2014屆高三模擬題（理）

一、（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）
1.在數(shù)列 中， ， ，則 （ ）
A． B．
C． D．

2.．已知等差數(shù)列 中， ， ，若 ，則數(shù)列 的前5項(xiàng)和等于 （ ）
A．30B．45C．90D．186

3.設(shè)等比數(shù)列 的公比q=2，前n項(xiàng)和為Sn，則 = （ ）
A． B． C． D．

4.已知－9，a1，a2，－1四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，－9，b1，b2，b3，－1五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則b2(a2－a1)＝ （　�。�
A．8 　B．－8 C．±8 D．98

5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，若a1>0，S4＝S8，則當(dāng)Sn取得最大值時(shí)，n的值為
（　�。�
A．5 B．6 C．7 D．8

6.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝log2n+1n+2(n∈N＋)，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn<－5成立的正整數(shù)n （　�。�
A．有最小值63 B．有最大值63
C．有最小值31 D．有最大值31

7.設(shè)數(shù)列{an}是公比為a(a≠1)，首項(xiàng)為b的等比數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)和，對(duì)任意的n∈N＋ ，點(diǎn)(Sn ，Sn+1)在 （　�。�
A．直線y＝ax－b上 B．直線y＝bx＋a上
C．直線y＝bx－a上 D．直線y＝ax＋b上

8.數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn是前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2 時(shí)，an＝3Sn，則 的值是（　�。�
A．－2 B．－45 C．－13 D．1

9.北京市為成功舉辦2008年奧運(yùn)會(huì)，決定從2003年到2007年五年間更新市內(nèi)現(xiàn)有的全部出租車(chē)，若每年更新的車(chē)輛數(shù)比前一年遞增10%，則2003年底更新現(xiàn)有總車(chē)輛數(shù)(參考數(shù)據(jù)1.14＝1.46，1.15＝1.61) （　　）
A．10% B．16．5% C．16．8% D．20%

10.若數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的無(wú)窮等比數(shù)列，且 各項(xiàng)的和為a，則 的值是 （　�。�
A．1B．2C． D．

二、題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11.已知 ．我們把使乘積a1•a2•a3•…•an為整數(shù)的數(shù)n叫做“劣數(shù)”，則在區(qū)間（1，2004）內(nèi)的所有劣數(shù)的和為 ．

12.已知 為等差數(shù)列， ， ，則 ．

13. 在數(shù)列 在中， ， ， ,其中 為常數(shù)，則 ．

14.設(shè)數(shù)列 中， ，
則通項(xiàng) ___________．

15.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的規(guī)律，第n行（ ）從左向右的第3個(gè)數(shù)為 ．

三、解答題（本大題共6小題，共75分）
16.已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d>0，且第二項(xiàng)，第五項(xiàng)，第十四項(xiàng)分別是等比數(shù)列{bn}的第二項(xiàng)，第三項(xiàng)，第四項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意正整數(shù)n，均有 ，求c1＋c2＋c3＋…＋c2004的值．

17.已知f(x＋1)＝x2－4，等差數(shù)列{an}中，a1＝f(x－1)，a2＝－32 ，a3＝f(x)．求：
（1）x的值；
（2）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（3）a2＋a5＋a8＋…＋a26．

18.正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2Sn＝an+1．
（1）試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn＝1an•an+1，{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn<12．

19.設(shè)數(shù)列 滿足 其中 為實(shí)數(shù)，且
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）設(shè) ， ,求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ；
（Ⅲ）若 對(duì)任意 成立，證明

20.自然狀態(tài)下的魚(yú)類(lèi)是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響．用xn表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，n∈N＊，且x1>0．不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c．
（1）求xn＋1與xn的關(guān)系式；
（2）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變？（不要求證明）
（3）設(shè)a＝2，c＝1，為保證對(duì)任意x1∈（0，2），都有xn>0，n∈N＊，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論．

21.數(shù)列 滿足 ， （ ）， 是常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng) 時(shí)，求 及 的值；
（Ⅱ）數(shù)列 是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）求 的取值范圍，使得存在正整數(shù) ，當(dāng) 時(shí)總有 ．

