北京市西城區(qū)（北區(qū)）2012－2013學(xué)年下學(xué)期高一期末考試數(shù)學(xué)試卷試卷滿分：150分 考試時(shí)間：120分鐘一、本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1. 在數(shù)列中，，且，則等于（ ）（A）8 （B）6 （C）9 （D）72. 將一根長(zhǎng)為3m的繩子在任意位置剪斷，則剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）3. 在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（ ）（A）銳角三角形 （B）直角三角形 （C）鈍角三角形 （D）不能確定4. 若，則下列不等式中成立的是（ ）（A） （B） （） （D）5. 若實(shí)數(shù)x，y滿足則的最小值是（ ）（A） （B）0 （C）1 （D）－16. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出s的值為（ ）（A）2（B）（C）3（D）7. 已知100件產(chǎn)品中有5件次品，從中任意取出3件產(chǎn)品，設(shè)A表示事件“3件產(chǎn)品全不是次品”，B表示事件“3件產(chǎn)品全是次品”，C表示事件“3件產(chǎn)品中至少有1件次品”，則下列結(jié)論正確的是（ ）（A）B與C互斥 （B）A與C互斥（C）任意兩個(gè)事件均互斥 （D）任意兩個(gè)事件均不互斥8. 口袋中裝有三個(gè)編號(hào)分別為1，2，3的小球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取球，每次取一個(gè)球，確定編號(hào)后放回，連續(xù)取球兩次。則“兩次取球中有3號(hào)球”的概率為（ ）（A） （B） （C） （D）9. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（4，3），B是x正半軸上一點(diǎn)，則△OAB中的最大值為（ ）（A） （B） （C） （D）10. 對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的數(shù)列和，記bk為中的最小值。給出下列判斷：①若數(shù)列的前5項(xiàng)是5，5，3，3，1，則；②若數(shù)列是遞減數(shù)列，則數(shù)列也一定是遞減數(shù)列；③數(shù)列可能是先減后增數(shù)列；④若，C為常數(shù)，則。其中，正確判斷的序號(hào)是（ ）（A）①③ （B）②④ （C）②③ （D）②二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。11. 不等式的解集為_(kāi)_______________。12. 在△ABC中，，則a=___________。13. 某校高一年級(jí)三個(gè)班共有學(xué)生120名，這三個(gè)班的男、女生人數(shù)如下表。已知在全年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到二班女生的概率是0.2。則x=_____；現(xiàn)用分層抽樣的方法在全年級(jí)抽取30名學(xué)生，則應(yīng)在三班抽取的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)___________。一班二班三班女生人數(shù)20xy男生人數(shù)2020z14. 甲、乙兩人各參加了5次測(cè)試，將他們?cè)诟鞔螠y(cè)試中的得分繪制成如圖所示的莖葉圖。已知甲、乙二人得分的平均數(shù)相等，則m=________；乙得分的方差等于____。15. 設(shè)是等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)的和。若，則_______；當(dāng)Sn取得最小值時(shí)，n=__________。16. 當(dāng)x∈[1，9]時(shí)，不等式恒成立，則k的取值范圍是_________。三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17. （本小題滿分13分）在等比數(shù)列中，。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)是等差數(shù)列，且b2 =a2，b4=a4。求數(shù)列的公差，并計(jì)算的值。18. （本小題滿分13分）某市某年一個(gè)月中30天對(duì)空氣質(zhì)量指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如下：61 76 70 56 81 91 55 91 75 8188 67 101 103 57 91 77 86 81 8382 82 64 79 86 85 75 71 49 45（Ⅰ）完成下面的頻率分布表；（Ⅱ）完成下面的頻率分布直方圖，并寫(xiě)出頻率分布直方圖中a的值；（Ⅲ）在本月空氣質(zhì)量指數(shù)大于等于91的這些天中隨機(jī)選取兩天，求這兩天中至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101，111）內(nèi)的概率。分組頻數(shù)頻率[41，51）2[51，61）3[61，71）4[71，81）6[81，91）[91，101）[101，111）219. （本小題滿分13分）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，已知c=3，。（Ⅰ）若sinB=2sinA，求a，b的值；（Ⅱ）求a2+b2的最大值。20. （本小題滿分14分）已知函數(shù)。（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求在區(qū)間[－1，2]上的值域；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求a的取值范圍；（Ⅲ）解關(guān)于x的不等式。