(滿分160分,考試時間120分鐘)
注意事項:
1. 答卷前,請考生務(wù)必將自己的學校、姓名、考試號等信息填寫在答卷規(guī)定的地方.
2.試題答案均寫在答題卷相應(yīng)位置,答在其它地方無效.
一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分,請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上)
1.不等式 的解集為 ▲ .
2.直線 : 的傾斜角為 ▲ .
3.在相距 千米的 兩點處測量目標 ,若 , ,則 兩點之間的距離是 ▲ 千米(結(jié)果保留根號).
4.圓 和圓 的位置關(guān)系是 ▲ .
5.等比數(shù)列 的公比為正數(shù),已知 , ,則 ▲ .
6.已知圓 上兩點 關(guān)于直線 對稱,則圓 的半徑為
▲ .
7.已知實數(shù) 滿足條件 ,則 的最大值為 ▲ .
8.已知 , ,且 ,則 ▲ .
9.若數(shù)列 滿足: , ( ),則 的通項公式為 ▲ .
10.已知函數(shù) , ,則函數(shù) 的值域為
▲ .
11.已知函數(shù) , ,若 且 ,則 的最小值為 ▲ .
12.等比數(shù)列 的公比 ,前 項的和為 .令 ,數(shù)列 的前 項和為 ,若 對 恒成立,則實數(shù) 的最小值為 ▲ .
13. 中,角A,B,C所對的邊為 .若 ,則 的取值范圍是
▲ .
14.實數(shù) 成等差數(shù)列,過點 作直線 的垂線,垂足為 .又已知點 ,則線段 長的取值范圍是 ▲ .
二、解答題:(本大題共6道題,計90分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(本題滿分14分)
已知 的三個頂點的坐標為 .
(1)求邊 上的高所在直線的方程;
(2)若直線 與 平行,且在 軸上的截距比在 軸上的截距大1,求直線 與兩條坐標軸
圍成的三角形的周長.
16.(本題滿分14分)
在 中,角 所對的邊分別為 ,且滿足 .
(1)求角A的大。
(2)若 , 的面積 ,求 的長.
17.(本題滿分15分)
數(shù)列 的前 項和為 ,滿足 .等比數(shù)列 滿足: .
(1)求證:數(shù)列 為等差數(shù)列;
(2)若 ,求 .
18.(本題滿分15分)
如圖, 是長方形海域,其中 海里, 海里.現(xiàn)有一架飛機在該海域失事,兩艘海事搜救船在 處同時出發(fā),沿直線 、 向前聯(lián)合搜索,且 (其中 、 分別在邊 、 上),搜索區(qū)域為平面四邊形 圍成的海平面.設(shè) ,搜索區(qū)域的面積為 .
(1)試建立 與 的關(guān)系式,并指出 的取值范圍;
(2)求 的最大值,并指出此時 的值.
19.(本題滿分16分)
已知圓 和點 .
(1)過點M向圓O引切線,求切線的方程;
(2)求以點M為圓心,且被直線 截得的弦長為8的圓M的方程;
(3)設(shè)P為(2)中圓M上任意一點,過點P向圓O引切線,切點為Q,試探究:平面內(nèi)是否存在一定點R,使得 為定值?若存在,請求出定點R的坐標,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請說明理由.
20.(本題滿分16分)
(1)公差大于0的等差數(shù)列 的前 項和為 , 的前三項分別加上1,1,3后順次成為某個等比數(shù)列的連續(xù)三項, .
①求數(shù)列 的通項公式;
②令 ,若對一切 ,都有 ,求 的取值范圍;
(2)是否存在各項都是正整數(shù)的無窮數(shù)列 ,使 對一切 都成立,若存在,請寫出數(shù)列 的一個通項公式;若不存在,請說明理由.
揚州市2018?2018學年度第二學期期末調(diào)研測試試題
高 一 數(shù) 學 參 考 答 案 2018.6
1. 2. 3. 4.相交 5.1 6.3
7.11 8. 9. 10. 11.3 12. 13.
14.
15.解:(1) ,∴邊 上的高所在直線的斜率為 …………3分
又∵直線過點 ∴直線的方程為: ,即 …7分
(2)設(shè)直線 的方程為: ,即 …10分
解得: ∴直線
線 的方程為: ……………12分
∴直線 過點 三角形斜邊長為
∴直線 與坐標軸圍成的直角三角形的周長為 . …………14分
注:設(shè)直線斜截式求解也可.
16.解:(1)由正弦定理可得: ,
即 ;∵ ∴ 且不為0
∴ ∵ ∴ ……………7分
(2)∵ ∴ ……………9分
由余弦定理得: , ……………11分
又∵ , ∴ ,解得: ………………14分
17.解:(1)由已知得: , ………………2分
且 時,
經(jīng)檢驗 亦滿足 ∴ ………………5分
∴ 為常數(shù)
∴ 為等差數(shù)列,且通項公式為 ………………7分
(2)設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ,則 ,
∴ ,則 , ∴ ……………9分
①
②
① ②得:
…13分
………………15分
18.解:(1)在 中, ,
在 中, ,
∴ …5分
其中 ,解得:
(注:觀察圖形的極端位置,計算出 的范圍也可得分.)
∴ , ………………8分
(2)∵ ,
……………13分
當且僅當 時取等號,亦即 時,
∵
答:當 時, 有最大值 . ……………15分
19.解:(1)若過點M的直線斜率不存在,直線方程為: ,為圓O的切線; …………1分
當切線l的斜率存在時,設(shè)直線方程為: ,即 ,
∴圓心O到切線的距離為: ,解得:
∴直線方程為: .
綜上,切線的方程為: 或 ……………4分
(2)點 到直線 的距離為: ,
又∵圓被直線 截得的弦長為8 ∴ ……………7分
∴圓M的方程為: ……………8分
(3)假設(shè)存在定點R,使得 為定值,設(shè) , ,
∵點P在圓M上 ∴ ,則 ……………10分
∵PQ為圓O的切線∴ ∴ ,
即
整理得: (*)
若使(*)對任意 恒成立,則 ……………13分
∴ ,代入得:
整理得: ,解得: 或 ∴ 或
∴存在定點R ,此時 為定值 或定點R ,此時 為定值 .
………………16分
20.解:(1)①設(shè)等差數(shù)列 的公差為 .
∵ ∴ ∴
∵ 的前三項分別加上1,1,3后順次成為某個等比數(shù)列的連續(xù)三項
∴ 即 ,∴
解得: 或
∵ ∴ ∴ , ………4分
②∵ ∴ ∴ ∴ ,整理得:
∵ ∴ ………7分
(2)假設(shè)存在各項都是正整數(shù)的無窮數(shù)列 ,使 對一切 都成立,則
∴
∴ ,……, ,將 個不等式疊乘得:
∴ ( ) ………10分
若 ,則 ∴當 時, ,即
∵ ∴ ,令 ,所以
與 矛盾. ………13分
若 ,取 為 的整數(shù)部分,則當 時,
∴當 時, ,即
∵ ∴ ,令 ,所以
與 矛盾.
∴假設(shè)不成立,即不存在各項都是正整數(shù)的無窮數(shù)列 ,使 對一切 都成立.
………16分
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