1.1集合的含義及其表示
一.課標解讀
1.《普通高中數(shù)學課程標準》明確指出：“通過實例,了解集合的含義,體會元素與集合的”屬于”關(guān)系；能選擇自然語言.圖形語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題感受集合語言的意義和作用.”
2.重點:集合的概念與表示方法.
3.難點:運用集合的兩種常用表示法---列舉法與描述法,正確表示一些簡單的集合.
二.要點掃描
1.集合的概念
一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合（或集）；構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素（或成員）。集合的元素可以是我們看到的、聽到的、聞到的、觸摸到的、想到的各種各樣的事物或者一些抽象符號。
2.集合元素的特征
由集合概念中的兩個關(guān)鍵詞“確定的”、“不同的”可以知道集合元素有兩大特征性質(zhì)：
⑴確定性特征：集合中的元素必須是明確的，不允許出現(xiàn)模棱兩可、無法斷定的陳述。
設集合 給定，若有一具體對象 ，則 要么是 的元素，要么不是 的元素，二者必居
其一，且只居其一。
⑵互異性特征：集合中的元素必須是互不相同的。設集合 給定， 的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的對象歸于同一集合時只能算集合的一個元素。
3.集合與元素之間的關(guān)系
集合與元素之間只有“屬于 ”或“不屬于 ”。例如： 是集合 的元素，記作 ，讀作“ 屬于 ”； 不是集合 的元素，記作 ，讀作“ 不屬于 ”。
4.集合的分類
集合按照元素個數(shù)可以分為有限集和無限集。特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，記作 。
5.集合的表示方法
⑴列舉法是把元素不重復、不計順序的一一列舉出來的方法，非常直觀，一目了然。
⑵特征性質(zhì)描述法是用確定的條件描述集合內(nèi)元素特點的集合表示方法。
例如：集合 可以用它的特征性質(zhì) 描述為{ }，這表示在集合 中，屬于集合 的任意一個元素 都具有性質(zhì) ，而不屬于集合 的元素都不具有性質(zhì) 。
除此之外，集合還常用韋恩圖來表示，韋恩圖是用封閉曲線內(nèi)部的點來表示集合的方法（有時，也用小寫字母分別定出集合中的某些元素），同學們在下節(jié)課中會接觸到這個內(nèi)容。
三.知識精講
知識點1.集合與元素
一個東西是集合還是元素并不是絕對的，很多情況下是相對的，集合是由元素組成的集合，元素是組成集合的元素。例如：你所在的班級是一個集合，是由幾十個和你同齡的同學組成的集合，你相對于這個班級集合來說，是它的一個元素；而整個學校又是由許許多多個班級組成的集合，你所在的班級只是其中的一分子，是一個元素。班級相對于你是集合，相對于學校是元素，參照物不同，得到的結(jié)論也不同，可見，是集合還是元素，并不是絕對的。
知識點2.區(qū)分 、{ }與{ }
是空集，是不含任何元素的集合；{ }不是空集，它是以一個 為元素的單元素集合，而非不含任何元素，所以 { }；{ }也不是空集，而是單元素集合，只有一個元素 ，可見 { }， { }，這也體現(xiàn)了“是集合還是元素，并不是絕對的”。
知識點3.解集合問題的關(guān)鍵
解集合問題的關(guān)鍵：弄清集合是由哪些元素所構(gòu)成的，也就是將抽象問題具體化、形象化，將特征性質(zhì)描述法表示的集合用列舉法來表示，或用韋恩圖來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合，比如用數(shù)軸來表示集合，或是集合的元素為有序?qū)崝?shù)對時，可用平面直角坐標系中的圖形表示相關(guān)的集合等。
四.典題解悟
-------------------------------------------------------基礎在線---------------------------------------------------
[題型一]集合的判斷
集合元素的特征：
⑴確定性特征：集合中的元素必須是明確的，不允許出現(xiàn)模棱兩可、無法斷定的陳述。設集合
