§3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型(1)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義，理解它們的增長差異；
2. 借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異；
3. 恰當(dāng)運(yùn)用函數(shù)的三種表示法（解析式、圖象、列表）并借助信息技術(shù)解決一些實(shí)際問題.
前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P95~ P98，找出疑惑之處）
閱讀：澳大利亞兔子數(shù)“爆炸”
有一大群喝水、嬉戲的兔子，但是這群兔子曾使澳大利亞傷透了腦筋．1859年，有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且沒有兔子的天敵，兔子數(shù)量不斷增加，不到100年，兔子們占領(lǐng)了整個(gè)澳大利亞，數(shù)量達(dá)到75億只．可愛的兔子變得可惡起，75億只兔子吃掉了相當(dāng)于75億只羊所吃的牧草，草原的載畜率大大降低，而牛羊是澳大利亞的主要牲口．這使澳大利亞頭痛不已，他們采用各種方法消滅這些兔子，直至二十世紀(jì)五十年代，科學(xué)家采用載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔，澳大利亞人才算松了一口氣．
典型例題
例1假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：
方案一：每天回報(bào)40元；
方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；
方案三：第一天回報(bào)0 .4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番．
請問，你會(huì)選擇哪種投資方案？

反思：① 在本例中涉及哪些數(shù)量關(guān)系？如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系？

② 根據(jù)此例的數(shù)據(jù)，你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長差異有什么認(rèn)識？借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)圖象，并通過圖象描述一下三種方案的特點(diǎn).
例2某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金 （單位：萬元）隨銷售利潤 （單位：萬元）的增加而增加但獎(jiǎng)金不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%．現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：
； ； .
問：其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？

反思：
① 此例涉及了哪幾類函數(shù)模型？本例實(shí)質(zhì)如何？

② 根據(jù)問題中的數(shù)據(jù)，如何判定所給的獎(jiǎng)勵(lì)模型是否符合公司要求？

練1. 如圖，是某受污染的湖泊在自然凈化過程中，某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t（月）的近似函數(shù)關(guān)系： (t≥0，a>0且a≠1)．有以下敘述
①第4個(gè)月時(shí)，剩留量就會(huì)低于 ；
②每月減少的有害物質(zhì)量都相等；
③若剩留量為 所經(jīng)過的時(shí)間分別是 ，則 .
其中所有正確的敘述是 .
練2. 經(jīng)市場調(diào)查分析知，某地明年從年初開始的前 個(gè)月，對某種商品需求總量 (萬)近似地滿足關(guān)系 ．
寫出明年第 個(gè)月這種商品需求量 (萬)與月份 的函數(shù)關(guān)系式.

堂小結(jié)
1. 兩類實(shí)際問題：投資回報(bào)、設(shè)計(jì)獎(jiǎng)勵(lì)方案；2. 幾種函數(shù)模型：一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)；3. 應(yīng)用建模（函數(shù)模型）；
知識拓展
解決應(yīng)用題的一般程序：
① 審題：弄清題意，分清條和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；
② 建模：將字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
③ 解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；
④ 還原：將用數(shù)學(xué)知識和方法得出的結(jié)論，還原為實(shí)際問題的意義．
學(xué)習(xí)評價(jià)
1. 某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)……，現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y為（ ）.
A． B. y=2 C. y=2 D. y=2x
2. 某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后增長越越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型反映該公司調(diào)整后利潤y與時(shí)間x的關(guān)系，可選用（ ）.
A. 一次函數(shù) B. 二次函數(shù)
C. 指數(shù)型函數(shù) D. 對數(shù)型函數(shù)
3. 一等腰三角形的周長是20，底邊長y是關(guān)于腰長x的函數(shù)，它的解析式為（ ）.
A. y=20-2x （x≤10） B. y=20-2x （x<10） C. y=20-2x （5≤x≤10） D. y=20-2x（5<x<10）
4. 某新品電視投放市場后第1個(gè)月銷售100臺，第2個(gè)月銷售200臺，第3個(gè)月銷售400臺，第4個(gè)月銷售790臺，則銷量y與投放市場的月數(shù)x之間的關(guān)系可寫成 .
5. 某種計(jì)算機(jī)病毒是通過電子郵進(jìn)行傳播的，如果某臺計(jì)算機(jī)感染上這種病毒，那么每輪病毒發(fā)作時(shí)，這臺計(jì)算機(jī)都可能感染沒被感染的20臺計(jì)算機(jī). 現(xiàn)在10臺計(jì)算機(jī)在第1輪病毒發(fā)作時(shí)被感染，問在第5輪病毒發(fā)作時(shí)可能有 臺計(jì)算機(jī)被感染. （用式子表示）
后作業(yè)
1. 某服裝個(gè)體戶在進(jìn)一批服裝時(shí)，進(jìn)價(jià)已按原價(jià)打了七五折，他打算對該服裝定一新價(jià)標(biāo)在價(jià)目卡上，并注明按該價(jià)20%銷售. 這樣，仍可獲得25%的純利. 求此個(gè)體戶給這批服裝定的新標(biāo)價(jià)與原標(biāo)價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系.

