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2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(陜西卷)
文科數(shù)學
注意事項:
1. 本試卷分為兩部分, 第一部分為, 第二部分為非.
2. 考生領(lǐng)到試卷后, 須按規(guī)定在試卷上填寫姓名、準考證號，并在答題卡上填涂對應(yīng)的試卷類型信息.
3. 所有解答必須填寫在答題卡上指定區(qū)域內(nèi). 考試結(jié)束后, 將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分(共50分)
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1. 設(shè)全集為R, 函數(shù) 的定義域為, 則 為
(A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (D)
2. 已知向量 , 若a//b, 則實數(shù)等于
(A) (B)
(C) 或 (D) 0
3. 設(shè)a, b, c均為不等于1的正實數(shù), 則下列等式中恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
4. 根據(jù)下列算法語句, 當輸入x為60時, 輸出y的值為
(A) 25
(B) 30
(C) 31
(D) 61

5. 對一批產(chǎn)品的長度(單位: )進行抽樣檢測, 下圖喂檢測結(jié)果的頻率分布直方圖. 根據(jù)標準, 產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上的為一等品, 在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品, 在區(qū)間[10,15)和[30,35)上的為三等品. 用頻率估計概率, 現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取一件, 則其為二等品的概率為

(A) 0.09(B) 0.20 (C) 0.25(D) 0.45
6. 設(shè)z是復數(shù), 則下列命題中的假命題是
(A) 若 , 則z是實數(shù)(B) 若 , 則z是虛數(shù)
(C) 若z是虛數(shù), 則 (D) 若z是純虛數(shù), 則
7. 若點(x,y)位于曲線y = x與y = 2所圍成的封閉區(qū)域, 則2x－y的最小值為
(A) －6(B) －2(C) 0(D) 2
8. 已知點(a,b)在圓 外, 則直線ax + by = 1與圓O的位置關(guān)系是
(A) 相切(B) 相交(C) 相離(D) 不確定
9. 設(shè)△ABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, 若 , 則△ABC的形狀為
(A) 直角三角形(B) 銳角三角形(C) 鈍角三角形(D) 不確定
10. 設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù), 則對任意實數(shù)x, y, 有
(A) [－x] = －[x](B) [x + ] = [x]
(C) [2x] = 2[x](D)

二、題：把答案填寫在答題卡相應(yīng)題號后的橫線上（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11. 雙曲線 的離心率為 .
12. 某幾何體的三視圖如圖所示, 則其表面積為 .
13. 觀察下列等式:

…
照此規(guī)律, 第n個等式可為 .
14. 在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為 ().
15. (考生請注意:請在下列三題中任選一題作答, 如果多做, 則按所做的第一題計分)
A. (不等式選做題) 設(shè)a, b∈R, a－b>2, 則關(guān)于實數(shù)x的不等式 的解集是 .
B. (幾何證明選做題) 如圖, AB與CD相交于點E, 過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P. 已知 , PD = 2DA = 2, 則PE = .
C. (坐標系與參數(shù)方程選做題) 圓錐曲線 (t為參數(shù))的焦點坐標是 .
三、解答題: 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程及演算步驟（本大題共6小題，共75分）
16. (本小題滿分12分)
已知向量 , 設(shè)函數(shù) .
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在 上的最大值和最小值.

17. (本小題滿分12分)
設(shè)Sn表示數(shù)列 的前n項和.
(Ⅰ) 若 為等差數(shù)列, 推導Sn的計算公式;
(Ⅱ) 若 , 且對所有正整數(shù)n, 有 . 判斷 是否為等比數(shù)列.

18. (本小題滿分12分)
如圖, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .

(Ⅰ) 證明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的體積.

19. (本小題滿分12分)
有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽, 由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名次, 根據(jù)年齡將大眾評委分為5組, 各組的人數(shù)如下:
組別ABCDE
人數(shù)5010015015050
(Ⅰ) 為了調(diào)查評委對7位歌手的支持狀況, 現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委, 其中從B組中抽取了6人. 請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表.
組別ABCDE
人數(shù)5010015015050
抽取人數(shù)6
(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手, 現(xiàn)從這兩組被抽到的評委中分別任選1人, 求這2人都支持1號歌手的概率.

20. (本小題滿分13分)
已知動點(x,y)到直線l:x = 4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.
(Ⅰ) 求動點的軌跡C的方程;
(Ⅱ) 過點P(0,3)的直線與軌跡C交于A, B兩點. 若A是PB的中點, 求直線的斜率.

21. (本小題滿分14分)
已知函數(shù) .
(Ⅰ) 求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程;
(Ⅱ) 證明: 曲線y = f (x) 與曲線 有唯一公共點.
(Ⅲ) 設(shè)a<b, 比較 與 的大小, 并說明理由.

答案：
1.【答案】B 2. 【答案】C3. 【答案】B4. 【答案】C5. 【答案】D
6. 【答案】C7. 【答案】A8. 【答案】B9. 【答案】A10. 【答案】D
11. 【答案】 12. 【答案】 13. 【答案】
14. 【答案】20
15. A 【答案】R
B 【答案】
C 【答案】 (1, 0)
16【解】 = 。
最小正周期 。
所以 最小正周期為 。
(Ⅱ) .
.
所以，f (x) 在 上的最大值和最小值分別為 .
17【解】(Ⅰ) 設(shè)公差為d,則
.
(Ⅱ) 。

.
所以, 是首項 ,公比 的等比數(shù)列。

18【解】 (Ⅰ) 設(shè) .
.

.(證畢)
(Ⅱ) .
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
所以， .
19【解】 (Ⅰ) 按相同的比例從不同的組中抽取人數(shù)。
從B組100人中抽取6人，即從50人中抽取3人，從100人中抽取6人，從100人中抽取9人。
(Ⅱ) A組抽取的3人中有2人支持1號歌手，則從3人中任選1人，支持支持1號歌手的概率為 •
B組抽取的6人中有2人支持1號歌手，則從6人中任選1人，支持支持1號歌手的概率為 •
現(xiàn)從抽樣評委A組3人,B組6人中各自任選一人，則這2人都支持1號歌手的概率 .
所以，從A,B兩組抽樣評委中，各自任選一人，則這2人都支持1號歌手的概率為 .
20.【解】 (Ⅰ) 點(x,y)到直線x=4的距離,是到點N(1,0)的距離的2倍，則
.
所以，動點的軌跡為 橢圓，方程為
(Ⅱ) P(0, 3), 設(shè)
橢圓 經(jīng)檢驗直線不經(jīng)過這2點，即直線斜率k存在。 .聯(lián)立橢圓和直線方程，整理得：


所以，直線的斜率
21. 【答案】(Ⅰ) y = x+ 1.
當 時,有0個公共點；當= ,有1個公共點；當 有2個公共點；
(Ⅲ) >
(Ⅱ) (Ⅰ) f (x)的反函數(shù) ,則y=g(x)過點（1,0）的切線斜率k= .
.過點（1,0）的切線方程為：y = x+ 1
(Ⅱ) 證明曲線y=f(x)與曲線 有唯一公共點，過程如下。


因此，
所以，曲線y=f(x)與曲線 只有唯一公共點(0,1).(證畢）
(Ⅲ) 設(shè)

令 。
，且
。

山
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