四川省內(nèi)江市2012-2013學(xué)年期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一．選擇題：本大共10小題，每小題5分，共50分；在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在答題卡的指定位置．1．（5分）計(jì)算cos23°sin53°?sin23°cos53°的值等于（　�。�　A．B．C．D．考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：三角函數(shù)的求值．分析：利用兩角差的正弦公式將式子化簡(jiǎn)，再由特殊角的正弦值求出即可．解答：解：由題意得，cos23°sin53°?sin23°cos53°=sin（53°?23°）=sin30°=，故選A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角差的正弦公式的逆用，關(guān)鍵是熟練掌握公式并會(huì)運(yùn)用．　2．（5分）已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，?a，?b的大小關(guān)系是（　�。�　A．a(chǎn)＞b＞?b＞?aB．a(chǎn)＞?b＞?a＞bC．a(chǎn)＞?b＞b＞?aD．a(chǎn)＞b＞?a＞?b考點(diǎn)：不等式比較大�。畬ｎ}：常規(guī)題型．分析：法一：特殊值法，令a=2，b=?1代入檢驗(yàn)即可．法二：利用不等式的性質(zhì)，及不等式的符號(hào)法則，先把正數(shù)的大小比較出來(lái)，再把負(fù)數(shù)的大小比較出來(lái)．解答：解：法一：∵A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中，每個(gè)選項(xiàng)都是唯一確定的答案，∴可用特殊值法．令a=2，b=?1，則有2＞?（?1）＞?1＞?2，即a＞?b＞b＞?a．法二：∵a+b＞0，b＜0，∴a＞?b＞0，?a＜b＜0，∴a＞?b＞0＞b＞?a，即a＞?b＞b＞?a．點(diǎn)評(píng)：在限定條件下，比較幾個(gè)式子的大小，可以用特殊值法，也利用不等式的性質(zhì)及符號(hào)法則直接推導(dǎo)．　3．（5分）若直線x+ay+2=0和直線2x+3y+1=0互相垂直，則a的值為（　�。�　A．B．C．D．考點(diǎn)：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．.專題：計(jì)算題．分析：由兩直線的方程分別找出兩直線的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為?1，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．解答：解：由直線x+ay+2=0，得到斜率為?，由直線2x+3y+1=0，得到斜率為?，因?yàn)閮芍本�互相垂直，所以?×（?）=?1，解得：a=?．故選A點(diǎn)評(píng)：此題考查了會(huì)根據(jù)直線的一般式方程找出直線的斜率，以及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系．學(xué)生在計(jì)算時(shí)一定要細(xì)心，不要出現(xiàn)符號(hào)上的錯(cuò)誤．　4．（5分）已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3?a7=4，a2=2，則a1=（　�。�　A．1B．C．2D．考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．.專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知及等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a3?a7=a4?a6，從而可求q＞0，然后結(jié)合a2=2，可求a1，解答：解：∵a3?a7=4，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a3?a7=a4?a6∴a6=4a4∴=4∵an＞0∴q＞0∴q=2∵a2=2，則a1=1故選A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題　5．（5分）當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線（a?1）x?y+a+1=0恒過(guò)定點(diǎn)C，則以C為圓心，半徑為的圓的方程為（　�。�　A．x2+y2?2x+4y=0B．x2+y2+2x+4y=0C．x2+y2+2x?4y=0D．x2+y2?2x?4y=0考點(diǎn)：圓的一般方程；恒過(guò)定點(diǎn)的直線．.分析：先求直線過(guò)的定點(diǎn)，然后寫出方程．解答：解：由（a?1）x?y+a+1=0得（x+1）a?（x+y?1）=0，∴該直線恒過(guò)點(diǎn)（?1，2），∴所求圓的方程為（x+1）2+（y?2）2=5．即x2+y2+2x?4y=0．故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查恒過(guò)定點(diǎn)的直線，圓的一般方程，是基礎(chǔ)題．　6．（5分）已知數(shù)列{an}滿足，若a1=，則a6的值為（　�。�　A．B．C．D．考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)論．解答：解：∵數(shù)列{an}滿足，a1=，∴a2==，a3==，a4==∴a5=a2=，a6=a3=故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．　7．（5分）不等式x2+2x＜對(duì)任意a，b∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　　）　A．（?2，0）B．（?∞，?2）∪（0，+∞）C．（?4，2）D．（?∞，?4）∪（2，+∞）考點(diǎn)：一元二次不等式的解法．.專題：計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：由已知，只需x2+2x小于的最小值即可，可利用基本不等式求出最小值．解答：解：對(duì)任意a，b∈（0，+∞），，所以只需x2+2x＜8即（x?2）（x+4）＜0，解得x∈（?4，2）故選C點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式恒成立問(wèn)題，往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題．　8．（5分）已知圓C：x2+y2?6x?8y=0，若過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)（3，5）的最長(zhǎng)弦為AC，最短弦為BD；則四邊形ABCD的面積為（　�。�　A．20B．15C．10D．考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)．.專題：計(jì)算題．分析：將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C坐標(biāo)與半徑r，過(guò)點(diǎn)（3，5）最長(zhǎng)的弦即為過(guò)此點(diǎn)的直徑，最短的弦即為與此直徑垂直的弦，利用垂徑定理及勾股定理求出BD的長(zhǎng)，利用對(duì)角線垂直的四邊形面積等于對(duì)角線乘積的一半即可求出四邊形ABCD的面積．解答：解：將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x?3）2+（y?4）2=25，∴圓心C（3，4），半徑r=5，∴過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)（3，5）的最長(zhǎng)弦為AC=10，且直線AC的斜率不存在，∴直線BD的斜率為0，即直線BD解析式為y=5，∴圓心C到直線BD的距離d=1，∴最短弦為BD=2=4，則四邊形ABCD的面積S=AC?BD=20．