教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生掌握一元二次方程實(shí)根分布問題的處理，加強(qiáng)求解一元二次不等式及不等式組，初步訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。
教學(xué)重點(diǎn)：利用二次函數(shù)的圖象，把一元二次方程根的分布 圖形問題 代數(shù)表達(dá)式（不等式組） 參數(shù)取值范圍。
教學(xué)難點(diǎn)：圖形問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)表達(dá)式(不等式組)并求解。
一、問題的提出
若方程 的兩根均為正數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
變式1：兩根一正一負(fù)時情況怎樣？
變式2：兩實(shí)根均大于5時情況又怎樣？
問題：能否從二次 函數(shù)圖形角度去觀察理解？若能試比較兩種方法的優(yōu)劣.
方程 的實(shí)根，如若從二次函數(shù)圖形 角度去觀察理解，其實(shí)質(zhì)就是對應(yīng)的二次函數(shù) 的拋物線與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
一元二次方程實(shí)根分布，實(shí)質(zhì)上就是方程的根與某些確定的常數(shù)大小關(guān)系比較.
二、一元二次方程實(shí)根分布
　　仿上完成下表
一元二次方程 實(shí)根分布圖解
根的分部



圖
象
等價的代數(shù)不等式
三、練習(xí)　
1.m為何實(shí)數(shù)時，方程 的兩根都在-1與1之間.
2、若方程 的兩根中，一根小于0，另一根大于2，求a的取值范圍.　
四、小結(jié)
基本類型與相應(yīng)方法：
設(shè) ，則方程 的實(shí)根分布的基本類型及相應(yīng)方法如下表：
1．兩實(shí)根都小于

2．兩實(shí)根都大于

3．兩實(shí)根都在 內(nèi)


4．兩實(shí)根都在 外

5．兩根中有且只有一根在
內(nèi)

五作業(yè)：
1．關(guān)于 的一元二次方程 的一根大于1，另一根小于1.則 的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�。ā　。�
（A） 或 　（B） 　�。–） �。―）
2．方程 為常數(shù)）有兩實(shí)根 ，且 ， ，那么 的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　　　�。ā　。�
（A） 　（B） �。–） 或 �。―）無解
3．設(shè) 是整數(shù)，且方程 的兩根都大于 而小于 ，則 .
4.若關(guān)于 的方程 的所有根都是比1小的正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值 范圍是 ＝
5. 方程 的一根不大于－1，另一根不小于1.試求：
（1）參數(shù) 的取值范圍；（2）方程兩根的平方和的最大值和最小值.
第二課時　一元二次方程實(shí)數(shù)根分布的應(yīng)用
一復(fù)習(xí)
填空：
根的分部




圖
象
等價的代數(shù)不等式
二、例子
例1 已知實(shí)數(shù) 、 、 滿足 ，求 的取值范圍.
解 由已知得 且
.
所以 是一元二次方程 的兩根. 由 問題可轉(zhuǎn)化為方程 的二根都大于 .令 ，有
即 ，
求得 ，因此 .
例2已知點(diǎn) 、 .若拋物線 與線段 (不包括端點(diǎn) 及 )有兩個不同的交點(diǎn)，則 的取值范圍是 . (1997年上海市高中數(shù)學(xué)競賽)
解： 顯然直線 的方程為 即 ，代入拋物線方程并整理得 .
設(shè) ，問題轉(zhuǎn)化函數(shù) 的圖象和 軸在0到4之間有兩個不同的交點(diǎn)，即方程 在 上有兩個不相等的實(shí)根. 所以

解得 的取值范圍是 .
例3關(guān)于 的實(shí)系數(shù)二次方程 的兩個實(shí)數(shù)根為 ，證明：①如果 ，那么 且 ；②如果 且 ，那么 .(1993年全國高考題)
證明 ①設(shè) ，由已知，函數(shù) 的圖象與 軸在 到2之間有兩個不同的交點(diǎn). 所以

由(3)、(4)得 ，所以 .
由(2)，得 ，結(jié)合(1)得 ，所以 . 將(3)+(4)得 ，因此 ，即 .
②由于 且 ，可得 ，所以 ， . 即函數(shù) 的圖象的對稱軸 位于兩條直線 ， 之間.
因?yàn)?，
.
所以 . 因此函數(shù) 的圖象與 軸的交點(diǎn)位于-2和2之間，即 .
作業(yè)
1．已知拋物線 為實(shí)數(shù). 為何值時， 拋物線與 軸的兩個交點(diǎn)都位于點(diǎn) 的右側(cè)？
2．已知 都是正整數(shù)，且拋物線 與 軸有兩個不同的交點(diǎn)A、B.　若A、B到原點(diǎn)的距離都小于1，求 的最小值.

第三課時 應(yīng)用提高
例1若方程 在 上有實(shí)根，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
解法一：方程 在 上有實(shí)根，即方程 在 上有實(shí)根，設(shè) ，則根據(jù)函數(shù) 的圖象與 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等價于方程 的根.

R>（1）兩個實(shí)根都在 上，如圖：
可得 ，解得 ；
（2）只有一個實(shí)根在 上，如圖：
可得 ，解得
，綜合（1）與（2）可得
實(shí)數(shù) 的 取值范圍為
解法二： 方程 在 上有實(shí)根，即存在 ，使得等式 成立，要求 的取值范圍，也即要求函數(shù) 的值域.
設(shè) ，則 ，
可得 .
解法三：令 則 ，則方程 在 上有實(shí)根，等價于方程組 在 上有實(shí)數(shù)解，也即等價于拋物線 與直線 在 上有公共點(diǎn)，如圖所示
直觀可得： .

解法四：根據(jù)解法三的轉(zhuǎn)化思想，也可將原方
程 化成 ，然后令
，從而將原問題等價轉(zhuǎn)化為
拋物線 與直線 在 上有公共
點(diǎn)時，“數(shù)形結(jié)合法”下去求參數(shù) 的取值范圍.
根據(jù)圖形直觀可得：當(dāng)直線 過點(diǎn) ，
截距 最大；當(dāng)直線 與拋物線 相切時，截距 最小.
且 .故參數(shù)的取值范圍為 .
2已知實(shí)數(shù) 、 、 滿 足 ，其中 為正數(shù).對于 .
(1)若 ，求證： ；
(2) 若 ，證明方程 在 內(nèi)有實(shí)根.
證明 (1)由 ，求得 ，所以
又由 ，因此 ，故 .
(2)要證明方程 在 內(nèi)有實(shí)根，只須證明
或
但兩者都不易證明. 由 ，結(jié)合第(1)題 ，對 進(jìn)行討論：
當(dāng) 時，有 . 只要證明 和 中有一個大于零即可.
若 ，則 成立，問題得證；
若 ，由 求得 ，所以
.
由 ，知 ，命題得證.
故 當(dāng) 時，方程 在 內(nèi)有實(shí)根.
同理可證，當(dāng) 時，方程 在 內(nèi)也有

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