§1.2.2函數(shù)的表示法（二）——映射的概念
一、內(nèi)容與解析
（一）內(nèi)容：映射
（二）解析：⑴映射是兩個(gè)集合 與 中，元素之間存在的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系.說其是一種特殊的對(duì)應(yīng)，就是因?yàn)樗�只允許存在“一對(duì)一”與“多對(duì)一”這兩種對(duì)應(yīng)，而不允許存在“一對(duì)多”的對(duì)應(yīng).
⑵映射中只允許“一對(duì)一”與“多對(duì)一”這兩種對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)，從 到 的映射 : → 實(shí)際是要求集合 中的任一元素都必須對(duì)應(yīng)于集合 中唯一的元素.但對(duì)集合 中的元素并無任何要求，即允許集合 中的元素在集合 中可能有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，可能有兩個(gè)或多個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，也可能沒有元素與之對(duì)應(yīng).
⑶映射中對(duì)應(yīng)法則 是有方向的，一般說從集合 到集合 的映射與從集合 到集合 的映射是不同的.
(4)我們可以把對(duì)應(yīng)關(guān)系看成一面鏡子，集合 中的元素在這面鏡子中存在一個(gè)像，一個(gè)相對(duì)應(yīng)的元素，原像則是集合 中的元素.這樣像和原像的概念就比較容易理解.并且映射中集合 的每一個(gè)元素在集合 中都有它的像，通過對(duì)應(yīng)關(guān)系——即通過鏡子總存在像，而且像是唯一的，不會(huì)“照”出許多的像，這是映射區(qū)別于一般對(duì)應(yīng)的本質(zhì)特征.
二、目標(biāo)及其解析：
（一）目標(biāo)
（1）了解映射的概念及表示方法；結(jié)合簡單的對(duì)應(yīng)圖示，了解一一映射的概念．
（2）解析：重點(diǎn)把握映射與函數(shù)的區(qū)別。
三、問題診斷分析
函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系
(1)函數(shù)包括三要素:定義域、值域、兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系;映射包括三要素: 集合A, 集合B, 以及A,B之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系
(2)函數(shù)定義中的兩個(gè)集合為非空數(shù)集; 映射中兩個(gè)集合中的元素為任意元素,如人、物、命題等都可以.
(3)在函數(shù)中,對(duì)定義域中的每一個(gè) ,在值域中都有唯一確定的函數(shù)值和它對(duì)應(yīng);在映射中,對(duì)集合A中的任意元素 ,在集合B中都有唯一確定的像 和它對(duì)應(yīng).
(4)在函數(shù)中,對(duì)值域中的每一個(gè)確定的函數(shù)值,在定義域中都有確定的自變量的值和它對(duì)應(yīng);在映射中,對(duì)于集合B中的任一元素 ,在集合A中不一定有原像.
(5)函數(shù)實(shí)際上就是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的一
個(gè)映射
(6)通過右圖我們可以清晰的看到這三者的關(guān)系.

四、支持條分析
在本節(jié)一次遞推的教學(xué)中，準(zhǔn)備使用PowerPoint 2003。因?yàn)槭褂肞owerPoint 2003，有利于提供準(zhǔn)確、最核心的字信息，有利于幫助學(xué)生順利抓住老師上思路，節(jié)省老師板書時(shí)間，讓學(xué)生盡快地進(jìn)入對(duì)問題的分析當(dāng)中。
五、教學(xué)過程
1. 教學(xué)映射概念：
① 先看幾個(gè)例子，兩個(gè)集合A、B的元素之間的一些對(duì)應(yīng)關(guān)系，并用圖示意
, ，對(duì)應(yīng)法則：開平方；
， ，對(duì)應(yīng)法則：平方；
, , 對(duì)應(yīng)法則：求正弦；
② 定義映射：一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng) 為從集合A到集合B的一個(gè)映射（mapping）．記作“ ”
關(guān)鍵: A中任意，B中唯一；對(duì)應(yīng)法則f.
③ 分析上面的例子是否映射？舉例日常生活中的映射實(shí)例？
④ 討論：映射的一些對(duì)應(yīng)情況？（一對(duì)一；多對(duì)一） 一對(duì)多是映射嗎？
→ 舉例一一映射的實(shí)例 （一對(duì)一）
2.教學(xué)例題：
① 出示例1. 探究從集合A到集合B一些對(duì)應(yīng)法則，哪些是映射，哪些是一一映射？
A={P P是數(shù)軸上的點(diǎn)}，B=R； A={三角形}，B={圓}；
A={ P P是平面直角體系中的點(diǎn)}， ； A={高一某班學(xué)生}，B= ？
（ 師生探究從A到B對(duì)應(yīng)關(guān)系 → 辨別是否映射？一一映射？ → 小結(jié)：A中任意，B中唯一）
② 討論：如果是從B到A呢？
③ 練習(xí)：判斷下列兩個(gè)對(duì)應(yīng)是否是集合A到集合B的映射？
A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，對(duì)應(yīng)法則 ；
，對(duì)應(yīng)法則 ；
， ， ；
設(shè) ；
，
六、 類型題探究
題型一 映射的判斷
例1 下列集合 到集合 的對(duì)應(yīng)中，判斷哪些是 到 的映射? 判斷哪些是 到 的一一映射?
(1) ，對(duì)應(yīng)法則 ．
(2) ， ， ， ， ．
(3) ， ，對(duì)應(yīng)法則 除以2得的余數(shù)．
(4) ， ， 對(duì)應(yīng)法則
．
【思維導(dǎo)圖】