故選A點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，垂徑定理，勾股定理，以及四邊形的面積，找出最長(zhǎng)的弦與最短的弦長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．　9．（5分）（2010?閔行區(qū)二模）已知△ABC中，，BC=2，則角A的取值范圍是（　　）　A．B．C．D．考點(diǎn)：解三角形．.專題：計(jì)算題．分析：知道兩邊求角的范圍，余弦定理得到角和第三邊的關(guān)系，而第三邊根據(jù)三角形的構(gòu)成條件是有范圍的，這樣轉(zhuǎn)化到角的范圍．解答：解：利用余弦定理得：，即，∴△=32cos2A?16≥0，∵A為銳角∴，故選D．點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是解三角形，主要考查利用余弦定理解答三角形有解問(wèn)題，知道兩邊求角的范圍，余弦定理得到角和第三邊的關(guān)系，而第三邊根據(jù)三角形的構(gòu)成條件是有范圍的，這樣轉(zhuǎn)化到角的范圍，有一定難度．　10．（5分）（2012?藍(lán)山縣模擬）已知實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+（1+a）x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根為x1，x2，且 0＜x1＜1，x2＞1，則的取值范圍是（　�。�　A．B．C．D．考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系．.專題：計(jì)算題．分析：由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x1＜1＜x2，結(jié)合對(duì)應(yīng)二次函數(shù)性質(zhì)得到 ，然后在平面直角坐標(biāo)系中，做出滿足條件的可行域，分析 的幾何意義，然后數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．解答：解：由程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，故函數(shù)f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x1＜1＜x2，則 即 即 其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖陰影示：∵表示陰影區(qū)域上一點(diǎn)與原點(diǎn)邊線的斜率由圖可知 ∈故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，三個(gè)二次之間的關(guān)系，線性規(guī)劃，其中由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x1＜1＜x2，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得到 是解答本題的關(guān)鍵．　二．填空題：本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，請(qǐng)吧答案填在答題卡上．11．（5分）已知，則sin2x的值為　　．考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦．.專題：三角函數(shù)的求值．分析：由兩角差的正弦公式將展開，再兩邊平方后利用平方關(guān)系化簡(jiǎn)，根據(jù)倍角的正弦公式化簡(jiǎn)求值．解答：解：由得，，兩邊平方得，，解得sin2x=，故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩角差的正弦公式，倍角的正弦公式和平方關(guān)系應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握公式并會(huì)運(yùn)用．　12．（5分）如圖，A，B兩點(diǎn)在河的對(duì)岸，測(cè)量者在A的同側(cè)選定一點(diǎn)C，測(cè)出A，C之間的距離是100米，∠BAC=105°，∠ACB=45°，則A、B兩點(diǎn)之間為　100　米．考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用．.專題：計(jì)算題；解三角形．分析：在△ABC中，利用正弦定理，即可得到結(jié)論．解答：解：∵∠BAC=105°，∠ACB=45°，∴∠ABC=30°∵AC=100米∴∴AB=100米故答案為：100點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．　13．（5分）若曲線y=1+，x∈[?2，2]與直線y=k（x?2）+4有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是�。�，]�。�考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)．.專題：直線與圓．分析：先將曲線進(jìn)行化簡(jiǎn)得到一個(gè)圓心是（0，1）的上半圓，直線y=k（x?2）+4表示過(guò)定點(diǎn)（2，4）的直線，利用直線與圓的位置關(guān)系可以求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解答：解：因?yàn)閥=1+，所以x2+（y?1）2=4，此時(shí)表示為圓心M（0，1），半徑r=2的圓．因?yàn)閤∈[?2，2]，y=1+≥1，所以表示為圓的上部分．直線y=k（x?2）+4表示過(guò)定點(diǎn)P（2，4）的直線，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有圓心到直線kx?y+4?2k=0的距離d=，解得．當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（?2，1）時(shí)，直線PB的斜率為．所以要使直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則必有＜k≤．即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（，]．故答案為：（，]．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及直線的斜率和距離公式．利用數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)要注意曲線化簡(jiǎn)之后是個(gè)半圓，而不是整圓，這點(diǎn)要注意，防止出錯(cuò)．　14．（5分）數(shù)列{an}滿足a1=1，且對(duì)任意的正整數(shù)m，n都有am+n=am+an+mn，則=　�。�考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．.專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：先令n=1找遞推關(guān)系并求通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)的特征求和，即可得到結(jié)論．解答：解：令n=1，得an+1=a1+an+n=1+an+n，∴an+1?an=n+1用疊加法：an=a1+（a2?a1）+…+（an?an?1）=1+2+…+n=所以==2（）所以==2×=故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，屬于中檔題．　15．（5分）【解析版】四川省內(nèi)江市2012-2013學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題
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