1．若互不相等的實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，c，a，b成等比數(shù)列，且a＋3b＋c＝10，則a等于( )
A．4 B．2
C．－2 D．－4
解析：選D.由互不相等的實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列可設a＝b－d，c＝b＋d，由a＋3b＋c＝10可得b＝2，所以a＝2－d，c＝2＋d，又c，a，b成等比數(shù)列可得d＝6，所以a＝－4.
2．等比數(shù)列前3項的積為2，最后三項的積為4，所有項的積為64，則該數(shù)列有( )
A．13項 B．12項
C．11項 D．10項
解析：選B.設該數(shù)列為{an}，由題意得
a1a2a3＝2，an?an－1?an－2＝4，
∴(a1an)3＝8，
∴a1an＝2，
(a1a2…an)2＝642＝(a1an)n＝2n，
∴n＝12.
3．在等比數(shù)列{an}中，a5、a9是方程7x2－18x＋7＝0的兩個根，則a7等于( )
A．－1 B．1
C．±1 D．以上都不正確
解析：選B.設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，由an＝a1qn－1，知數(shù)列{an}奇數(shù)項和偶數(shù)項的符號分別相同．這樣由a5＋a9＝187＞0，a5?a9＝1，得a7＝1，選B.
4．已知{an}是等比數(shù)列，
(1)若an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，則a3＋a5＝________；
(2)若an＞0，a1?a100＝100，則lga1＋lga2＋…＋lga100＝________.
解析：(1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，
∴a23＋2a3a5＋a25＝25，∴(a3＋a5)2＝25，
又an＞0，∴a3＋a5＝5.
(2)∵a1?a100＝a2?a99＝…＝a50?a51＝100，
∴l(xiāng)ga1＋lga2＋…＋lga100＝lg(a1?a2…a99?a100)
＝lg(a1?a100)50＝50 lg100＝100.
答案：5 100
5．在四個正數(shù)中，前三個成等差數(shù)列，和為48，后三個成等比數(shù)列，積為8000.求此四個數(shù)．
解：設前三個數(shù)分別為a－d，a，a＋d，則有
(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.
再設后三個數(shù)分別為bq，b，bq，
則有bq?b?bq＝b3＝8000，
即b＝20.
∴四個數(shù)分別為m,16,20，n.
∴m＝2×16－20＝12，n＝20216＝25，
即四個數(shù)分別為12,16,20,25.
1．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3?a9＝2a25，a2＝1，則a1＝( )
A.12 B.22
C.2 D．2
解析：選B.設公比為q.
由a3a9＝2a25得a26＝2a25.
∴a6＝2a5，a6a5＝2，即q＝2，
又∵q＞0，∴q＝2，
∴a1＝a2q＝22.
2.設{an}是正數(shù)等差數(shù)列，{bn}是正數(shù)等比數(shù)列，對應的函數(shù)圖象如圖，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，則( )
A．a(chǎn)n＋1＝bn＋1
B．a(chǎn)n＋1>bn＋1
C．a(chǎn)n＋1
解析：選B.由題圖可得，選B.
3．已知a，b，c成等比數(shù)列，則二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸的交點有( )
A．0個 B．1個
C．2個 D．0個或1個
解析：選A.由題意知b2＝ac.
∵Δ＝b2－4ac＝b2－4b2＝－3b2＜0，
∴圖象與x軸無交點．
4．設x∈R，記不超過x的最大整數(shù)為[x]，令{x}＝x－[x]，則{5＋12}，[5＋12]，5＋12( )
A．是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列
B．是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列
C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列
D．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列
解析：選B.∵[5＋12]＝1，{5＋12}＝5＋12－1＝5－12，
∴{5＋12}?5＋12＝([5＋12])2＝1，又∵5＋12＋{5＋12}＝5≠2，∴是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列．
5．若兩個數(shù)的等差中項為6，等比中項為5，則以這兩個數(shù)為兩根的一元二次方程是( )
A．x2－6x＋5＝0 B．x2＋12x＋25＝0
C．x2＋6x－25＝0 D．x2－12x＋25＝0
解析：選D.設這兩個數(shù)為x1，x2，由題意知
x1＋x2＝12，x1x2＝25，
∴以這兩個數(shù)為兩根的方程為x2－12x＋25＝0.
