都具體性質(zhì)P。三段論推理中包含三個原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況；這兩個判斷聯(lián)合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個判斷：結(jié)論。
〖例2〗用三段論的形式寫出下列演繹推理。
（1）若兩角是對頂角，則該兩角相等，所以若兩角不相等，則該兩角不是對頂角；
（2）矩形的對角線相等，正方形的是矩形，所以正方形的對角線相等；
（3） 是有理數(shù)；
（4）y=sinx(x∈R)是周期函數(shù)。
解答：（1）兩個角是對頂角，則兩角相等，…………………………………………大前提
∠1和∠2不相等………………………………………………………………………小前提
∠1和∠2不是對頂角……………………………………………………………………結(jié)論
（2）每個矩形的對角線相等………………………………………………………大前提
正方形是矩形…………………………………………………………………………小前提
正方形的對角線相等……………………………………………………………………結(jié)論
（3）所有的循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，………………………………………………………大前提
是循環(huán)小數(shù)，……………………………………………………………………小前提
所以 是有理數(shù)……………………………………………………………………結(jié)論
（4）三角函數(shù)是周期函數(shù)，…………………………………………………………大前提
y=sinx是三角函數(shù)，……………………………………………………………………小前提
y=sinx是周期函數(shù)…………………………………………………………………………結(jié)論
二、直接證明與間接證明
（一）綜合法證明不等式
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1、綜合法是“由因?qū)Ч�，它是從已知條件出發(fā)，順著推證，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所證結(jié)論的真實(shí)性。用綜合法證明題的邏輯關(guān)系是： （A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，B為要證結(jié)論），它的常見書面表達(dá)是“∵，∴”或“ ”；
2、綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中常用方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法。
※例題解析※
〖例〗已知x+y+z=1，求證 .
思路點(diǎn)撥：利用 ，同時變形利用x+y+z=1，從而（x+y+z）2=1可證。
解答：
（二）分析法證明不等式
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1、分析法也是中學(xué)數(shù)學(xué)證明問題的常用方法，其主要過程是從結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的充分條件；
2、分析法是“執(zhí)果索因”，它是從要證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，逐漸地靠近已知事實(shí)。
用分析法證“若P則Q”這個命題的模式是：
為了證明命題 為真，從而有……
這只需證明命題 為真，從而有……
這只需證明命題 為真，從而有……
……
這只需證明命題P為真。
而已知P為真，故Q必為真。
注：用分析法證題時，一定要嚴(yán)格按格式書寫，否則容易出錯。
※例題解析※
〖例〗已知非零向量 ，且 ，求證： 。
思路解析： 。同意注意， ，將要證式子變形平方即可獲證。
解答：∵ ∴ ，要證 ，只需證 ，只需證
（三）反證法證明
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1、反證法是間接證明問題的一種常用方法，其證明問題的一般步驟為：
（1）反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面（否定命題）成立；（否定結(jié)論）
（2）歸廖：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的公理、定義、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾；（推導(dǎo)矛盾）
（3）結(jié)論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的廖誤。既然結(jié)論的反面不成立，從而肯定了結(jié)論成立。（結(jié)論成立）
注：用反證法證明問題時要注意以下三點(diǎn)：
（1）必須否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全是；
（2）反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法；
（3）推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的。
2、常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如下：
原結(jié)論詞反設(shè)詞原結(jié)論詞反設(shè)詞
至少有一個一個也沒有對所有x成立存在某個x不成立
至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x成立
至少有n個至多有n-1個p或q 且
至多有n個至多有n+1個p且q 或
※例題解析※
〖例〗已知 是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由 確定的三條拋物線至少有一條與 軸有兩個不同的交點(diǎn)。
思路解析：利用反證法，否定命題的結(jié)論 利用 同向不等式求和 推出矛盾 得結(jié)論
解答：假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與 有兩個不同的交點(diǎn)（即任何一條拋物線與 軸沒有兩個不同的交點(diǎn)），由 得
（四）綜合問題的證明
〖例〗請先閱讀：在等式 （ ）的兩邊求導(dǎo)，得：
，
由求導(dǎo)法則，得 ，化簡得等式： ．
（1）利用上題的想法（或其他方法），試由等式（1＋x）n＝ （ ，正整數(shù) ），證明： ＝ ．
（2）對于正整數(shù) ，求證：
（i） ＝0；
（ii） ＝0；
（iii） ．
證明：（1）在等式 兩邊對 求導(dǎo)得
移項得 （*）
（2）（i）在（*）式中，令 ，整理得
所以
（ii）由（1）知
兩邊對 求導(dǎo)，得
在上式中，令
即 ，
亦即 （1）
又由（i）知 （2）
由（1）+（2）得
（iii）將等式 兩邊在 上對 積分
由微積分基本定理，得
所以
注：證明問題是初等數(shù)學(xué)中常見問題，也是高考常考問題，在各章知識中均有所體現(xiàn)，函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何、解析幾何中常有證明問題，本例就是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用到證明問題的直接體現(xiàn)，這就需要對各章知識靈活應(yīng)用，如應(yīng)用二項展開式亦可證明有關(guān)數(shù)學(xué)中整除性及不等式問題。
三、數(shù)學(xué)歸納法
（一）用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
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1、用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是數(shù)學(xué)歸納法的常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于“先看項”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，初始n0是多少；
2、由n=k到n=k+1時，除等式兩邊變化的項外還要充分利用n=k時的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明。
※例題解析※
〖例〗用數(shù)學(xué)歸納法證明： 。
思路解析：按數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟。
解答：（1）當(dāng)n=1時，等式左邊= ，等式右邊= ，∴等式成立.
