【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
學(xué)習(xí)要求
1．理解指數(shù)函數(shù)的概念；掌握指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)；
2．初步了解函數(shù)圖象之間最基本的初等變換。
3．能運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較兩個(gè)指數(shù)值的大小．
4．提高觀察、運(yùn)用能力．
自學(xué)評(píng)價(jià)
1．形如 的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中自變量是 ，函數(shù)定義域是 ，
值域是 ．
2. 下列函數(shù)是為指數(shù)函數(shù)有 ② ③ ⑤ ．
① ②
③ （ 且 ）④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ．
3.指數(shù)函數(shù) 恒經(jīng)過點(diǎn) ．
4.當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 單調(diào)性
為 在 上是增函數(shù) ；
當(dāng) 時(shí)，函數(shù)
單調(diào)性是在 上是減函數(shù) ．
【精典范例】
例1：比較大小：
（1） ；（2） ；（3） ．
分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．
【解】（1）考慮指數(shù)函數(shù) ， ，
在 上是增函數(shù)，
∴ ．
（2）考慮指數(shù)函數(shù) ， ，
在 上是減函數(shù)，
∴ ．
（3） 在 上是增函數(shù)， 在 上是減函數(shù)，
∴ ，
∴ ．
點(diǎn)評(píng):當(dāng)?shù)讛?shù)相同的兩個(gè)冪比較大小時(shí)，要考慮指數(shù)函數(shù)；當(dāng)?shù)讛?shù)不相同的兩個(gè)冪比較大小時(shí)，要尋找第三個(gè)值來與之比較．
例2：
（1）已知 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；（2）已知 ，求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.
【解】（1） 在 上是增函數(shù)，
由 得 ，即實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
（2） 在 上是減函數(shù)，
又 ，
由 得 ，即實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
點(diǎn)評(píng):通過函數(shù)值的大小關(guān)系來尋找出自變量的大小是單調(diào)性運(yùn)用的又一常用方法.
例3：設(shè) 是實(shí)數(shù)，
，
（1）求 的值，使函數(shù) 為奇函數(shù)
（2）試證明：對(duì)于任意 在 為增函數(shù)；
分析：此題雖形式較為復(fù)雜，但應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性、奇偶性的定義進(jìn)行證明。
（1）∵ ，
由 是奇函數(shù)，∴
即 ，∴ .
（2）證明：設(shè) ，則
，
由于指數(shù)函數(shù) 在 上是增函數(shù)，且 ，所以 即 ，
又由 ，得 ， ，
所以， 即 ．
因?yàn)榇私Y(jié)論與 取值無關(guān)，所以對(duì)于 取任意實(shí)數(shù)， 在 為增函數(shù).
點(diǎn)評(píng):求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性時(shí)要注意運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)來解決問題.
追蹤訓(xùn)練一
1.若函數(shù) 在 上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 （ ）
（ ） （ ）
（ ） （ ）
2.已知函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值的差是1，求實(shí)數(shù) 的值；
解：當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)， ，∵ ，∴ ；
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在區(qū)間 上是減函數(shù)， ，∵ ，
∴ ；
綜上： 或 ．
3. 解不等式：(1) (2)
析：本題的本質(zhì)是利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍．
解：(1)∵
∴
又∵ 在定義域上是增函數(shù)
∴原不等式等價(jià)于
解之得
∴原不等式的解集為
(2) 可以整理為
∵ ， ∴ 即 ，
又∵ 在定義域上是減函數(shù)，∴
故原不等式的解集為 ．
【選修延伸】
一、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)
例4: 求函數(shù) 的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間．
分析：原函數(shù)由函數(shù) 與 復(fù)合而成，求解時(shí)要統(tǒng)籌考慮．
【解】設(shè) ，則 ，由于它們的定義域都是 ，所以函數(shù) 的定義域?yàn)?．
因?yàn)?，
所以 ，又 ，
函數(shù) 的值域?yàn)?．
函數(shù) 在 是增函數(shù)，而 在 上是減函數(shù)，
所以設(shè) ，則 ，
從而 ，即 ，
函數(shù) 在 是增函數(shù)，
同理：函數(shù) 在 是減函數(shù)，函數(shù) 的增區(qū)間 ，
減區(qū)間是 ．
點(diǎn)評(píng):形如 的定義域與 的定義域相同；求值域時(shí)要先確定 的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定 的值域；
當(dāng) 時(shí)， 與 的單調(diào)性相同，
當(dāng) 時(shí)， 與 的單調(diào)性相反．
思維點(diǎn)拔：
（1）比較兩個(gè)指數(shù)式的大小或解指數(shù)不等式往往要利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；（2）與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)既要考慮到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，又要考慮到與之復(fù)合的函數(shù)性質(zhì)．
追蹤訓(xùn)練二
1．求下列函數(shù)的定義域、值域：
(1) (2)
解：（1） ∴
原函數(shù)的定義域是 ，
令 則
∴ 得 ，
所以，原函數(shù)的值域是 ．
（2） ∴
原函數(shù)的定義域是 ，
令 則 ，
在 是增函數(shù) ∴ ，
所以，原函數(shù)的值域是 ．
第16課 指數(shù)函數(shù)（1）
分層訓(xùn)練
1．函數(shù) 是指數(shù)函數(shù)，則 的取值范圍是（ �。�
或
2．函數(shù) 的定義域?yàn)椋ā 。?br>
3． 若 ，則 的范圍為 ．
4． 已知函數(shù) 滿足：對(duì)任意的 ，都有 ，且有 ，則滿足上述條件的一個(gè)函數(shù)是 �。�
5．將三個(gè)數(shù) 按從小到大的順序排列是 ．
6．（1）函數(shù) 的定義域是 ；值域是 ；
（2）函數(shù) 的定義域是 ；值域是 ．
7．已知
，確定 的范圍，使得 ．
拓展延伸
8．實(shí)數(shù) 滿足 ，則 ．
9．求函數(shù) ， 的最大值和最小值．
10．若函數(shù) 為奇函數(shù)，
（1）確定 的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoyi/73821.html
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