選修4-1 幾何證明選講

A組(供高考題型為選擇、題的省份使用)
1．如圖，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，則BE＝________.
解析　∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°，
∴CD2＝AD2－AC2＝128，∴CD＝8.
又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC，
∴＝，∴BE＝＝＝4.
答案　4
2．如圖，A，E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，直徑BC＝4，AD⊥BC，垂足為D，BE與AD相交于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
解析　如圖，連接CE，AO，AB.根據(jù)A，E是半圓周上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，BC為直徑，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB為等邊三角形，AD＝，OD＝BD＝1，∴DF＝，
∴AF＝AD－DF＝.
答案　
3．如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段AB，AD的中點(diǎn)，則EF＝________.
解析　連接DE，由于E是AB的中點(diǎn)，故BE＝.
又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB，
∴四邊形EBCD是矩形．
在Rt△ADE中，AD＝a，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，故EF＝.
答案　
4．如圖，已知PA，PB是圓O的切線，A，B分別為切點(diǎn)，C為圓O上不與A，B重合的另一點(diǎn)，若∠ACB＝120°，則∠APB＝________.
解析　如圖，連接OA，OB，∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠ACB＝120°，
∴∠AOB＝120°.又P，A，O，B四點(diǎn)共圓，故∠APB＝60°.
答案　60°
5．如圖，點(diǎn)P在圓O直徑AB的延長(zhǎng)線上，且PB＝OB＝2，PC切圓O于C點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，則CD＝________.
解析　由切割線定理知，PC2＝PA?PB，解得PC＝2.連接OC，又OC⊥PC，故CD＝＝＝.
答案　
6．如圖，點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，則線段AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
解析　由切割線定理，得CD2＝BD?AD.
因?yàn)镃D＝6，AB＝5，則36＝BD(BD＋5)，
即BD2＋5BD－36＝0，
即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以BD＝4.
因?yàn)椤螦＝∠BCD，所以△ADC∽△CDB，于是＝.
所以AC＝?BC＝×3＝.
答案　
7．(2013?重慶卷)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，過(guò)C作△ABC的外接圓的切線CD，BD⊥CD，BD與外接圓交于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
解析　由題意，得弦切角∠BCD＝∠A＝60°，∠ACB＝∠D＝90°，∴△ABC∽△CBD.
∴＝，CD＝＝＝5.
又∵CD與圓相切，∴CD2＝DE?DB，則DE＝＝＝＝5.
答案　5
8．如圖，⊙O的割線PBA過(guò)圓心O，弦CD交PA于點(diǎn)F，且△COF∽△PDF，若PB＝OA＝2，則PF＝________.
解析　由相交弦定理可得BF?AF＝DF?CF，
由△COF∽△PDF可得＝，
即得DF?CF＝PF?OF.∴BF?AF＝PF?OF，
即(PF－2)?(6－PF)＝PF?(4－PF)，解得PF＝3.
答案　3
9．如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P.若＝，＝，則的值為_(kāi)_______．
解析　∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，
∴△PCB∽△PAD.∴＝＝.
∵＝，＝，∴＝.
答案　
10．(2013?廣東卷)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上，延長(zhǎng)BC到D使BC＝CD，過(guò)C作圓O的切線交AD于E.若AB＝6，ED＝2，則BC＝________.

解析　C為BD中點(diǎn)，且AC⊥BC，故△ABD為等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又＝⇒AC2＝AE?AD＝4×6＝24，AC＝2，在△ABC中，BC＝＝＝2.
答案　2
11．如圖，已知Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3 c，4 c，以AC為直徑的圓與AB交于點(diǎn)D，則BD＝________c.
解析　如圖，連接DC，則CD⊥AB，
Rt△ADC∽R(shí)t△ACB.
故＝，即＝，
AD＝(c)，BD＝5－＝(c)．
答案　
12．如圖所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，∠PBA＝∠DBA.若AD＝，AC＝n，則AB＝________.
解析　∵直線PB與圓相切于點(diǎn)B，且∠PBA＝∠DBA，
∴∠ACB＝∠ABP＝∠DBA，由此可得直線AB是△BCD外接圓的切線且B是切點(diǎn)，則由切割線定理得AB2＝AD?AC＝n，即得AB＝.
答案　
13．如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF＝3，F(xiàn)B＝1，EF＝，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

