指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)同步訓練題

編輯: 逍遙路 關鍵詞: 高一 來源: 高中學習網(wǎng)



3.6《指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較》

1.當x越來越大時,下列函數(shù)中,增長速度最快的應該是(  )
A.y=100x        B.y=log100x
C.y=x100 D.y=100x
解析:由于指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長,則當 x越來越大時,函數(shù)y=100x的增長速度最快.w
答案:D
2.設x∈(0,1)時,y=xp(p∈Z)的圖像在直線y=x的上方,則p的取值范圍是(  )
A.p≥0 B.0<p<1
C.p<1且p≠0 D.p>1
解析:當p <0時,f(x)=xp=(1x )-p,在(0,1)上單調遞減,
∴y>f(1)=1在直線y=x上面,故只有C正確.
答案:C
3.四人賽跑,假設其跑過的路程和時間的函數(shù)關系分別為f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3 (x)=log2x,f4(x)=2x如果他們一直跑下去,最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關系是(  )
A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x
C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x
解析:在同一坐標系中畫圖像可知,當x取較大值時指數(shù)函數(shù)y=2x在上方,即2x值最大.
答案:D
4.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(2)與時間t(月)的關系:y=at,有以下敘述:
①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2;
②第5個月時,浮萍面積就會超過30 2;
③浮萍從 4 2蔓延到12 2需要經(jīng)過1.5個月;
④浮萍每月增加的面積都相等;
⑤若浮萍蔓延到2 2,3 2,6 2所經(jīng)過的時間分別為t1,t2,t3,則t1+t2=t3.
其中正確的是(  )
A.①② B.①②③④
C.②③④⑤ D.①②⑤
解析 :由于圖像經(jīng)過點(1, 2),所以2=a1,即a=2.
①正確.∴y=2t .
當t=5時,y=25=32>30,故②正確.
令y=4,得t=2.即第2個月浮萍蔓延的面積為4 2.
再過1.5個月,即t=3.5時,y=23.5=272=82 2,故③錯誤.
前幾個月浮萍的面積分別為2 2,4 2,8 2,16 2,顯然浮萍每個月增加的面積不相等,故④錯誤.
若浮萍蔓延到2 2,3 2,6 2所經(jīng)過的時間分別為t1,t2,t3,即2t1=2,2t2=3,2t3=6,
則t1=log22=1,t2=log23,t3=log26,
又log26=log2(2×3)=log22+log23,
∴t3=t1+t2,故⑤成立.
綜上,①②⑤正確.
答案:D
5.近幾年由于北京房價的上漲,引起了二手房市場交易的火爆.房子沒有什么變化,但價格卻上漲了,小張在2000年以15萬元的價格購得一所新房子,假設這10年來價格年膨脹率不變,那么到2010年,這所房子的價格y(萬元)與價格年膨脹率x之間的函數(shù)關系式是________.
解析:1年后,y=15(1+x);2年后,y=15(1+x)2;3年后,y=15(1+x)3,…,10年后,y=15(1+x)10.x
答案:y=15(1+x)10
6.已知元素“碳14”每經(jīng)過5 730年,其質量就變成原來的一半.現(xiàn)有一文物,測得其中“碳14”的殘存量為 原來的41%,此文物距現(xiàn)在約有________年.(注:精確到百位數(shù),lg2=0.301 0,lg4.1=0.613)
解析:設距現(xiàn)在為x年,則有(12)x5 730=41%,兩邊取對數(shù),利用計算器可得x≈7 400.
答案:7 400
7.已知甲、乙兩個工廠在今年的1月份的利潤都是6萬元, 且甲廠在2月份的利潤是14萬元,乙廠在2月份的利潤是8萬元.若甲、乙兩個工廠的利潤(萬元)與月份x之間的函數(shù)關系式分別符合下列函數(shù)模型:f(x)=a1x2+b1x+6,g(x)=a23x+b2(a1,a2,b1,b2 ∈R).
(1)求甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤;
(2)在同一直角坐標系下畫出函數(shù)f(x)與g(x)的草圖,并根據(jù)草圖比較今年甲、乙兩個工廠的利潤的大小情況.
解:(1)依題意:由f1=6,f2=14,有a1+b1=0,4a1+2b1=8.
解得a1=4,b1 =-4,
∴f(x)=4x2-4x+6.
由g1=6,g2=8,有3a2+b2=6,9a2+b2=8.
解得a2=13,b2=5,
∴g(x)=13×3x+5=3x-1+5,
所以甲在今年5月份的利潤為f(5)=86萬元,乙在今年5月份的利潤為g(5)=86萬元, 故有f(5)=g(5),即 甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤相等;
(2)作函數(shù)圖像如下:

從圖中,可以看出今年甲、乙兩個工廠的利潤:
當x=1或x=5時,有f(x)=g(x);
當1<x<5時,有f(x)>g(x);
當5<x≤12 時,有f(x)<g(x).
8.現(xiàn)有某種細胞100個,其中占總數(shù)12的細胞每小時分裂一次,即由1個細胞分裂成2個細胞,按這種規(guī)律發(fā)展下去,經(jīng)過多少小時,細胞總數(shù)可以超過1010個?(參考數(shù)據(jù):lg3=0.477,lg2=0.301)
解:現(xiàn)有細胞100個,先考慮經(jīng)過1、2、3、4個小時后的細胞總數(shù):
1小時后 ,細胞總數(shù)為12×100+12×100×2=32×100;
2小時后,細胞總數(shù)為
12×32×100+12×32×100×2=94×100;
3小時后,細胞總數(shù)為
12×94×100+12×94×100×2=278×100;
4小時后,細胞總數(shù)為
12×278×100+12×278×100×2=8116×100.
可見,細胞總數(shù)y與時間x(小時)之間的函數(shù)關系為
y=100×32x,x∈N+.
由100×32x>1010,得32x>108,兩邊同時取以10為底的對數(shù).得xlg32>8,
∴x>8lg3-lg2.
∵8lg3-lg2=80.477-0.301≈45.45,
∴x>45.45.
故經(jīng)過46小時,細胞總數(shù)超過1010個.




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