給定，若有一具體對象 ，則 要么是 的元素，要么不是 的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互異性特征：集合中的元素必須是互不相同的。設集合 給定， 的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的對象歸于同一集合時只能算集合的一個元素。
例1、 “①難解的題目;②方程 ;③平面直角坐標系內(nèi)第四象限的一些點;④很多多項式”中，能組成集合的是( )。
.② .① ③ .② ④ .① ② ④
解析: 解這類題目要從集合元素的特征-----確定性、互異性-----出發(fā)。
①③④不符合集合元素的確定性特征。
答案:
例2、下列命題正確的個數(shù)為…………………( )。
①很小兩實數(shù)可以構(gòu)成集合；
② 與 是同一集合
③ 這些數(shù)組成的集合有5個數(shù)；
④集合 是指第二、四象限內(nèi)的點集；
. 個 . 個 . 個 . 個
解析:
①中的元素不符合集合元素的確定性，不對；
②先看 “”左邊描述的元素，第一個集合是函數(shù) 的值域，第二個集合是點集，所以不是同一集合；
③根據(jù)集合元素的互異原則： ，所以集合有3個數(shù)，③不對；
④先看 “”左邊描述的元素，集合是點集，再看“”右邊規(guī)定的元素的公共屬性 ，第二、四象限內(nèi)的點集的公共屬性應為 ， 包括了坐標軸上的點，④也不對；
答案: A
例3、 則 中的元素 應滿足什么條件？
解析:根據(jù)集合中元素具有的互異性可知，該集合中的元素應滿足 ，解不等式組即得答案。
答案:
[題型二] 集合與元素之間的關(guān)系
集合與元素之間只有“屬于 ”或“不屬于 ”。
例4、下列表述是否正確，說明理由。
⑴ {全體整數(shù)}
⑵ {實數(shù)集}
解析:“{ }”是集合符號，包含了“所有”“全體”“全部”“集”等含義，因而這些詞語不能再出現(xiàn)在大括號內(nèi)；而 表示以實數(shù)集為元素的集合，它與 的關(guān)系是 。
答案: ⑴ {整數(shù)}，⑵ {實數(shù)}。
[題型三] 集合的表示方法
（1）列舉法是把元素不重復、不計順序的一一列舉出來的方法，非常直觀，一目了然。
（2）特征性質(zhì)描述法：集合 可以用它的特征性質(zhì) 描述為{ }，這表示在集合 中，屬于集合 的任意一個元素 都具有性質(zhì) ，而不屬于集合 的元素都不具有性質(zhì) 。
例5、⑴用列舉法表示下列集合：
① ；
②
⑵用特征性質(zhì)描述法表示下列集合
①所有正偶數(shù)組成的集合 ；
②被9除余2的數(shù)組成的集合 。
解析：首先搞清楚組成集合的元素是什么，然后再選擇適當?shù)姆椒ū硎炯�合�?br />答案：
⑴①{ }；
②
⑵①
②
例6、指出下列集合的元素：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ 。
解析：分析一個集合，首先要看“”左邊，左邊的記號表示元素；再看“”右邊，右邊規(guī)定了元素的公共屬性，尤其是本題的第⑶、⑷小題，⑶的元素 是函數(shù)的自變量，⑷的元素 是函數(shù)的函數(shù)值，雖然共同屬性都是滿足一個函數(shù)關(guān)系式，但⑶表示函數(shù)的定義域，⑷卻表示函數(shù)的值域，一定要理解清楚它們的各自含義。
答案：
⑴元素 所滿足的共同屬性為 ,
⑵元素 易錯點所滿足的共同屬性為 ，,故元素是有實根的一元二次方程；
⑶元素 所滿足的共同屬性為 ，即函數(shù) 中自變量 所能取到的實數(shù)的全體，也就是該函數(shù)的定義域，化簡后為 ，故元素為函數(shù) 的定義域中的所有實數(shù)；
⑷元素 所滿足的共同屬性為 ，即函數(shù) 中函數(shù)值 所能取到的實數(shù)的全體，也就是該函數(shù)的值域，化簡得到 ，所以元素為函數(shù) 的值域中的所有實數(shù)。
-------------------------------------------------------拓展一步-----------------------------------------------
1．集合與方程。
例7、若方程 的解集是 求 . 的值。
解析:由解集是 可知這是個二次方程，即 ，
由韋達定理， ，解得
答案:
2．用數(shù)形結(jié)合的思想解集合問題。
例8、求集合 與集合 有公共元素的 的取值范圍。
解析:集合 即為不等式 的解集，是大于 的所有實數(shù)；集合 即為不等式 的解集，是小于 的所有實數(shù)，在數(shù)軸上表示出兩個集合，

