2018高一數(shù)學(xué)必修一測(cè)試題[1]

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高一 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

教學(xué)目標(biāo):使學(xué)生掌握一元二次方程實(shí)根分布問題的處理,加強(qiáng)求解一元二次不等式及不等式組,初步訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力。
教學(xué)重點(diǎn):利用二次函數(shù)的圖象,把一元二次方程根的分布 圖形問題 代數(shù)表達(dá)式(不等式組) 參數(shù)取值范圍。
教學(xué)難點(diǎn):圖形問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)表達(dá)式(不等式組)并求解。
一、問題的提出
若方程 的兩根均為正數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
變式1:兩根一正一負(fù)時(shí)情況怎樣?
變式2:兩實(shí)根均大于5時(shí)情況又怎樣?
問題:能否從二次 函數(shù)圖形角度去觀察理解?若能試比較兩種方法的優(yōu)劣.
方程 的實(shí)根,如若從二次函數(shù)圖形 角度去觀察理解,其實(shí)質(zhì)就是對(duì)應(yīng)的二次函數(shù) 的拋物線與 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
一元二次方程實(shí)根分布,實(shí)質(zhì)上就是方程的根與某些確定的常數(shù)大小關(guān)系比較.
二、一元二次方程實(shí)根分布
  仿上完成下表
一元二次方程 實(shí)根分布圖解
根的分部





等價(jià)的代數(shù)不等式
三、練習(xí) 
1.m為何實(shí)數(shù)時(shí),方程 的兩根都在-1與1之間.
2、若方程 的兩根中,一根小于0,另一根大于2,求a的取值范圍. 
四、小結(jié)
基本類型與相應(yīng)方法:
設(shè) ,則方程 的實(shí)根分布的基本類型及相應(yīng)方法如下表:
1.兩實(shí)根都小于

2.兩實(shí)根都大于

3.兩實(shí)根都在 內(nèi)


4.兩實(shí)根都在 外

5.兩根中有且只有一根在
內(nèi)

五作業(yè):
1.關(guān)于 的一元二次方程 的一根大于1,另一根小于1.則 的值是                           ( 。
(A) 或 。˙)  。–)  (D)
2.方程 為常數(shù))有兩實(shí)根 ,且 , ,那么 的取值范圍是                ( 。
(A) 。˙) 。–) 或  (D)無(wú)解
3.設(shè) 是整數(shù),且方程 的兩根都大于 而小于 ,則 .
4.若關(guān)于 的方程 的所有根都是比1小的正實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù) 的取值 范圍是 =
5. 方程 的一根不大于-1,另一根不小于1.試求:
(1)參數(shù) 的取值范圍;(2)方程兩根的平方和的最大值和最小值.
第二課時(shí) 一元二次方程實(shí)數(shù)根分布的應(yīng)用
一復(fù)習(xí)
填空:
根的分部






等價(jià)的代數(shù)不等式
二、例子
例1 已知實(shí)數(shù) 、 、 滿足 ,求 的取值范圍.
解 由已知得 且
.
所以 是一元二次方程 的兩根. 由 問題可轉(zhuǎn)化為方程 的二根都大于 .令 ,有
即 ,
求得 ,因此 .
例2已知點(diǎn) 、 .若拋物線 與線段 (不包括端點(diǎn) 及 )有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則 的取值范圍是 . (1997年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)
解: 顯然直線 的方程為 即 ,代入拋物線方程并整理得 .
設(shè) ,問題轉(zhuǎn)化函數(shù) 的圖象和 軸在0到4之間有兩個(gè)不同的交點(diǎn),即方程 在 上有兩個(gè)不相等的實(shí)根. 所以

解得 的取值范圍是 .
例3關(guān)于 的實(shí)系數(shù)二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為 ,證明:①如果 ,那么 且 ;②如果 且 ,那么 .(1993年全國(guó)高考題)
證明 ①設(shè) ,由已知,函數(shù) 的圖象與 軸在 到2之間有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 所以

由(3)、(4)得 ,所以 .
由(2),得 ,結(jié)合(1)得 ,所以 . 將(3)+(4)得 ,因此 ,即 .
②由于 且 ,可得 ,所以 , . 即函數(shù) 的圖象的對(duì)稱軸 位于兩條直線 , 之間.
因?yàn)?,
.
所以 . 因此函數(shù) 的圖象與 軸的交點(diǎn)位于-2和2之間,即 .
作業(yè)
1.已知拋物線 為實(shí)數(shù). 為何值時(shí), 拋物線與 軸的兩個(gè)交點(diǎn)都位于點(diǎn) 的右側(cè)?
2.已知 都是正整數(shù),且拋物線 與 軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B. 若A、B到原點(diǎn)的距離都小于1,求 的最小值.

第三課時(shí) 應(yīng)用提高
例1若方程 在 上有實(shí)根,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
解法一:方程 在 上有實(shí)根,即方程 在 上有實(shí)根,設(shè) ,則根據(jù)函數(shù) 的圖象與 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)等價(jià)于方程 的根.

R>(1)兩個(gè)實(shí)根都在 上,如圖:
可得 ,解得 ;
(2)只有一個(gè)實(shí)根在 上,如圖:
可得 ,解得
,綜合(1)與(2)可得
實(shí)數(shù) 的 取值范圍為
解法二: 方程 在 上有實(shí)根,即存在 ,使得等式 成立,要求 的取值范圍,也即要求函數(shù) 的值域.
設(shè) ,則 ,
可得 .
解法三:令 則 ,則方程 在 上有實(shí)根,等價(jià)于方程組 在 上有實(shí)數(shù)解,也即等價(jià)于拋物線 與直線 在 上有公共點(diǎn),如圖所示
直觀可得: .

解法四:根據(jù)解法三的轉(zhuǎn)化思想,也可將原方
程 化成 ,然后令
,從而將原問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為
拋物線 與直線 在 上有公共
點(diǎn)時(shí),“數(shù)形結(jié)合法”下去求參數(shù) 的取值范圍.
根據(jù)圖形直觀可得:當(dāng)直線 過點(diǎn) ,
截距 最大;當(dāng)直線 與拋物線 相切時(shí),截距 最小.
且 .故參數(shù)的取值范圍為 .
2已知實(shí)數(shù) 、 、 滿 足 ,其中 為正數(shù).對(duì)于 .
(1)若 ,求證: ;
(2) 若 ,證明方程 在 內(nèi)有實(shí)根.
證明 (1)由 ,求得 ,所以
又由 ,因此 ,故 .
(2)要證明方程 在 內(nèi)有實(shí)根,只須證明

但兩者都不易證明. 由 ,結(jié)合第(1)題 ,對(duì) 進(jìn)行討論:
當(dāng) 時(shí),有 . 只要證明 和 中有一個(gè)大于零即可.
若 ,則 成立,問題得證;
若 ,由 求得 ,所以
.
由 ,知 ,命題得證.
故 當(dāng) 時(shí),方程 在 內(nèi)有實(shí)根.
同理可證,當(dāng) 時(shí),方程 在 內(nèi)也有


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