【解答關(guān)鍵】根據(jù)給出的f分析這個(gè)對(duì)應(yīng)是否為“一對(duì)一”與“多對(duì)一”；若是則為映射，否則不是，再觀察是不是一對(duì)一的對(duì)應(yīng)，若是則為一一映射.
【規(guī)范解答】 (1)是映射，不是一一映射，因?yàn)榧��?中有些元素(正整數(shù))沒有原像．
(2)是映射，是一一映射．不同的正實(shí)數(shù)有不同的唯一的倒數(shù)仍是正實(shí)數(shù)，任何一個(gè)正數(shù)都存在倒數(shù)．
(3)是映射，因?yàn)榧��?中不同元素對(duì)應(yīng)集合 中相同的元素．
(4)是映射，不是一一映射，因?yàn)榧��?中的元素(如-4，4)都對(duì)應(yīng)集合 中的元素(2)．
【易錯(cuò)辨析】判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是不是映射或一一映射，應(yīng)觀察對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)；說明一個(gè)對(duì)應(yīng)不是映射或一一映射，只須找出一個(gè)反例．對(duì)于一一映射是一種特殊的映射，它的判斷主要考慮：若⑴A中的不同元素在B中有不同的像；⑵B中任何一個(gè)元素在A中都有原像，則這個(gè)映射就是一 一映射.
【活學(xué)活用】1.下列集合 到集合 的對(duì)應(yīng) 是映射的是（ ）
A. ： 中的數(shù)平方；
B. ： 中的數(shù)求平方根；
C. ： 中的數(shù)取倒數(shù)；
D. ： 中的數(shù)取絕對(duì)值；
1．A. 解析：B中錯(cuò)誤在集合A中的元素1在集合B中有兩個(gè)元素-1，1與之對(duì)應(yīng)，因此不是映射.C，D中錯(cuò)誤都在于集合中有0這個(gè)元素在集合B中沒有相對(duì)應(yīng)的元素.
題型二 映射對(duì)應(yīng)法則的應(yīng)用
例2已知A={1， 2，3， }，B={4，7, , },其中 N+.若x A,y B,有對(duì)應(yīng)關(guān)系 ： 是從集合A到集合B的一個(gè)映射，且 =4, =7,試求 的值.

【解答關(guān)鍵】先通過已知條求得 ，再通過分析映射的兩個(gè)集合中元素之間的關(guān)系，得出m、n之間的方程，解得相應(yīng)的參數(shù)值.
【規(guī)范解答】由 =4, =7,列方程組： 故對(duì)應(yīng)法則為： .
由此判斷A中元素3的像是 或 . 若 =10，因 N+不可能成立,所以 =10,解得 =2或n= -5(舍去).
又當(dāng)集合A中的元素 的像是 時(shí),即 =16, 解得 =5.
當(dāng)集合A中的元素 的像是 時(shí), 即 =10, 解得 =3.由元素唯一性知, =3舍去.
故 =3,q=1, =5, =3或 =3,q=1, =5, =2.
【歸納總結(jié)】通過該題，加深對(duì)映射的理解，加深對(duì)映射中對(duì)應(yīng)法則的理解和應(yīng)用.解好此題的關(guān)鍵是分清原象和象各是誰，對(duì)應(yīng)法則是什么，對(duì)應(yīng)法則是如何把象與原象聯(lián)系在一起的.映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，函數(shù)是一種特殊的映射.
【活學(xué)活用】2.設(shè)f : A→B是A到B的一個(gè)映射，其中A=B={（x，y）x，y∈R}，f :（x，y）→（x－y，x+y），求A中元素（－1，2）的象和B中元素（－1，2）的原象.
2．這是一個(gè)映射的問題，由已知（x，y）的象為（x－y，x+y），確定了對(duì)應(yīng)法則.
先求A中元素（－1，2）的象.令x=－1，y=2，
由題意得x－y=－1－2=－3，x+y=－1+2=1，所以（－1，2）的象為（－3，1）;
再求B中元素（－1，2）的原象.令 解得
所以（－1，2）的原象是（ ， ）.
題型三 利用映射研究函數(shù)問題
例 3設(shè)A={x?0≤x≤2}，B={y?1≤y≤2}，圖中表示A到B的函數(shù)是 （ ）

