數(shù) 學 訓 練 9
本卷滿分150分，限時120分鐘（2012.5）

說明：1、本卷內(nèi)容包括必修5的全部內(nèi)容與必修2的直線方程的點斜式之前的內(nèi)容.
2、本卷可以作為1——15班的5月月考題，也可以作為16——21班的訓練題.

第I卷 （ 共50分）)
一、：(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)
1、已知 中， ，那么角 等于 ( )
（A） （B） （C） （D）
2、已知直線 過點 ，它的傾斜角是直線 的傾斜角的兩倍，則直線 的方程為 ( )
（A） （B） （C） （D）
3、關于直線 以及平面 ，下面命題正確的是 （ ）
（A）若 ，則 （B）若 ，則
（C）若 ，則 （D）若 且 ，則
4、已知二面角 的大小為 ， 為異面直線，且 ，則 所成的角為 ( )
（A） （B） （C） （D）
5、在 中， ，則 ( )
（A） （B） （C） （D）
6、將直線 繞它上面一點 沿逆時針方向旋轉(zhuǎn) ，得到的直線方程是 ( )
（A） （B） （C） （D）
7、在家電下鄉(xiāng)活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用。每輛甲型貨車運輸費用是400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用是300元，可裝洗衣機10臺。若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為 （ ）
（A）2000元 （B）2200元 （C）2400元 （D）2800元
8、已知 為等差數(shù)列， ， ，以 表示 的前 項和，則使得 達到最大值的 是 ( )
（A） 21 （B）20 （C）19 （D）18
9、已知等比數(shù)列 滿足 且 ，則當 時， ( )
（A） （B） （C） （D）
10、如圖，動點 在正方體 的對角線 上．過點 作垂直于平面 的直線，與正方體表面相交于 ．設 ， ，則函數(shù) 的圖象大致是 （ ）
)

第II卷 非選擇題 共100分

二、題：(本大題共5小題，每小題5分，共25分．把答案填在答題卡相應位置上．)
11、已知正四面體內(nèi)的一點到各面的距離和為 ，則些正四面體的棱長為 .
12、若 為不等式組 表示的平面區(qū)域，則當 從－2連續(xù)變化到1時，動直線 掃過 中的那部分區(qū)域的面積為
13、直線 的斜率的取值范圍是 .
14、《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一.書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的 是較小的兩份之和，則最小的一份為 .
15、若正數(shù) 使不等式 對一切正數(shù) 都成立，則 的最小值是 .

三、解答題：：（本大題共6小題，共75分．解答應寫出字說明，證明過程或演算步驟．）
16、（12分）求三邊是連續(xù)的三個自然數(shù)且最大角是最小角的二倍的三角形的三邊之長.
17、（12分）過定點 作直線 分別與 軸、y軸正向交與 兩點，求使 面積最小時的直線方程.

18、（12分）如圖，在四棱錐 中，底面 是四邊長為1的菱形， , , , 為 的中點， 為 的中點.
（1）證明：直線 ；
（2）求異面直線AB與D所成角的大小.

19、（12分）已知數(shù)列 為等差數(shù)列，且 .
(1)求證：數(shù)列 是等比數(shù)列；
（2）求 的值.

20、（13分）某工廠要建造一個長方形無蓋貯水池，由于生產(chǎn)需要，水池的正面的長度x不得小于 米，其容積做成 立方米，深為 米.如果池底每平方米的造價為 元，池壁每平方米的造價為 元.求
（1）把水池總造價 表示成 的函數(shù)，并寫出該函數(shù)的定義域；
（2）當水池正面的長度為多少時，總造價最低？最低總造價是多少？

21、（14分）設 是正項數(shù)列 的前 項和，且 .
（1）求數(shù)列 的通項公式；
（2）是否存在等比數(shù)列 ，使 對一切正整數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論；
（3）設 ，且數(shù)列 的前 項和為 ，試比較 與 的大小.

數(shù)學訓練9參考答案
第I卷
一、選擇題
1～5、 ，6～10
第II卷
二、題
11、2 12、 13、 14、 15、
三、解答題
16、設三角形的三邊長分別是 ，
三個內(nèi)角分別是 ，
由正弦定理得 ，由余弦定理得
，化簡，
所以 （舍去）或 ，所以三角形的三邊長分別是 .
17、設直線的方程為 ，由題意知 .
令 得， ， .令 ，得 ，
，
當且僅當 時，等號成立， ，
此時直線的方程是 ，即 .
18、法一、取OB中點E，連接E，NE，如圖1，證明
法二、也可以取 的中點 ,證明平面 平面
法三、構(gòu)造截線的方法.延長 交 的延長線于 ，連 證 ，如圖2
（2）
為異面直線 與 所成的角（或其補角）如圖3
連
在 中，由余弦定理可求得
在 ，由勾股定理可求得
在 中， ，由余弦定理得， ，
所以 與 所成角的大小為 .
19、(1) 為等差數(shù)列
，
首項
，由此得 ，
， 是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列.
(2)由（1）可知 ,

.
20、（1）由題意可得，
所以，
（2）
當且僅當 時取等號.
①若 時，則函數(shù) 在 上是增函數(shù)， 時， 有最小值 ；
②若 ，由均值不等式， 時， .
故當 時，正面長度為 米時，總造價最低，最低造價為 元.
當 時，側(cè)面長度為 米時，造價最低，最低造價為 元.
21、（1）由已知， ，則 ，
兩式相減，得 ，
變形， ， ， .
由已知， ， ，
是以3為首項，以2為公差的等差數(shù)列. .
（2）在 中，
令 ， 得 ，由（1）知 ， ；
令 ，得 .
…………
猜想 ，使 ，證明如下：
……………………………（1）
…………（2）
錯位相減，并化簡，得 ，這就是說存在 ，使得
.
(3) ,
,
故 .

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