6．已知a、b、c、d成等比數(shù)列，且曲線y＝x2－2x＋3的頂點為(b，c)，則ad等于( )
A．3 B．2
C．1 D．－2
解析：選B.曲線y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，所以頂點為(1,2)，即bc＝1×2＝2＝ad.
7．在83和272之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個數(shù)的乘積為________．
解析：設插入的三個數(shù)為aq，a，aq，據(jù)題意，五個數(shù)成等比數(shù)列，
所以aq?aq＝83×272＝36.
所以a＝6(舍去a＝－6)．
插入的三個數(shù)的乘積為a3＝216.
故答案為216.
答案：216
8．在等比數(shù)列{an}中，若a4?a6?a8?a10?a12＝243，則a210a12的值為________．
解析：由a4?a6?a8?a10?a12＝243得a58＝243，
∴a8＝3.
從而a210a12＝a12?a8a12＝a8＝3.
答案：3
9．定義一種運算“*”，對于n∈N＋滿足以下運算性質(zhì)：①1*1=1，②（n+1）*1=3(n*1),則n*1用含n的代數(shù)式表示為_________________.
解析：(n＋1)*1＝3(n*1)＝3×3[(n－1)*1]
＝…＝3n?(1*1)=3n,故n*1=3n-1
答案：3n－1
10．設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝kn2＋n，n∈N＋，其中k是常數(shù)．
(1)求a1及an；
(2)若對于任意的m∈N＋，am，a2m，a4m成等比數(shù)列，求k的值．
解：(1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，
an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．
a1＝k＋1也滿足上式，所以an＝2kn－k＋1，n∈N＋.
(2)由am，a2m，a4m成等比數(shù)列，得
(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
將上式化簡，得2km(k－1)＝0.
因為m∈N＋，所以m≠0，故k＝0或k＝1.
11．(2014年荊州高二檢測)已知等比數(shù)列{an}中，a2＝32，a8＝12，an＋1＜an.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設Tn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，求Tn的最大值及相應的n值．
解：(1)由q6＝a8a2＝1232＝164，
an＋1＜an，得q＝12.
a1＝a2q＝3212＝64，所以通項公式為：
an＝64?(12)n－1＝27－n(n∈N＋)．
(2)設bn＝log2an，
則bn＝log227－n＝7－n，
所以，{bn}是首項為6，公差為－1的等差數(shù)列．
Tn＝6n＋n?n－1?2×(－1)
＝－12n2＋132n
＝－12(n－132)2＋1698.
因為n是自然數(shù)，所以，n＝6或n＝7時，Tn最大，其最大值是T6＝T7＝21.
12．設數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，且數(shù)列{an＋1－an}(n∈N＋)是等差數(shù)列，數(shù)列{bn－2}(n∈N＋)是等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)是否存在k∈N＋，使ak－bk∈(0，12)？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．
解：(1)∵數(shù)列{an＋1－an}是等差數(shù)列，
∴an＋1－an＝(a2－a1)＋(n－1)d，
a2－a1＝－2，a3－a2＝－1，d＝1，
∴an＋1－an＝－2＋(n－1)＝n－3，
a2－a1＝1－3，
a3－a2＝2－3，
…
an－an－1＝n－1－3，相加得
an－a1＝[1＋2＋3＋…＋(n－1)]－3(n－1)
∴an＝12(n2－7n＋18)(n∈N＋)．
∵{bn－2}是等比數(shù)列，
∴bn－2＝(b1－2)qn－1，
b1－2＝4，b2－2＝2，q＝12，
∴bn－2＝412n－1.
∴bn＝412n－1＋2.
(2)不存在，a1－b1＝0，a2－b2＝0，a3－b3＝0，
n≥4時，an＝12(n2－7n＋18)是遞增數(shù)列，an≥3.
n≥4時，bn＝412n－1＋2是遞減數(shù)列，
bn≤212，
∴an－bn≥12，
即ak－bk?0，12.
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