【解答關(guān)鍵】本題已知兩個(gè)集合為數(shù)集，再根據(jù)圖像觀察是否為映射，便可得出是否為函數(shù).
【規(guī)范解答】首先C圖中，A中同一個(gè)元素x（除x=2)與B中兩個(gè)元素對(duì)應(yīng)，它不是映射，當(dāng)然更不是函數(shù)；其次，A、B兩圖中，A所對(duì)應(yīng)的“象”的集合均為{y?0≤y≤2}，而{y?0≤y≤2} B={y?1≤y≤2}，故它們均不能構(gòu)成 的函數(shù)．從而答案選D．
【易混辨析】本題根據(jù)映射觀點(diǎn)下的函數(shù)定義直接求解．考察函數(shù)圖像與映射之間的關(guān)系，此類問題回到定義中去，牢牢掌握映射的概念，就很容易解決，而關(guān)于映射知識(shí)點(diǎn)的考察，一般也是對(duì)其概念進(jìn)行考察.函數(shù)首先必須是映射，是當(dāng)集合A與B均為非空數(shù)集時(shí)的映射．因此，判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)是否能構(gòu)成函數(shù)，應(yīng)判斷：①集合A與B是否為非空數(shù)集；②f：A→B能否為一個(gè)映射．另外，函數(shù)f：A→B中，象的集合叫函數(shù)的值域，且B．
【活學(xué)活用】3.圖中表示的是從集合 到集合 的對(duì)應(yīng)，其中能構(gòu)成映射的是 ( )

3.A 解析： 到 的一個(gè)對(duì)應(yīng)能否構(gòu)成 到 的映射的關(guān)鍵是：集合 中的任一元素都必須滿足對(duì)應(yīng)于集合 中唯一的元素. 因此，圖象中必須滿足對(duì)于 的每一個(gè)值， 必須有且只有唯一的值與之對(duì)應(yīng).不難得知應(yīng)選A.
(二）小結(jié)
七、 目標(biāo)檢測
一、選擇題
1.設(shè) 是集合A到B的映射，下列說法正確的是（ ）
A、A中每一個(gè)元素在B中必有像 B、B中每一個(gè)元素在A中必有原像
C、B中每一個(gè)元素在A中的原像是唯一的 D、B是A中所在元素的像的集合
1.A解析：是對(duì)映射概念的判斷，對(duì)于答案B，D集合B中的元素在集合A中不一定有原像，因此也不是集合A中所在元素的像的集合.答案C自然也錯(cuò).
2.下列各對(duì)應(yīng)關(guān)系中,是從A到B的映射的有( )