21. （本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且。（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列。（i）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn；（ii）求bn的最大值。22. （本小題滿分13分）對(duì)于數(shù)列A：a1，a2，a3（ai∈N，i=1，2，3），定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B：b1，b2，b3，其中，且。這種“T變換”記作B=T（A），繼續(xù)對(duì)數(shù)列B進(jìn)行“T變換”，得到數(shù)列C：cl，c2，c3，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為0時(shí)變換結(jié)束。（Ⅰ）寫(xiě)出數(shù)列A：2，6，4經(jīng)過(guò)5次“T變換”后得到的數(shù)列；（Ⅱ）若a1，a2，a3不全相等，判斷數(shù)列A：a1，a2，a3經(jīng)過(guò)不斷的“T變換”是否會(huì)結(jié)束，并說(shuō)明理由；（Ⅲ）設(shè)數(shù)列A：400，2，403經(jīng)過(guò)k次“T變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小，求k的最小值。【試題答案】一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。1. D 2. B 3. C 4. C 5. A 6. D 7. B 8. A 9. B 10. B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，11. 12. 13. 24 914. 6，8.4 15. －11，6 16. 注：一題兩空的試題，第一空2分，第二空3分：三、解答題：本大題共3小題，共36分，17. 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知， …………2分兩式相除，得q=2。 …………4分所以a1=2， …………6分所以數(shù)列的通項(xiàng)公式。 …………7分（Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則 ………………9分解得………………11分………………12分…………13分18. 解：（Ⅰ）如下圖所示。 ……………………4分（Ⅱ）如下圖所示�！�……………6分由己知，空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[71，81）的頻率為，所以a= 0.02�！�…8分分組頻數(shù)頻率………[81，91）10[91，101）3………（Ⅲ）設(shè)A表示事件“在本月空氣質(zhì)量指數(shù)大于等于91的這些天中隨機(jī)選取兩天，這兩天中至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101，111）內(nèi)”，由己知，質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[91，101）內(nèi)的有3天，記這三天分別為a，b，c，質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101，111）內(nèi)的有2天，記這兩天分別為d，e，則選取的所有可能結(jié)果為：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）。基本事件數(shù)為10�！�……………10分事件“至少有一天空氣質(zhì)量指數(shù)在區(qū)間[101，111）內(nèi)”的可能結(jié)果為：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）�；�本事件數(shù)為7， ………………12分所以 ………………13分19. 解：（Ⅰ）因?yàn)閟in B=2sinA，由正弦定理可得b=2a，………………3分由余弦定理c2= a2 +b2 －2abcosC， ………………5分得9=a2 +4a2 －2a2， ………………7分解得a2=3， ………………8分所以 ………………9分（Ⅱ）由余弦定理c2= a2 +b2 －2abcosC，得ab=a2+b2－9，………………10分又a2 +b2≥2ab， ………………11分所以a2+b2≤18，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。 ………………12分所以a2+b2的最大值為18。 ………………13分20. 解：（Ⅰ）當(dāng)a=l時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增所以，在區(qū)間上的最小值為…………2分又。所以在區(qū)間上的最大值為…………………3分在區(qū)間上的值域?yàn)椤�……………�?分（Ⅱ）當(dāng)a=0時(shí)，，在區(qū)間上是減函數(shù)，符合題意……5分當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則，且， ……………………7分所以－1≤a－1。 ……………………10分當(dāng)a>0時(shí)，，解得 ………………11分當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為;當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)－1
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