(2)假設(shè)n=k(k≥1.k∈ )時等式成立,即 成立,那么當(dāng)n=k+1時,
即n=k+1時等式成立.
由(1)、(2)可知,對任意n∈ 等式均成立.
(二)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題
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整除問題是常見數(shù)學(xué)問題,除了在二項式定理中利用二項式定理證明整除外,有些還可用數(shù)學(xué)歸納法,應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題時,關(guān)鍵是“湊項”，采用增項、減項、拆項和因式分解等方法。也可以說將式子“硬提公因式”，即將n=k時的項從n=k+1時的項中“硬提出來”，構(gòu)成n=k時的項，后面的式子相對變形，使之與n=k+1時的項相同，從而達(dá)到利用假設(shè)的目的。
※例題解析※
〖例〗用數(shù)學(xué)歸納法證明 能被 整除（n∈ ）。
思路解析：驗(yàn)證n=1時命題是否成立 假設(shè)n=k時命題成立 推證n=k+1時命題成立 得結(jié)論。
解答：（1）當(dāng)n=1時，
（2）假設(shè)n=k(k∈ )時， 能被 整除，則當(dāng)n=k+1時，
（三）用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題
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在幾何問題中，常有與n有關(guān)的幾何證明，其中有交點(diǎn)個數(shù)、內(nèi)角和、將平面分成若干部分等問題。這些問題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，利用數(shù)學(xué)歸納法證明這些問題時，關(guān)鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k+1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，在實(shí)在分析不出來的情況下，將n=k+1和n=k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何命題的一大技巧。
※例題解析※
〖例1〗平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，求證：這n條直線把平面割成 個區(qū)域。
思路解析：n=k+1時，第k+1條直線被前k條直線分成（k+1）段，而每一段將它們所在區(qū)域一分為2，故增加了k+1個區(qū)域。
解答：（1）當(dāng)n=1時，一條直線把平面分成兩部分，又 ∴n=1時命題成立。
（2）假設(shè)n=k(k∈ )時，命題成立，即k條滿足題意的直線把平面分割成 個區(qū)域。那么，當(dāng)n=k+1時，k+1條直線中的k條直線把平面分成 個區(qū)域，第k+1條直線被這k條直線分成k+1段，每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊。因此增加了k+1區(qū)域，∴k+1條直線把平面分成了 個區(qū)域。∴n=k+1時命題也成立。由（1）、（2）知，對一切的n∈ ,此命題均成立。
〖例2〗平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都交于兩點(diǎn)，且無三個圓交于一點(diǎn)，求證：這n個圓將平面分成n2+n+2個部分.