可見，若要兩個集合有公共部分，必須 。
答案: 。
3． 注意中集合元素形式的轉(zhuǎn)化。
例9、若 ， 則 。
（填“ ”或“ ”）
解析:對 進行分母有理化, ，
令 ，則 。
答案:
-------------------------------------------------------錯解點擊---------------------------------------------------
例10．方程組 的解集是……………( )。
.{(-3,0)} .{-3,0} .(-3,0) .{(0,-3)}
錯解：
正解：
分析：首先解這個方程組，得到一組解 ，注意到題目中要求寫出解集，即解的集合，按照集合的表示方法，一定要用大括號，所以 不對；集合的元素是方程組的解，是有序數(shù)對，須加小括號。
例11．下列四個關(guān)系中，正確的是…………………( )。
. .
. .
錯解：
正解：
分析：首先， 選項中， 易錯點 是空集，是不含任何元素的集合，而{ }不是空集，它是以一個 為元素的單元素集合，所以 { }； 選項中 是空集， { }是以一個 為元素的單元素集合，這兩個集合之間沒有“屬于”或“不屬于”的關(guān)系； 選項中 、 這兩個集合之間同樣沒有“屬于”或“不屬于”的關(guān)系； 選項中 是集合，同時也是 的一個元素，所以 是正確的。
例12．下列各題中 與 表示同一集合的是……( )。
.
.
.
.
錯解：
正解：
分析： 選項中集合 、 的元素都是有序數(shù)對，而 ，∴ ； 選項中 是空集，是不含任何元素的集合，而{ }不是空集，它是以一個 為元素的單元素集合，∴ ； 選項中集合 是函數(shù) 的值域，集合 是函數(shù) 圖像上的所有點的集合，同樣 ； 選項中集合 、 分別是函數(shù) 和函數(shù) 的值域，這兩個函數(shù)值域相同，此題選 。
五.課本習題解析
六.同步自測
-------------------------------------------------------雙基訓練-------------------------------------------------------
1. 下面四個命題正確的是（ ）
以內(nèi)的質(zhì)數(shù)集合是 “個子較高的人”不能構(gòu)成集合
方程 的解集是 偶數(shù)集為
2.下列關(guān)系正確的是 （ ）
Z∈Q (2,1)∈{(2,1)}
N R 2∈{(2,1)}
3.已知A＝{x x≤3 ,x∈R}，a= , b=2 , 則（ ）
a∈A且b A a A且b∈A
a∈A且b∈A a A且b A
4.下列集合中，不同于另外三個的是（ ）


