第 節(jié)　等差數(shù)列
　　　　 　 　　　　　　 　　　　　　 　　
【選題明細(xì)表】
知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)
等差數(shù)列的基本運(yùn)算1、3
等差數(shù)列的性質(zhì)2、4、5、9
等差數(shù)列的判定8、11
等差數(shù)列的最值問題6、7
綜合應(yīng)用問題10、12
一、
1.(2012年高考重慶卷)在等差數(shù)列{an}中,a2=1,a4=5,則{an}的前5項(xiàng)和S5等于(　B　)
(A)7(B)15 (C)20(D)25
解析:∵{an}是等差數(shù)列,
∴ ⇒
∴S5=5a1+ d=5×(-1)+10×2=15,
故選B.
2.(2012年高考福建卷)等差數(shù)列{an}中,a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列{an}的公差為(　B　)
(A)1(B)2(C)3(D)4
解析:∵a1+a5=2a3=10,
∴a3=5,
又∵a4=7,
∴d=2,故選B.
3.(2013天津市新華中學(xué)月考)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S5=3(a2+a8),則 的值為(　D　)
(A) (B) (C) (D)
解析:由S5=3(a2+a8)得,
=3×2a5,
即5a3=6a5,
所以 = ,
故選D.
4.(2012金華一中月考)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S5=3(a2+a8),則 等于(　A　)
(A) (B) (C) (D)
解析:由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,S5=5a3,a2+a8=2a5,
因?yàn)镾5=3(a2+a8),
所以5a3=3×2a5, = ,
故選A.
5.(2012廈門市高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢查)在等差數(shù)列{an}中,an>0,且a1+a2+…+a10=30,則a5•a6的最大值等于(　C　)
(A)3(B)6(C)9(D)36
解析:∵a1+a2+…+a10=30,
即 =30,a1+a10=6,
∴a5+a6=6,
∴a5•a6≤ =9,
故選C.
6.(2012北京海淀)若數(shù)列{an}滿足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí),n的值為(　B　)
(A)6(B)7(C)8(D)9
解析:∵an+1-an=-3(n∈N*),
∴數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng),-3為公差的等差數(shù)列,
∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.設(shè)前k項(xiàng)和最大,
則有
∴
∴ ≤k≤ ,
∵k∈N*,
∴k=7.
故滿足條件的n的值為7.
故選B.
二、題
7.(2012西安八校聯(lián)考)植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹,每人植一棵,相鄰兩棵樹相距10米.開始時(shí)需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊,使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小,這個(gè)最小值為　　　　米.
解析:設(shè)樹苗放在第i個(gè)樹坑旁邊(如圖),

那么各個(gè)樹坑到第i個(gè)樹坑距離的和是
s=(i-1)×10+(i-2)×10+…+(i-i)×10+[(i+1)-i]×10+…+(20-i)×10=10×[i×i- -i×(20-i)+ ]=10(i2-21i+210),
所以當(dāng)i=10或11時(shí),s的值最小,最小值是1000,
所以往返路程的最小值是2000米.
答案:2000
8.已知數(shù)列{an} 中,a1=1且 = + (n∈N*),則a10= 　　　　 .
解析:由 = + 知,
數(shù)列 為等差數(shù)列,
則 =1+ (n-1),
即an= .
∴a10= = .
答案:
9.(2012煙臺(tái)高三質(zhì)檢)由正數(shù)組成的等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,且 = ,則 =　　　　.
解析:由 = = ,
∴取n=3,
則有 = = .
答案:
三、解答題
10.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a2+a4=14,S7=70.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= ,則數(shù)列{bn}的最小項(xiàng)是第幾項(xiàng)?并求出該項(xiàng)的值.
解:(1)設(shè)公差為d,
則有
即
解得
所以an=3n-2.
(2)數(shù)列{bn}的最小項(xiàng)是第4項(xiàng),
Sn= [1+(3n-2)]= ,
所以bn= =3n+ -1≥2 -1=23.
當(dāng)且僅當(dāng)3n= ,
即n=4時(shí)取等號(hào),
故數(shù)列{bn}的最小項(xiàng)是第4項(xiàng),該項(xiàng)的值為23.
11.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),前n項(xiàng)和為Sn,且滿足2Sn= +n-4(n∈N*).
(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(1)證明:當(dāng)n=1時(shí),有2a1= +1-4,
即 -2a1-3=0,
解得a1=3(a1=-1舍去).
當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1= +n-5,
又2Sn= +n-4,
兩式相減得2an= - +1,
即 -2an+1= ,
也即(an-1)2= ,
因此an-1=an-1或an-1=-an-1.
若an-1=-an-1,
則an+an-1=1.
而a1=3,
所以a2=-2,
這與數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)相矛盾,
所以an-1=an-1,
即an-an-1=1,
因此數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
(2)解:由(1)知a1=3,d=1,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3+(n-1)×1=n+2,
即an=n+2.
12.(2013南充市第一次適應(yīng)性考試)設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知對(duì)任意n∈N*,Sn是 和an的等差中項(xiàng).
(1)證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明: + +…+ <2.
(1)解:由已知,2Sn= +an,且an>0.
當(dāng)n=1時(shí),2a1= +a1,
解得a1=1.
當(dāng)n≥2時(shí),有2Sn-1= +an-1.
于是2Sn-2Sn-1= - +an-an-1,
即2an= - +an-an-1,
于是 - =an+an-1,
即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1.
因?yàn)閍n+an-1>0,
所以an-an-1=1(n≥2).
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,
且an=n.
(2)證明:因?yàn)閍n=n,
則Sn= , = =2 .
所以 + +…+
=2 + +…+
=2

本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/80619.html

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