(時(shí)間：120分鐘；滿分：150分)
一、(本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．下列命題中正確的是( )
A．a(chǎn)＞b?ac2＞bc2 B．a(chǎn)＞b?a2＞b2
C．a(chǎn)＞b?a3＞b3 D．a(chǎn)2＞b2?a＞b
解析：選C.A中，當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，所以A不正確；B中，當(dāng)a＝0＞b＝－1時(shí)，a2＝0＜b2＝1，所以B不正確；D中，當(dāng)(－2)2＞(－1)2時(shí)，－2＜－1，所以D不正確．很明顯C正確．
2．設(shè)M＝2a(a－2)＋3，N＝(a－1)(a－3)，a∈R，則有( )
A．M＞N B．M≥N
C．M＜N D．M≤N
解析：選B.M－N＝2a(a－2)＋3－(a－1)(a－3)
＝a2≥0.
3．當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)y＝ax＋2a＋1的值有正也有負(fù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)≥－13 B．a(chǎn)≤－1
C．－1
C．－5 D．5
解析：選B.由題意a<0，－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的兩根，
∴－1＋13＝－ba－1×13＝1a，
∴a＝－3，b＝－2.∴ab＝6.
5．已知全集U＝R，且A＝{xx－1＞2}，B＝{xx2－6x＋8＜0}，則(?UA)∩B等于( )
A．[－1,4) B．(2,3)
C．(2,3] D．(－1,4)
解析：選C.A＝{xx＞3或x＜－1}，B＝{x2＜x＜4}，
∴?UA＝{x－1≤x≤3}，則(?UA)∩B＝{x2＜x≤3}．
6．函數(shù)y＝3xx2＋x＋1(x＜0)的值域是( )
A．(－1,0) B．[－3,0)
C．[－3,1] D．(－∞，0)
解析：選B.y＝3x＋1x＋1，∵x＜0，
∴－x＞0且y＜0，
∴x＋1x＝－(－x＋1－x)≤－2，
∴y＝3x＋1x＋1≥－3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)等號(hào)成立．
7．當(dāng)x≥0時(shí)，不等式(5－a)x2－6x＋a＋5>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，4) B．(－4,4)
C．[10，＋∞) D．(1,10]
解析：選B.用特殊值檢驗(yàn)法，取a＝10，則不等式為－5x2－6x＋15>0，即5x2＋6x－15<0，當(dāng)x≥0時(shí)，不恒成立，排除C，D，取a＝0，不等式為5x2－6x＋5>0，當(dāng)x≥0時(shí)，恒成立，排除A.故選B.
8．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a，sin β＋cos β＝b，則( )
A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)＞b
C．a(chǎn)b＜1 D．a(chǎn)b＞2
解析：選A.∵0＜α＜β＜π4，
∴0＜2α＜2β＜π2且0＜sin 2α＜sin 2β，
∴a2＝(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α，
b2＝(sinβ＋cosβ)2＝1＋sin2β，
∴a2－b2＝(1＋sin2α)－(1＋sin2β)，
＝sin2α－sin2β＜0，
∴a2＜b2.
又∵a＝sinα＋cosα＞0，b＝sinβ＋cosβ＞0，
∴a＜b.
9．(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面區(qū)域?yàn)? )
解析：選B.用原點(diǎn)檢驗(yàn)，求下面的兩個(gè)不等式組表示的區(qū)域的并集：
x＋2y＋1＞0x－y＋4＜0或x＋2y＋1＜0x－y＋4＞0.
10．若a>0，b>0，則不等式－b<1x
D．x<－1b或x>1a
解析：選D.按照解分式不等式的同解變形，
得－b<1x
?1＋bxx>01－axx<0
?x?bx＋1?>0x?1－ax?<0
?x>0或x<－1b，x>1a或x<0
?x<－1b或x>1a.
法二：數(shù)形結(jié)合法，畫出函數(shù)f(x)＝1x的圖象，函數(shù)f(x)＝1x的圖象夾在兩條直線y＝－b，y＝a之間的部分的x的范圍即為所求．
11．對(duì)一切實(shí)數(shù)x，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．[－2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．[－2,2] D．[0，＋∞)
解析：選A.當(dāng)x＝0時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a，不等式都成立；當(dāng)x≠0時(shí)，a≥－x2＋1x＝－(x＋1x)＝f(x)，問題等價(jià)于a≥f(x)max，∵f(x)max＝－2，故a≥－2.