5. 下面命題：
① {2，3，4，2}是由四個元素組成的；
②集合{0}表示僅一個數(shù)“零”組成的集合；
③集合{1，2，4}與{4，1，2}是同一集合；
④集合{小于1的正有理數(shù)}是一個有限集。
其中正確的是（ ）
③④ ②③ ①② ②

6.集合 面積為 的矩形 ， 面積為 的正三角形 ，則正確的是（ ）
A. 都是無限集
B. 都是有限集
C. 是有限集 是無限集
D. 是有限集 是無限集
7.用列舉法表示集合： ；
8.用描述法寫出直角坐標系中，不在坐標軸上的點的坐標組成的集合 ；
9.設 都是非零的實數(shù)， 則 的值組成的集合的元素個數(shù)為 ；
10. 集合 中的元素 所應滿足的條件是 ；
11.若集合 有且只有一個元素，則實數(shù) 的取值集合是 ；
12.設直線 上的點集為 ，則 ，點（2，7）與 的關(guān)系為
（2，7） 。
13. 已知 ，若集合 中恰有3個元素，求
14. 已知 ， ， ，求
15. 已知集合A={xx=a+b ，a，b∈R}，判斷下列元素x與集合A之間的關(guān)系：
（1）x=0；（2）x= ；（3）x= 。
-------------------------------------------------------綜合提高-------------------------------------------------------
16. 設下面8個關(guān)系式 ，
其中正確的個數(shù)是（ ）
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
17. 集合M={(x，y) ≥0，x∈R，y∈R}的意義是（ ）
A．第一象限的點
B．第三象限的點
C． 第一和第三象限的點
D． 不在第二象限也不在第四象限的點
18.下列各式中錯誤的是（ ）
A．.-3
B．
C．
D．
19. ,下列不屬于 的是（ ）
. . . .
20.方程組 的解集可表示為① ② ③
④ ⑤
以上正確的個數(shù)是（ ）
5 個 4個 3個 2個
21.已知下列四個條件：
①數(shù)軸上到原點距離大于 的點的全體
②大于 且小于 的全體素數(shù)
③與 非常接近的實數(shù)的全體
④實數(shù)中不是無理數(shù)的所有數(shù)的全體
其中能夠組成集合的是 ；
22. 關(guān)于 的方程 ，當實數(shù) 滿足條件 時，方程的解集是有限集；當實數(shù) 滿足條件 時，方程的解集是無限集。
23.已知集合 ，用列舉法表示 ；
24.用特征性質(zhì)描述法表示直角坐標平面內(nèi)的橫坐標與縱坐標相等的點的集合是 ；
25.已知 求實數(shù) 的值
26. 已知集合 用列舉法表示集合 。
27. 已知集合A= ，若A中元素至多只有一個，求實數(shù) 的取值范圍。
七.相關(guān)鏈接
為科學而瘋的人——康托
康托(Contor,Georg)(1845-1918)，俄羅斯—德國數(shù)學家、19世紀數(shù)學偉大成就之一——集合論的創(chuàng)立人�？低凶杂讓�數(shù)學有濃厚興趣。23歲獲博士學位，以后一直從事數(shù)學與研究。他所創(chuàng)立的集合論已被公認為全部數(shù)學的基礎。
1874年康托的有關(guān)無窮的概念，震撼了知識界�？低袘{借古代與中世紀哲學著作中關(guān)于無限的思想而導出了關(guān)于數(shù)的本質(zhì)新的思想模式，建立了處理數(shù)學中的無限的基本技巧，從而極大地推動了分析與邏輯的發(fā)展。他研究數(shù)論和用三角函數(shù)唯一地表示函數(shù)等問題，發(fā)現(xiàn)了驚人的結(jié)果：證明有理數(shù)是可列的，而全體實數(shù)是不可列的。
由于研究無窮時往往推出一些合乎邏輯的但又荒謬的結(jié)果(稱為“悖論”)，許多大數(shù)學家唯恐陷進去而采取退避三舍的態(tài)度。在1874—1876年期間，不到30歲的康托向神秘的無窮宣戰(zhàn)。他靠著辛勤的汗水，成功地證明了一條直線上的點能夠和一個平面上的點一一對應，也能和空間中的點一一對應。這樣看起來，1厘米長的線段內(nèi)的點與太平洋面上的點，以及整個地球內(nèi)部的點都“一樣多”，后來幾年，康托對這類“無窮集合”問題發(fā)表了一系列文章，通過嚴格證明得出了許多驚人的結(jié)論。
康托的創(chuàng)造性工作與傳統(tǒng)的數(shù)學觀念發(fā)生了尖銳沖突，遭到一些人的反對、攻擊甚至謾罵。有人說，康托的集合論是一種“疾病”，康托的概念是“霧中之霧”，甚至說康托是“瘋子”。
來自數(shù)學權(quán)威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進精神病醫(yī)院。他在集合論方面許多非常出色的成果，都是在精神病發(fā)作的間歇時期獲得的。
真金不怕火煉，康托的思想終于大放光彩。1897年舉行的第一次國際數(shù)學家會議上，他的成就得到承認，偉大的哲學家、數(shù)學家羅素稱贊康托的工作“可能是這個時代所能夸耀的最巨大的工作�！笨墒沁@時康托仍然神志恍惚，不能從人們的崇敬中得到安慰和喜悅。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。

高考解密
考點導航
05考綱
考題展示
考點①了解映射的概念,理解函數(shù)的概念
1.(2004年,湖北)
解
答案
2.(2004年,湖北)
解法一
解法二
答案
考點②

參考答案
1.1集合與集合的表示方法------------------------------------------
1.B 2.B 3. C 4. C 5. B 6. D
7. {（0，5），（1，3）（2，1）}
8. }
9. {3,-1}
10.
11. { 或 }
12.
13. 6
14.
15. 令 ，則x
(2) x= = ,令 即可，x
(3) x= , x .
16.C 17. D 18.C 19. A 20. A 21. ①②④ 22.
23. {0，6，14，21}
24. { }
25. 若 則 不成立； 成立；
若 則 不成立；
若 則 或 均不成立。
綜上所述，
26. {-7，-1，1，2，3，4}
27. 若 滿足題意；
若 。
綜上所述， 或 。

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoyi/53882.html

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