證明：（1）n=1時，1個圓將平面分成2部分，顯然命題成立。
（2）假設(shè)n=k(k∈ )時，k個圓將平面分成k2-k+2個部分。當(dāng)n=k+1時，第k+1個圓Ck+1交前面2k個點(diǎn)，這2k個點(diǎn)將圓Ck+1分成2k段，每段各自所在區(qū)域一分為二，于是增加了2k個區(qū)域，所以這k+1個圓將平面分成k2-k+2+2k個部分，即(k+1)2-(k+1)+2個部分。故n=k+1時，命題成立。由（1）、（2）可知，對任意n∈ 命題成立。
注：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n=k成立得n=k+1成立，主要方法有：①放縮法；②利用基本不等式；③作差比較法等。
（四）數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題
〖例〗（安徽卷21）．（本小題滿分13分）
設(shè)數(shù)列 滿足 為實(shí)數(shù)
（1）證明： 對任意 成立的充分必要條件是 ；
（2）設(shè) ，證明： ;
（3）設(shè) ，證明：
思路解析：（1）充要條件的證明要從充分性和必要性兩個方面證明，證明充分性時可用數(shù)學(xué)歸納法；（2）注意應(yīng)用（1）的結(jié)論，利用放縮法證明。
解答： (1) 必要性 ： ，
又 ，即
充分性 ：設(shè) ，對 用數(shù)學(xué)歸納法證明
當(dāng) 時， .假設(shè)
則 ，且
，由數(shù)學(xué)歸納法知 對所有 成立
(2) 設(shè) ，當(dāng) 時， ，結(jié)論成立
當(dāng) 時，
,由（1）知 ，所以 且
(3) 設(shè) ，當(dāng) 時， ，結(jié)論成立
當(dāng) 時，由（2）知
【感悟高考真題】
1.（2011?江西高考理科?Ｔ7） 觀察下列各式：55=3 125, 56=15 625, 57=78 125，???，則52011 的末四位數(shù)字為( )
A、3125 B、5625 C、0625 D、8125
【思路點(diǎn)撥】只需求出 ，即可發(fā)現(xiàn)每個數(shù)的末四位數(shù)呈周期變化.
【精講精析】選D.由題意可得， ，經(jīng)觀察易知，每個數(shù)的末四位數(shù)呈周期變化，T=4，又因?yàn)?011=4 502+3，所以52011 的末四位數(shù)字為8125.
2. （2011?山東高考理科?Ｔ15）設(shè)函數(shù) （x＞0），觀察：
，
f2(x)=f(f1（x）)= ，
f3(x)=f(f2（x）)= ，
f4(x)=f(f3（x）)= ，
……
根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：
當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn（x）=f（fn-1（x））= .
【思路點(diǎn)撥】本題應(yīng)多寫幾項來歸納總結(jié)，考察了合情推理的推理過程.
【精講精析】由已知：
f2(x)=f(f1（x）)= = =
f3(x)=f(f2（x）)= = =
f4(x)=f(f3（x）)= = =
猜想：fn(x)=
3. （2011?湖南高考理科?T22）（13分） 已知函數(shù)f(x)= g(x)=x+ .
（Ⅰ）求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a }( )滿足 ,f(a )=g( ),證明：存在常數(shù)M，使得對于任意的 ，都有
【思路點(diǎn)撥】本題以函數(shù)為載體考查，考查函數(shù)的零點(diǎn)、方程的解、函數(shù)圖象的交點(diǎn)之間的相互轉(zhuǎn)化，兼顧考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用.進(jìn)而以函數(shù)為載體引出數(shù)列再考查數(shù)列.考查學(xué)生的函數(shù)和方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想，由線問題轉(zhuǎn)化為到點(diǎn)問題.綜合能力很強(qiáng)，要求學(xué)生有深層次的思維能力和邏輯推理能力.較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是解決本題的關(guān)鍵.
【精講精析】
（I）由 知， ，而 ，且 ，則 為 的一個零點(diǎn)，且 在 內(nèi)有零點(diǎn)，因此 至少有兩個零點(diǎn)
解法1： ，記 ，則 .
當(dāng) 時， ，因此 在 上單調(diào)遞增，則 在 內(nèi)至多只有一個零點(diǎn).又因?yàn)?，則 在 內(nèi)有零點(diǎn)，所以 在 內(nèi)有且只有一個零點(diǎn).記此零點(diǎn)為 ，則當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ；
所以，當(dāng) 時， 單調(diào)遞減，而 ，則 在 內(nèi)無零點(diǎn)；
當(dāng) 時， 單調(diào)遞增，則 在 內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)；
從而 在 內(nèi)至多只有一個零點(diǎn).綜上所述， 有且只有兩個零點(diǎn).
解法2： ，記 ，則 .
當(dāng) 時， ，因此 在 上單調(diào)遞增，則 在 內(nèi)至多只有一個零點(diǎn).因此 在 內(nèi)也至多只有一個零點(diǎn)，
綜上所述， 有且只有兩個零點(diǎn).
（II）記 的正零點(diǎn)為 ，即 .
（1）當(dāng) 時，由 ，即 .而 ，因此 ，由此猜測： .下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng) 時， 顯然成立；
②假設(shè)當(dāng) 時，有 成立，則當(dāng) 時，由
知， ，因此，當(dāng) 時， 成立.
故對任意的 ， 成立.
（2）當(dāng) 時，由（1）知， 在 上單調(diào)遞增.則 ，即 .從而 ，即 ，由此猜測： .下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng) 時， 顯然成立；
②假設(shè)當(dāng) 時，有 成立，則當(dāng) 時，由
知， ，因此，當(dāng) 時， 成立.