A、（2）（3） B、（1）（4） C、（2）（4） D、（1）（3）
2. D解析：（1）（3）這兩個(gè)圖所表示的對(duì)應(yīng)都符合映射的定義，對(duì)于（2）中的元素 都對(duì)應(yīng)著兩個(gè)元素，（4）中的元素 沒有元素與之對(duì)應(yīng).
3.點(diǎn) 在映射 下的對(duì)應(yīng)元素為 ，則點(diǎn) 在 作用下的對(duì)應(yīng)元素為( )
A. B. C. D.
3.C 解析： ， .
4. 已知映射f：A→B，其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的像，且對(duì)任意a∈A，在B中和它們對(duì)應(yīng)的元素是a，則集合B中元素的個(gè)數(shù)是 （ ）
A． 4 B．5 C．6 D．7
4. A解析：依題意，由A→B的對(duì)應(yīng)法則為f：a→a．于是，將集合A中的7個(gè)不同元素分別取絕對(duì)值后依次得3，2，1，1，2，3，4．由集合元素的互異性可知，B={1，2，3，4}，它有4個(gè)元素，答案選A．
二、填空題
5.已知集合A={x?0≤x≤4}，B={y?0≤y≤2}，下列從A到B的對(duì)應(yīng)f：①f：x→y=
②f：x→y= ③f：x→y= ④f：x→y=
（1）其中不是映射的是 ； （2）其中是一一映射的是 ．
5．（1）③，（2）①④ 解析：. ③中當(dāng)x=4時(shí)在集合B中找不到對(duì)應(yīng)的像.②中集合B中的像x=2找不到對(duì)應(yīng)的原像.
6.已知集合A=Z,B={xx=2n＋1,n Z},C=R,且從A到B的映射是x→2x-1,從B到C的映射是x→ ,則從A到C的映射是____.
6.x→ 解析：A到C的映射為x→ .
7.若映射f：A→B的像的集合是Y，原像的集合是X，則X與A的關(guān)系是_ _____，Y和B的關(guān)系是__ ___.
7. A=X Y B 解析：是對(duì)映射概念的判斷，顯然X與A的關(guān)系是相等，因?yàn)锽中每一個(gè)元素在A中不一定有原像，所以Y和B的關(guān)系是Y B.
三、解答題
8.已知 ， ，且從 到 的映射滿足 ，試確定這樣的映射 的個(gè)數(shù).
8.因?yàn)閺?到 的映射滿足 ，所以
⑴當(dāng) 時(shí)，有 或 或
⑵當(dāng) 時(shí)，有
綜上，從 到 的映射中滿足 的映射 的個(gè)數(shù)是4個(gè).
9.已知映射f：A→B中，A=B={(x，y)?x∈R，y∈R }，f：(x，y) →(x+2y+2，4x+y)．
（1）求A中元素（5，5）的像；
（2）求B中元素（5，5）的原像；
（3）是否存在這樣的元素(a，b)，使它的像仍是自己？若有，求出這個(gè)元素．
9.（1）由題意有A中元素（5，5）的像為
（2）B中元素（5，5）的原像滿足x+2y+2=5，4x+y=5，解得 .
所以B中元素（5，5）的原像為(1，1)；
（3）假設(shè)存在這樣的元素(a，b)，使它的像仍是自己
它滿足方程組x = x+2y+2，y = 4x+y．解得 ，此元素為（0，-1）．
高考能力演練
10. 設(shè)A={(x，y)?x∈R，y∈R }．如果由A到A的一一映射，使像集合中的元素(y-1，x+2)和原像集合中的元素(x，y)對(duì)應(yīng)，那么像(3，-4)的原像是（ ）
A．（-5，5） B．（4，-6） C．（2，-2） D．（-6，4）
10.D解析：由像與原像的概念可知，本題中的對(duì)應(yīng)法則是f：(x，y)→(y-1，x+2)，問題即：當(dāng)點(diǎn)(y-1，x+2)是（3，-4）時(shí)，對(duì)應(yīng)的x，y的值分別是多少？于是由
，即像（-3，4）的原像是（-6，4），選D．
11.已知集合 ， ，其中 ， .若 ， ，映射 : → 使 中元素 和 中元素 對(duì)應(yīng).求 和 的值.
11.∵ 中元素 對(duì)應(yīng) 中元素 ，
∴ 中元素的象是 ， 的象是 ， 的象是 .∴ ，或 .
又 ，∴ ，解之，得 .
∵ 的象是 ，∴ ，解之，得 .
12. 現(xiàn)代社會(huì)對(duì)破譯密的難度要求越越高，有一種密碼把英的明（真實(shí)）按兩個(gè)字母一組分組（如果最后剩一個(gè)字母，則任意添一個(gè)字母，拼成一組），例如：
Wish y.u success，分組為Wi，sh，y.，us，uc，ce，ss得到
, , , , , , ,
其中英的a，b，c，…，z的26個(gè)字母（不論大小寫）依次對(duì)應(yīng)的1，2，3，…，26這26個(gè)自然數(shù)，見表格：
abcdefghijklm
12345678910111213
n.pqrstuvwxyz
14151617181920212223242526
給出如下一個(gè)變換公式 將明轉(zhuǎn)換為密.如
→ → ，即ce變成mc（說明：29÷26余數(shù)為3）.
又如 → → ，即wi變成.a（說明：41÷26余數(shù)為15，105÷26余數(shù)為1）.
（1）按上述方法將明star譯成密；
（2）若按上述方法將某明譯成的密是kcwi，請你找出它的明.
12.（1）將star分組：st，ar，對(duì)應(yīng)的數(shù)組分別為 ，
由 得 → ， → .
∴star翻譯成密為ggk
（2）由 得
將kcwi分組：kc，wi，對(duì)應(yīng)的數(shù)組分別為 ， ,由 得 → → ， → .
∴密kcwi翻譯成明為g..d.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoyi/47412.html

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