解析　由相交弦定理得AF?FB＝EF?FC，
∴FC＝＝2.由△AFC∽△ABD，
可知＝，∴BD＝＝.
由切割線定理得DB2＝DC?DA，又DA＝4CD，
∴4DC2＝DB2＝，∴DC＝.
答案　
14．如圖所示，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．
解析　設(shè)AF＝4k，BF＝2k，BE＝k，由DF?FC＝AF?BF，得2＝8k2，即k＝.所以AF＝2，BF＝1，BE＝，
AE＝.由切割線定理，得CE2＝BE?EA＝×＝，所以CE＝.
答案　
15．如圖，點(diǎn)D在⊙O的弦AB上移動(dòng)，AB＝4，連接OD，過(guò)點(diǎn)D作OD的垂線交⊙O于點(diǎn)C，則CD的最大值為_(kāi)_______．
解析　當(dāng)OD的值最小時(shí)，DC最大，易知D為AB的中點(diǎn)時(shí)，DB＝DC＝2最大．
答案　2
B組(供高考題型為解答題的省份使用)
1．如圖，△ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E.
(1)證明：△ABE∽△ADC；
(2)若△ABC的面積S＝AD?AE，求∠BAC的大小．
(1)證明　由已知條件，可得∠BAE＝∠CAD.因?yàn)椤螦EB與∠ACB是同弧上的圓周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.
(2)解　因?yàn)椤鰽BE∽△ADC，所以＝，
即AB?AC＝AD?AE.
又S＝AB?ACsin∠BAC，且S＝AD?AE，
故AB?AC?sin∠BAC＝AD?AE.
則sin∠BAC＝1，又∠BAC為三角形內(nèi)角，所以∠BAC＝90°.
2．(2013?遼寧卷)如圖，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：
(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD?BC.
證明　(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.
由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，
從而∠EAB＋∠EBF＝；
又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，
從而∠FEB＝∠EAB.
故∠FEB＝∠CEB.
(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，
∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，
得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.
同理可證，得AD＝AF.
又在Rt△AEB中，EF⊥AB，
故EF2＝AF?BF，所以EF2＝AD?BC.
3．如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)作它的一條切線，切點(diǎn)為A，過(guò)A點(diǎn)作直線AP垂直直線O，垂足為P.

(1)證明：O?OP＝OA2；
(2)N為線段AP上一點(diǎn)，直線NB垂直直線ON，且交圓O于B點(diǎn)．過(guò)B點(diǎn)的切線交直線ON于K.證明：∠OK＝90°.
證明　(1)因?yàn)锳是圓O的切線，所以O(shè)A⊥A.又因?yàn)锳P⊥O，在Rt△OA中，由射影定理知，OA2＝O?OP.
(2)因?yàn)锽K是圓O的切線，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON?OK，又OB＝OA，所以O(shè)P?O＝ON?OK，
即＝.又∠NOP＝∠OK，
所以△ONP∽△OK，故∠OK＝∠OPN＝90°.
4．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圓劣弧上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)，延長(zhǎng)BD至E.
(1)求證：AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE；
(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC邊上的高為2＋，求△ABC外接圓的面積．
(1)證明　如圖，設(shè)F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．
∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓，

∴∠CDF＝∠ABC.
又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
且∠ADB＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠CDF.
又∠EDF＝∠ADB，
故∠EDF＝∠CDF，
即AD的延長(zhǎng)線平分∠CDE.
(2)解　設(shè)O為外接圓圓心，連接AO交BC于H，
則AH⊥BC.
連接OC，由題意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，
∴∠OCH＝60°.
設(shè)圓半徑為r，則r＋r＝2＋，
得r＝2，外接圓面積為4π.
5．如圖，梯形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD∥BC，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證：AB2＝DE?BC；
(2)若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切線PC的長(zhǎng)．
(1)證明　∵AD∥BC，∴＝.
∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.
又PC與⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.
∴△CDE∽△BCD.∴＝.
∴CD2＝DE?BC，即AB2＝DE?BC.
(2)解　由(1)知，DE＝＝＝4，
∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，
∴＝＝.
又∵PB－PD＝9，
∴PD＝，PB＝.
∴PC2＝PD?PB＝?＝.∴PC＝.
6．(2013?新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)如圖，直線AB為圓O的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D.

(1)證明：DB＝DC；
(2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑．
(1)證明　連接DE，則∠DCB＝∠DEB，
∵DB⊥BE，
∴∠DBC＋∠CBE＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，
∴∠DBC＋∠CBE＝∠DEB＋∠EDB，
又∠CBE＝∠EBF＝∠EDB，
∴∠DBC＝∠DEB＝∠DCB，
∴DB＝DC.
(2)解　由(1)知：∠CBE＝∠EBF＝∠BCE，
∴＝，
∴∠BDE＝∠CDE，
∴DE是BC的垂直平分線，
設(shè)交點(diǎn)為H，則BH＝，
∴OH＝＝，
∴DH＝，
∴tan∠BDE＝＝，
∴∠BDE＝30°，
∴∠FBE＝∠BDE＝30°，
∴∠CBF＋∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BC是△BCF的外接圓直徑．
∴△BCF的外接圓半徑為.

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/80885.html

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