故對任意的 ， 成立.
綜上所述，存在常數(shù) ，使得對于任意的 ，都有 .
【考點(diǎn)模擬精練】
一、選擇題
1、下面說法正確的有�。� ）
（1）演繹推理是由一般到特殊的推理；（2）演繹推理得到的結(jié)論一定是正確的；（3）演繹推理一般模式是“三段論”形式；（4）演繹推理的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理形有關(guān)
（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個
答案: C
2、數(shù)列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( )
(A)28 (B)32 (C)33 (D)27
【解析】選B. 5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12,所以x=32.
3、命題：“有些有理數(shù)是分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是分?jǐn)?shù)”結(jié)論是錯誤的，其原因是�。� ）
（A）大前提錯誤 （B）小前提錯誤 （C）推理形式錯誤 （D）以上都不是
答案: A
4、函數(shù) 在下列那個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù) （）
（A）（ ， ） （B）（ ， ） （C）（ ， ） （D）（ ， ）
答案: B
5、在 ， ， ， 這四個函數(shù)中，當(dāng) 時，使 恒成立的函數(shù)的個數(shù)是�。ǎ�
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
答案: C
6、設(shè) 、 、 都是正整數(shù)，且 ，則下列不等式中恒不成立的是�。ǎ�
（A） （B） （C） （D）
答案: A
7、 ， ，且 ， ， ，則 的值一定 （）
（A）大于零 （B）等于零 （C）小于零 （D）正負(fù)都有可能
答案: A
8、設(shè) 是定義在R上的函數(shù)且 ，且 ，則 （ ）
（A） （B） （C） （D）
答案: A
9、在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為 n(n－3)條時，第一步驗(yàn)證n等于（ ）
A. 1 B.2 C.3 D.0
答案: C
10、(2011?濟(jì)南模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明 則當(dāng)n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上( )
(A)k2+1
(B)(k+1)2
(C)
(D)(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
【解析】選D.當(dāng)n=k時，左端=1+2+3+…+k2.
當(dāng)n=k+1時，左端=1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2,
故當(dāng)n=k+1時，左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上(k2+1)+(k2+2)+…
+(k+1)2.故應(yīng)選D.
11、用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1)(n+2)…(n+n)=2n?1?3?5?…（2n－1)(n∈N*)時，假設(shè)n=k時成立，若證n=k+1時也成立，兩邊同乘（）
A.2k+1B. C. D.
答案: C
12、上一個n級臺階，若每步可上一級或兩級,設(shè)上法總數(shù)為f(n),則下列猜想中正確的是（）
A.f(n)=n B.f(n)=f(n－1)+f(n－2)
C.f(n)=f(n－1)?f(n－2) D.f(n)=
答案: D
二、填空題
13、在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形展品，其中第一堆只有一層，就一個球，第三2、3、4、…堆最底層（第一層）分別按下圖方式固定擺放，從第二層開始每層小球的小球自然壘放在下一層之上，第 堆的第 層就放一個乒乓球，以 表示第 堆的乒乓球總數(shù)，則 =_____； =__（用 表示）
答案:10
14、從1=1， ， ， ，…歸納出第 個式子為_____.
答案:
15、(2011?徐州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn+yn能被x+y整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n=2k-1(k∈N+)命題為真時，進(jìn)而需證n=________時，命題亦真.
【解析】因?yàn)閚為正奇數(shù)，所以與2k-1相鄰的下一個奇數(shù)是2k+1.
答案：2k+1
16、有下列推理：
①A，B為定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足PA+PB=2a>AB,則P的軌跡為橢圓
②由a1=1,an=3n-1,求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項和Sn的表達(dá)式
③由圓x2+y2=r2的面積πr2，猜想出橢圓 的面積S=πab
④科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇
以上推理不是歸納推理的序號是______.
(把所有你認(rèn)為正確的序號都填上)
【解析】①為演繹推理,②為歸納推理,③④為類比推理.
答案：①③④
三、解答題
17、(2011?哈爾濱模擬)已知數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n, 求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
【證明】由an+1=2an+2n.得即bn+1=bn+1(n∈N*)，又b1= ∴{bn}是首項為b1=1,公差為d=1的等差數(shù)列.
故存在正整數(shù)m=8，使得對于任意正整數(shù)n都有
18、(2011?杭州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明: (n∈N+，n＞1).
解析:
【證明】(1)當(dāng)n=2時，左邊=
右邊=1,不等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2，k∈N+)時，不等式成立，即
那么當(dāng)n=k+1時，
這就是說，當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.
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