2. 某書店對學(xué)生實(shí)行促銷優(yōu)惠購書活動(dòng)，規(guī)定一次所購書的定價(jià)總額：①如不超過20元，則不予優(yōu)惠；②如超過20元但不超過50元，則按實(shí)價(jià)給予9折優(yōu)惠；③如超過50元，其中少于50元包括50元的部分按②給予優(yōu)惠，超過50元的部分給予8折優(yōu)惠．
（1）試求一次購書的實(shí)際付款y元與所購書的定價(jià)總額x元的函數(shù)關(guān)系；
（2）現(xiàn)在一學(xué)生兩次去購書，分別付款16.8元和42.3元，若他一次購買同樣的書，則應(yīng)付款多少？比原分兩次購書優(yōu)惠多少？

§3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型(2)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1. 結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義，理解它們的增長差異；
2. 借助信息技術(shù)，利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格，比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長差異；
3. 恰當(dāng)運(yùn)用函數(shù)的三種表示法（解析式、圖象、列表）并借助信息技術(shù)解決一些實(shí)際問題.
舊知提示 （預(yù)習(xí)教材P98~ P101，找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：用石板圍一個(gè)面積為200平方米的矩形場地，一邊利用舊墻，則靠舊墻的一邊長為___________米時(shí)，才能使所有石料的最省.
復(fù)習(xí)2：三個(gè)變量 隨自變量 的變化情況如下表：

1357911
y15135625171536456633
y2529245218919685177149
y356.16.616.957.207.40
其中 呈對數(shù)型函數(shù)變化的變量是________，呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是________，呈冪函數(shù)型變化的變量是________.
合作探究
探究：冪、指、對函數(shù)的增長差異
問題：冪函數(shù) 、指數(shù)函數(shù) 、對數(shù)函數(shù) 在區(qū)間 上的單調(diào)性如何？增長有差異嗎？

實(shí)驗(yàn)：函數(shù) ， ， ，試計(jì)算：

12345678
y1
y2
y3011.5822.322.582.813
由表中的數(shù)據(jù)，你能得到什么結(jié)論？

思考： 大小關(guān)系是如何的？增長差異？
結(jié)論：在區(qū)間 上，盡管 ， 和 都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上，隨著x的增大， 的增長速度越越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于 的增長速度．而 的增長速度則越越慢．因此，總會(huì)存在一個(gè) ，當(dāng) 時(shí)，就有 ．
典型例題
例1某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬，1.2萬，1.3萬，為了估計(jì)以后每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)用一個(gè)函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量 與月份的 關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù) . 已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬，請問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.