12.函數(shù)y＝f(x)的圖象是以原點(diǎn)為圓心、1為半徑的兩段圓弧，如圖所示．則不等式f(x)>f(－x)＋x的解集為( )
A.－1，－255∪(0,1]
B．[－1,0)∪0，255
C.－1，－255∪0，255
D.－1，－255∪255，1
答案：C
二、題(本大題共4小題，把答案填在題中橫線上)
13．設(shè)點(diǎn)P(x，y)在函數(shù)y＝4－2x的圖象上運(yùn)動(dòng)，則9x＋3y的最小值為________．
解析：因?yàn)辄c(diǎn)P(x，y)在直線y＝4－2x上運(yùn)動(dòng)，所以2x＋y＝4,9x＋3y＝32x＋3y≥232x?3y＝232x＋y＝234＝18.當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)，即x＝1，y＝2時(shí)，等號(hào)成立．所以當(dāng)x＝1，y＝2時(shí)，9x＋3y取得最小值18.
答案：18
14．已知不等式axx－1＜1的解集為{xx＜1或x＞2}，則a＝________.
解析：原不等式可化為?a－1?x＋1x－1＜0?(x－1)[(a－1)x＋1]＜0，
∵此不等式的解集為{xx＜1或x＞2}，
∴a－1＜0且－1a－1＝2，∴a＝12.
答案：12
15．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x－y－2≤0，x＋2y－5≥0，y－2≤0，則u＝y(tǒng)x－xy的取值范圍是________．
解析：作出x，y滿足的可行域如圖中陰影部分所示，可得可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的取值范圍是[13，2]，即yx∈[13，2]，故令t＝y(tǒng)x，則u＝t－1t，根據(jù)函數(shù)u＝t－1t在t∈[13，2]上單調(diào)遞增得u∈[－83，32]．
答案：[－83，32]
16．已知點(diǎn)A(53，5)，過點(diǎn)A的直線l：x＝my＋n(n>0)，若可行域x≤my＋nx－3y≥0y≥0的外接圓的直徑為20，則實(shí)數(shù)n的值是________．
解析：由題意可知，可行域是由三條直線x＝my＋n(n>0)、x－3y＝0和y＝0所圍成的封閉三角形(包括邊界)，如圖中陰影部分．又知直線x－3y＝0過點(diǎn)A(53，5)，
所以O(shè)A＝10，外接圓直徑2R＝20.
設(shè)直線l的傾斜角為α，
則由正弦定理，得10sin?π－α?＝20，
所以sinα＝12，tanα＝±33.
由tanα＝1m，得1m＝±33，即m＝±3.
將點(diǎn)A(53，5)代入直線x＝±3y＋n，
得53＝±3×5＋n，解得n＝103，n＝0(舍去)．
答案：103
三、解答題(本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)
17．已知a>0，b>0，且a≠b，比較a2b＋b2a與a＋b的大�。�
解：∵(a2b＋b2a)－(a＋b)＝a2b－b＋b2a－a
＝a2－b2b＋b2－a2a＝(a2－b2)(1b－1a)
＝(a2－b2)a－bab＝?a－b?2?a＋b?ab，
又∵a>0，b>0，a≠b，∴(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，
∴(a2b＋b2a)－(a＋b)>0，∴a2b＋b2a>a＋b.
18．求z＝3x－2y的最大值和最小值，式中的x，y滿足條件4x－5y＋21≥0，x－3y＋7≤0，2x＋y－7≤0.
解：作出可行域如圖
作一組與3x－2y＝0平行的直線l，當(dāng)l過C時(shí)，z最大，l過B時(shí)，z最�。�
又4x－5y＋21＝0x－3y＋7＝0，得B(－4,1)；
x－3y＋7＝02x＋y－7＝0，得C(2,3)．
所以zmax＝3×2－2×3＝0，zmin＝3×(－4)－2×1＝－14.
19．若不等式x2＋ax＋1≥0對(duì)于一切x∈(0，12]成立，求a的取值范圍．
解：法一：若－a2≥12，即a≤－1時(shí)，則f(x)在(0，12]上是減函數(shù)，應(yīng)有f(12)≥0?－52≤a≤－1；
若－a2≤0，即a≥0時(shí)，則f(x)在[0，12]上是增函數(shù)，應(yīng)有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0；
若0≤－a2≤12，即－1≤a≤0，則應(yīng)有f(－a2)＝a24－a22＋1＝1－a24≥0恒成立，故－1≤a≤0；
綜上，有a≥－52.