答案解析

一、
22.A

23.C

24.C

25.B ∵

26.B

27.A

28.D ∵ ∴
故點(diǎn) 在直線y＝ax＋b上，選D．

29.C

30.B設(shè)現(xiàn)在總臺(tái)數(shù)為b，2003年更新a臺(tái)，則：b＝a＋a(1＋10%)＋……＋a(1＋10%)4．
∴ 選B．

31.B

二、題
32.∵ n＋2＝2k，由n＝2k－2∈(1，2004)有2≤k≤10(k∈Z)．故所有劣數(shù)的和為（22＋23＋……＋210）－2×9＝ －18＝2026．

33.15；

34.－1；

35. ；

36.

三、解答題
37.⑴由題意得（a1＋d）(a1＋13d)＝(a1＋4d)2(d>0) 解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝3n－1．
⑵當(dāng)n＝1時(shí)，c1＝3 當(dāng)n≥2時(shí)，∵ ∴ 故

38.⑴∵f(x＋1)＝(x＋)，∴f(x)＝(x－1)
∴a1＝f(x－1)＝(x－2)，a3＝(x－1)．
又a1＋a3＝2a2，∴x＝0，或x＝3．
（2）由（1）知a1，a2，a3分別是0，－32 ，－3或－3，－32 ，0．
∴
（3）當(dāng) 時(shí)，

當(dāng) 時(shí)，

39.（1）∵an>0， ，∴ ，則當(dāng)n≥2時(shí)，
即 ，而an>0，∴
又
（2）

40.解 (1) 方法一：

當(dāng) 時(shí)， 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列。
，即 。當(dāng) 時(shí)， 仍滿足上式。
數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 。
方法二
由題設(shè)得：當(dāng) 時(shí)，

時(shí)， 也滿足上式。
數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 。
(2)由（1）得

（3）由（1）知
若 ，則

由 對(duì)任意 成立，知 。下面證 ，用反證法
方法一：假設(shè) ，由函數(shù) 的函數(shù)圖象知，當(dāng) 趨于無(wú)窮大時(shí)， 趨于無(wú)窮大
不能對(duì) 恒成立，導(dǎo)致矛盾。 。

方法二：假設(shè) ， ，
即 恒成立 （＊）
為常數(shù)， （＊）式對(duì) 不能恒成立，導(dǎo)致矛盾，

41.解：（I）從第n年初到第n+1年初，魚(yú)群的繁殖量為axn，被捕撈量為bxn，死亡量為

（II）若每年年初魚(yú)群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*，從而由（*）式得

因?yàn)閤1>0，所以a>b.
猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且 時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變.
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0<xn<3－b, n∈N*, 特別地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.
而x1∈(0, 2)，所以 由此猜測(cè)b的最大允許值是1.
下證 當(dāng)x1∈(0, 2) ，b=1時(shí)，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即xk∈(0, 2),
則當(dāng)n=k+1時(shí)，xk+1=xk(2－xk¬)>0.
又因?yàn)閤k+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
綜上所述，為保證對(duì)任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1．

42.解：（Ⅰ）由于 ，且 ．
所以當(dāng) 時(shí)，得 ，
故 ．
從而 ．
（Ⅱ）數(shù)列 不可能為等差數(shù)列，證明如下：
由 ， 得
， ， ．
若存在 ，使 為等差數(shù)列，則 ，即 ，
解得 ．
于是 ， ．
這與 為等差數(shù)列矛盾．所以，對(duì)任意 ， 都不可能是等差數(shù)列．
（Ⅲ）記 ，根據(jù)題意可知， 且 ，即 且 ，這時(shí)總存在 ，滿足：當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ．
所以由 及 可知，若 為偶數(shù)，則 ，從而當(dāng) 時(shí)， ；若 為奇數(shù)，則 ，從而當(dāng) 時(shí) ．
因此“存在 ，當(dāng) 時(shí)總有 ”的充分必要條件是： 為偶數(shù)，
記 ，則 滿足
．
故 的取值范圍是 ．

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaosan/81223.html

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