柱體、錐體、臺(tái)體的體積
練習(xí)一
一、
1、將一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方體，切成27個(gè)全等的小正方體，則表面積增加了（ ）
A、 6 a B、 12 a
C、 18 a D、 24 a
2、側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為a，則該三棱錐的全面積是（ ）
A、 a B、 a
C、 a D、 a
3、棱錐的高為16，底面積為512，平行于底面的截面積為50，則截面與底面之間的距離為( )
A、 25 B、 11
C、 10 D、 5
4、已知一個(gè)直平行六面體的底面是面積等于Q的菱形，兩個(gè)對(duì)角面面積分別是M和N，則這個(gè)平行六面體的體積是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、正四棱錐的底面面積為Q，側(cè)面積為S，則它的體積為（ ）
A、 Q B、
C、 D、
6、正棱錐的高和底面邊長(zhǎng)都縮小原來的 ，則它的體積是原來的（ ）
A、 B、
C、 D、
7、直三棱柱ABC——A1B1C1的體積為V，已知點(diǎn)P、Q分別為AA1、CC1上的點(diǎn)，而且滿足AP=C1Q，則四棱錐B—APQC的體積是（ ）
A、 V B、 V
C、 V D、 V
二、題
8、已知正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2和4，高是2，則這個(gè)棱臺(tái)的側(cè)面積是_____ 。
9、底面邊長(zhǎng)分別為a,b的一個(gè)直平行六面體的側(cè)面積是(a+b)c，則它的高為---------------------。
10、正六棱柱的高為5cm，最長(zhǎng)的對(duì)角線為13cm，它的全面積為-----------------。
11、三棱錐的五條棱長(zhǎng)都是5，另一條棱長(zhǎng)是6，則它的體積是-------------。
三、解答題
12、右圖中的圖形是一個(gè)正方體，H、F、G分別是棱AB、AD、AA1
的中點(diǎn)。現(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉一個(gè)角，問鋸掉的
這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾？
13、直平行六面體的底面是菱形,兩個(gè)對(duì)角面面積分別為 ,求直平行六面體的側(cè)面積
14、如圖，一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)
放一個(gè)半徑為r 的鐵球，并向容器內(nèi)注水，使水面恰在此時(shí)好
與鐵球相切，將球取出后，容器內(nèi)的水深是多少？
15、如圖，四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長(zhǎng)為a，PD=a，PA=PC= a，且PD是四棱錐的高。
（1）在這個(gè)四棱錐中放入一個(gè)球，求球的最大半徑。
（2）求四棱錐外接球的半徑。
答案：
一、
1、B；2、A；3、B；4、D；5、D；6、B；7、B
二、題
8、18
9、
10、
11、
三、解答題
12、解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積為a3，鋸掉的這個(gè)角是以三角形AGF為底面、H為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐。其體積為V= S AFG?AH= ? ? a? a? a = a3，
∴所鋸掉的這個(gè)角的體積是原正方體體積的 。
13、解：設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為l,兩條面對(duì)角線的長(zhǎng)分別為c,d,則
由(1)得 ,由(2)得 代入(3)得
∴
思維啟示：(1)此題需要大膽假設(shè),為列方程方便,可以將對(duì)角線設(shè)出,但設(shè)而不解。(2)需大膽消元,整體代入,三個(gè)方程四個(gè)未知數(shù),不能將其一一解出,這里需要將a與l的乘積看做一個(gè)整體進(jìn)行計(jì)算。
14、解：如圖，由題意，軸截面PAB為正三角形，故當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水深為3r，水面半徑為 r，容器內(nèi)水的體積就是V=V棱錐
-V球= （ r）2?3r- r3= r3
將球取出后，設(shè)容器中水的深度為h，則水面半徑為 h，此時(shí)容器內(nèi)水的體積為V/= （ h）2?h= h3
由V=V/，得h= 。即鐵球取出后水深為 。
15、證明：（1）設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面都相切，設(shè)球心為S，連結(jié)SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分為五個(gè)棱錐，設(shè)它們的高均為R。
VP——ABCD= ?S ABCD?PD= ?a?a?a
= a3，S PAD= S PDC= ?a?a= a2，
S PAB= S PBC= ?a? a= a2
S ABCD=a2。
VP—ABCD= VS—PDA+ VS——PDC+ VS-ABCD+ VS—PAB+ VS—PBC，
a3= R（S PAD+ S PDC+ S PAB+ S PBC+ S ABCD），
a3= R（ a2+ a2+ a2+
a2+a2），
R（2+ ）a2= a3，
∴R= = a=（1- ）a
∴球的最大半徑為（1- ）a
（2）設(shè)PB的中點(diǎn)為F，
∵ 在Rt PDB中，F(xiàn)P=FB=FD，
在Rt PAB中，F(xiàn)A=FP=FB，
在Rt PBC中，F(xiàn)P=FB=FC，
∴FP=FB=FA=FC=FD。
∴F為四棱錐外接球的球心。
則FP為外接球的半徑
∵FB= PB，∴FB= a。
∴四棱錐的外接球的半徑為 a。


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