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第二節(jié) 指數(shù)的擴充及其運算性質(zhì)
一、(每小題5分，共20分)
1．設(shè)y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(12)－1.5，則( )
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
【解析】 y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝(12)－1.5＝21.5，
∵y＝2x在定義域內(nèi)為增函數(shù)，且1.8>1.5>1.44，
∴y1>y3>y2.
【答案】D
2．若142a＋1<143－2a，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.12，＋∞ B.1，＋∞ C．(－∞，1) D.－∞，12
【解析】 函數(shù)y＝14x在R上為減函數(shù)，
∴2a＋1>3－2a，∴a>12.故選A.
【答案】 A
3．設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且當(dāng)x≥1時，f(x)＝3x－1，則有( )
A．f(13)<f(32)<f(23) B．f(23)<f(32)<f(13)
C．f(23)<f(13)<f(32) D．f(32)<f(23)<f(13)
【解析】 因為f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，
所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43)，
因為函數(shù)f(x)＝3x－1在[1，＋∞)上是增函數(shù)，
所以f(53)>f(32)>f(43)，即f(23)<f(32)<f(13)．故選B.
【答案】 B
4．如果函數(shù)f(x)＝(1－2a)x在實數(shù)集R上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(0，12) B．(12，＋∞) C．(－∞，12) D．(－12，12)
【解析】 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念及性質(zhì)求解．
由已知得，實數(shù)a應(yīng)滿足1－2a>01－2a<1，解得a <12a>0，
即a∈(0，12)．故選A.
【答案】 A
二、題(每小題5分，共10分)
5．設(shè)a>0，f(x)＝exa＋aex(e>1)，是R上的偶函數(shù)，則a＝________.
【解析】 依題意，對一切x∈R，都有f(x)＝f(－x)，
∴exa＋aex＝1aex＋aex，
∴(a－1a)(ex－1ex)＝0.
∴a－1a＝0，即a2＝1.
又a >0，∴a＝1.
【答案】 1
6．下列空格中填“>、<或＝”．
(1)1.52.5________1.53.2，(2) 0.5－1.2________0.5－1.5.
【解析】 (1)考察指數(shù)函數(shù)y＝1.5x.
因為1.5>1，所以y＝1.5x在R上是 單調(diào)增函數(shù)．
又因為2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2.
(2)考察指數(shù)函數(shù)y＝0.5x.
因為0<0.5<1，所以y＝0.5x在R上是單調(diào)減函數(shù)．
又因為－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.
【答案】 <，<
三、解答題(每小題10分，共20分)
7．根據(jù)下列條件確定實數(shù)x的取值范圍：a<1a1－2x(a>0且a≠1)．
【解析】 原不等式可以化為a2x －1>a12，因為函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)當(dāng)?shù)讛?shù)a大于1時在R上是增函數(shù)；當(dāng)?shù)讛?shù)a大于0小于1時在R上是減函數(shù)，
所以當(dāng)a>1時，由2x－1>12，解得x>34；
當(dāng)0<a<1時，由2x－1<12， 解得x<34.
綜上可知：當(dāng)a>1時，x>34；當(dāng)0<a<1時，x<34.
8．已知a>0且a≠1，討論f(x)＝a－x2＋3x＋2的單調(diào)性．
【解析】 設(shè)u＝－x2＋3x＋2＝－x－322＋174，
則當(dāng)x≥32時，u是減函數(shù)，當(dāng)x≤32時，u是增函數(shù)．
又當(dāng)a>1時，y＝au是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時，y＝au是減函數(shù)，
所以當(dāng)a>1時，原函數(shù)f(x)＝a－x2＋3x＋2在32，＋∞上是減函數(shù)，在－∞，32上是增函數(shù)．
當(dāng)0<a<1時，原函數(shù)f(x)＝a－x 2＋3x＋2在32，＋∞上是增函數(shù)，在 －∞，32上是減函數(shù)．
9．(10分)已知函數(shù)f(x)＝3x＋3－x.
(1)判斷函數(shù)的奇偶性；
(2)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，并證明．
【解析】 (1)f(－x)＝3－x＋3－ (－x)＝3－x＋3x＝f(x)且x∈R，
∴函數(shù)f(x)＝3x＋3－x是偶函數(shù)．
(2)由(1)知，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，0]及[0，＋∞)，且[0，＋∞)是單調(diào)增區(qū)間．
現(xiàn)證明如下：
設(shè)0≤x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝3x1＋3－x1－3x2－2－x2
＝3x1－3x2＋13 x1－13x2＝3x1－3x2＋3x2－3x13x13x2
＝(3x2－3x1)•1－3x1＋x23x1＋x2.
∵0≤x1<x2，∴3x2>3x1，3x1＋x2>1，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴函數(shù)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[0，＋∞)． 來
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