小結(jié)：待定系數(shù)法求解函數(shù)模型；優(yōu)選模型.
練1. 為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒. 已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為 （a為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：
（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為 .
（2）據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過 小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室.
練2. 某商場購進(jìn)一批單價(jià)為6元的日用品，銷售一段時(shí)間后，為了獲得更多利潤，商場決定提高銷售價(jià)格. 經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，若按每20元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360，若按25元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣210，假定每月銷售數(shù)y（）是價(jià)格x（元/）的一次函數(shù).
（1）試求y與x之間的關(guān)系式；
（2）在商品不積壓，且不考慮其它因素的條下，問銷售價(jià)格定為多少時(shí)，才能時(shí)每月獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？

堂小結(jié)
直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型的增長的含義.
知識拓展
在科學(xué)試驗(yàn)、工程設(shè)計(jì)、生產(chǎn)工藝和各類規(guī)劃、決策與管理等許多工作中，常常要制訂最優(yōu)化方案，優(yōu)選學(xué)是研究如何迅速地、合理地尋求這些方案的科學(xué)理論、模型與方法. 它被廣泛應(yīng)用于管理、生產(chǎn)、科技和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，幾乎可以用于凡是有數(shù)值加工的每個(gè)領(lǐng)域. 中國數(shù)學(xué)家華羅庚在推廣優(yōu)選方法的理論研究和開發(fā)研究工作中付出巨大貢獻(xiàn).
學(xué)習(xí)評價(jià)
1. 某工廠簽訂了供貨合同后組織工人生產(chǎn)某貨物，生產(chǎn)了一段時(shí)間后，由于訂貨商想再多訂一些，但供貨時(shí)間不變，該工廠便組織工人加班生產(chǎn)，能反映該工廠生產(chǎn)的貨物數(shù)量y與時(shí)間x的函數(shù)圖象大致是（ ）.

2. 下列函數(shù)中隨 增大而增大速度最快的是（ ）.
A． B． C． D．
3. 根據(jù)三個(gè)函數(shù) 給出以下命題：
（1） 在其定義域上都是增函數(shù)；
（2） 的增長速度始終不變；（3） 的增長速度越越快；
（4） 的增長速度越越快；（5） 的增長速度越越慢。
其中正確的命題個(gè)數(shù)為（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4. 當(dāng) 的大小關(guān)系是 .

5. 某廠生產(chǎn)中所需一些配可以外購，也可以自己生產(chǎn)，如外購，每個(gè)價(jià)格是1.10元；如果自己生產(chǎn)，則每月的固定成本將增加800元，并且生產(chǎn)每個(gè)配的材料和勞力需0.60元，則決定此配外購或自產(chǎn)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是____(即生產(chǎn)多少以上自產(chǎn)合算)

外作業(yè)
1. 下列函數(shù)關(guān)系中，可以看著是指數(shù)型函數(shù) （ 模型的是（ ）.
A.豎直向上發(fā)射的信號彈，從發(fā)射到落回地面，信號彈的高度與時(shí)間的關(guān)系（不計(jì)空氣阻力）
B.我國人口年自然增長率為1?，這樣我國人口總數(shù)隨年份的變化關(guān)系
C.如果某人ts內(nèi)騎車行進(jìn)了1km，那么此人騎車的平均速度v與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系
D.信的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系
2. 用長度為24的材料圍一個(gè)矩形場地，中間且有兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為（ ）.
A．3 B．4 C．6 D．12
3. 已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿足關(guān)系y=a•（0.5）x+b，現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬、1.5萬．則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為_________．
4. 某商店出售茶壺和茶杯，茶壺每個(gè)定價(jià)20元，茶杯每個(gè)定價(jià)為5元，該店推出兩種優(yōu)惠辦法：
（1）買一個(gè)茶壺贈(zèng)送一個(gè)茶杯；
（2）按總價(jià)的92%付款.
某顧客需購茶壺4個(gè)，茶杯若干（不少于4個(gè)），若需茶杯 個(gè)，付款數(shù)為y（元），試分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與 的函數(shù)關(guān)系，并討論顧客選擇哪種優(yōu)惠方法更合算.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoyi/48019.html

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