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3.6《指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較》

1．當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的應(yīng)該是(　　)
A．y＝100x　　　　　　　　B．y＝log100x
C．y＝x100 D．y＝100x
解析：由于指數(shù)型函數(shù)的增長是爆炸式增長，則當(dāng) x越來越大時，函數(shù)y＝100x的增長速度最快．w
答案：D
2．設(shè)x∈(0,1)時，y＝xp(p∈Z)的圖像在直線y＝x的上方，則p的取值范圍是(　　)
A．p≥0 B．0<p<1
C．p<1且p≠0 D．p>1
解析：當(dāng)p <0時，f(x)＝xp＝(1x )－p，在(0,1)上單調(diào)遞減，
∴y>f(1)＝1在直線y＝x上面，故只有C正確．
答案：C
3．四人賽跑，假設(shè)其跑過的路程和時間的函數(shù)關(guān)系分別為f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3 (x)＝log2x，f4(x)＝2x如果他們一直跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是(　　)
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：在同一坐標(biāo)系中畫圖像可知，當(dāng)x取較大值時指數(shù)函數(shù)y＝2x在上方，即2x值最大．
答案：D
4.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(2)與時間t(月)的關(guān)系：y＝at，有以下敘述：
①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；
②第5個月時，浮萍面積就會超過30 2；
③浮萍從 4 2蔓延到12 2需要經(jīng)過1.5個月；
④浮萍每月增加的面積都相等；
⑤若浮萍蔓延到2 2,3 2,6 2所經(jīng)過的時間分別為t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3.
其中正確的是(　　)
A．①② B．①②③④
C．②③④⑤ D．①②⑤
解析 ：由于圖像經(jīng)過點(1, 2)，所以2＝a1，即a＝2.
①正確．∴y＝2t .
當(dāng)t＝5時，y＝25＝32>30，故②正確．
令y＝4，得t＝2.即第2個月浮萍蔓延的面積為4 2.
再過1.5個月，即t＝3.5時，y＝23.5＝272＝82 2，故③錯誤．
前幾個月浮萍的面積分別為2 2,4 2,8 2,16 2，顯然浮萍每個月增加的面積不相等，故④錯誤．
若浮萍蔓延到2 2,3 2,6 2所經(jīng)過的時間分別為t1，t2，t3，即2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，
則t1＝log22＝1，t2＝log23，t3＝log26，
又log26＝log2(2×3)＝log22＋log23，
∴t3＝t1＋t2，故⑤成立．
綜上，①②⑤正確．
答案：D
5．近幾年由于北京房價的上漲，引起了二手房市場交易的火爆．房子沒有什么變化，但價格卻上漲了，小張在2000年以15萬元的價格購得一所新房子，假設(shè)這10年來價格年膨脹率不變，那么到2010年，這所房子的價格y(萬元)與價格年膨脹率x之間的函數(shù)關(guān)系式是________．
解析：1年后，y＝15(1＋x)；2年后，y＝15(1＋x)2；3年后，y＝15(1＋x)3，…，10年后，y＝15(1＋x)10.x
答案：y＝15(1＋x)10
6．已知元素“碳14”每經(jīng)過5 730年，其質(zhì)量就變成原來的一半．現(xiàn)有一文物，測得其中“碳14”的殘存量為 原來的41%，此文物距現(xiàn)在約有________年．(注：精確到百位數(shù)，lg2＝0.301 0，lg4.1＝0.613)
解析：設(shè)距現(xiàn)在為x年，則有(12)x5 730＝41%，兩邊取對數(shù)，利用計算器可得x≈7 400.
答案：7 400
7．已知甲、乙兩個工廠在今年的1月份的利潤都是6萬元， 且甲廠在2月份的利潤是14萬元，乙廠在2月份的利潤是8萬元．若甲、乙兩個工廠的利潤(萬元)與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式分別符合下列函數(shù)模型：f(x)＝a1x2＋b1x＋6，g(x)＝a23x＋b2(a1，a2，b1，b2 ∈R)．
(1)求甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤；
(2)在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)f(x)與g(x)的草圖，并根據(jù)草圖比較今年甲、乙兩個工廠的利潤的大小情況．
解：(1)依題意：由f1＝6，f2＝14，有a1＋b1＝0，4a1＋2b1＝8.
解得a1＝4，b1 ＝－4，
∴f(x)＝4x2－4x＋6.
由g1＝6，g2＝8，有3a2＋b2＝6，9a2＋b2＝8.
解得a2＝13，b2＝5，
∴g(x)＝13×3x＋5＝3x－1＋5，
所以甲在今年5月份的利潤為f(5)＝86萬元，乙在今年5月份的利潤為g(5)＝86萬元， 故有f(5)＝g(5)，即 甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤相等；
(2)作函數(shù)圖像如下：

從圖中，可以看出今年甲、乙兩個工廠的利潤：
當(dāng)x＝1或x＝5時，有f(x)＝g(x)；
當(dāng)1<x<5時，有f(x)>g(x)；
當(dāng)5<x≤12 時，有f(x)<g(x)．
8．現(xiàn)有某種細(xì)胞100個，其中占總數(shù)12的細(xì)胞每小時分裂一次，即由1個細(xì)胞分裂成2個細(xì)胞，按這種規(guī)律發(fā)展下去，經(jīng)過多少小時，細(xì)胞總數(shù)可以超過1010個？(參考數(shù)據(jù)：lg3＝0.477，lg2＝0.301)
解：現(xiàn)有細(xì)胞100個，先考慮經(jīng)過1、2、3、4個小時后的細(xì)胞總數(shù)：
1小時后 ，細(xì)胞總數(shù)為12×100＋12×100×2＝32×100；
2小時后，細(xì)胞總數(shù)為
12×32×100＋12×32×100×2＝94×100；
3小時后，細(xì)胞總數(shù)為
12×94×100＋12×94×100×2＝278×100；
4小時后，細(xì)胞總數(shù)為
12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100.
可見，細(xì)胞總數(shù)y與時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系為
y＝100×32x，x∈N＋.
由100×32x>1010，得32x>108，兩邊同時取以10為底的對數(shù)．得xlg32>8，
∴x>8lg3－lg2.
∵8lg3－lg2＝80.477－0.301≈45.45，
∴x>45.45.
故經(jīng)過46小時，細(xì)胞總數(shù)超過1010個．

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