法二：原不等式x2＋ax＋1≥0可化為a≥－(x＋1x)，
設(shè)g(x)＝－(x＋1x)，因?yàn)間(x)在(0，12]內(nèi)單調(diào)遞增，所以g(x)在(0，12]內(nèi)的最大值是g(12)＝－52，要使不等式恒成立當(dāng)且僅當(dāng)a≥－52.
20．(2014年福州高二檢測)某化工廠生產(chǎn)甲、乙兩種肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料能獲得利潤10000元，需要的主要原料是磷酸鹽4噸，硝酸鹽18噸；生產(chǎn)1車皮乙種肥料能獲得利潤5000元，需要的主要原料是磷酸鹽1噸，硝酸鹽15噸．現(xiàn)庫存有磷酸鹽10噸，硝酸鹽66噸，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種肥料．問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？
解：設(shè)生產(chǎn)甲種肥料x車皮、乙種肥料y車皮能夠產(chǎn)生利潤z萬元．
目標(biāo)函數(shù)為z＝x＋0.5y，
約束條件為：4x＋y≤1018x＋15y≤66x≥0，x∈Ny≥0，y∈N，
可行域如圖中陰影部分的整點(diǎn)．
當(dāng)直線y＝－2x＋2z經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距2z最大，即z最大．
解方程組4x＋y＝1018x＋15y＝66得：M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)．
所以zmax＝x＋0.5y＝3.
所以生產(chǎn)甲種、乙種肥料各2車皮，能夠產(chǎn)生最大利潤，最大利潤為3萬元．
21．整改校園內(nèi)一塊長為15 m，寬為11 m的長方形草地(如圖A)，將長減少1 m，寬增加1 m(如圖B)．問草地面積是增加了還是減少了？假設(shè)長減少x m，寬增加x m(x>0)，試研究以下問題：
x取什么值時(shí)，草地面積減少？
x取什么值時(shí)，草地面積增加？
解：原草地面積S1＝11×15＝165(m2)，
整改后草地面積為：S＝14×12＝168(m2)，
∵S>S1，∴整改后草地面積增加了．
研究：長減少x m，寬增加x m后，草地面積為：
S2＝(11＋x)(15－x)，
∵S1－S2＝165－(11＋x)(15－x)＝x2－4x，
∴當(dāng)0
當(dāng)x>4時(shí)，x2－4x>0，∴S1>S2.
綜上所述，當(dāng)0
當(dāng)x>4時(shí)，草地面積減少．
22．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f(x)≥x，且當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，有f(x)≤18(x＋2)2成立．
(1)證明：f(2)＝2；
(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表達(dá)式；
(3)設(shè)g(x)＝f(x)－m2x，x∈[0，＋∞)，若g(x)圖象上的點(diǎn)都位于直線y＝14的上方，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：(1)證明：由條件知：
f(2)＝4a＋2b＋c≥2恒成立．
又因取x＝2時(shí)，f(2)＝4a＋2b＋c≤18(2＋2)2＝2恒成立，∴f(2)＝2.
(2)因4a＋2b＋c＝24a－2b＋c＝0，
∴4a＋c＝2b＝1.
∴b＝12，c＝1－4a.
又f(x)≥x恒成立，即ax2＋(b－1)x＋c≥0恒成立．
∴a>0.Δ＝(12－1)2－4a(1－4a)≤0，
解出：a＝18，b＝12，c＝12.
∴f(x)＝18x2＋12x＋12.
(3)由分析條件知道，只要f(x)圖象(在y軸右側(cè))總在直線y＝m2x＋14上方即可，也就是直線的斜率m2小于直線與拋物線相切時(shí)的斜率位置，
于是：y＝18x2＋12x＋12，y＝m2x＋14.
利用相切時(shí)Δ＝0，解出m＝1＋22，
∴m∈(－∞，1＋22)．
另解：g(x)＝18x2＋(12－m2)x＋12>14在x∈[0，＋∞)必須恒成立．
即x2＋4(1－m)x＋2>0在x∈[0，＋∞)恒成立，
①Δ<0，即[4(1－m)]2－8<0.
解得：1－22
綜上m∈(－∞，1＋22)．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoyi/66346.html
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