教學目標：使學生掌握一元二次方程實根分布問題的處理，加強求解一元二次不等式及不等式組，初步訓練學生的數(shù)形結合能力。
教學重點：利用二次函數(shù)的圖象，把一元二次方程根的分布 圖形問題 代數(shù)表達式（不等式組） 參數(shù)取值范圍。
教學難點：圖形問題轉化成代數(shù)表達式(不等式組)并求解。
一、問題的提出
若方程 的兩根均為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.
變式1：兩根一正一負時情況怎樣？
變式2：兩實根均大于5時情況又怎樣？
問題：能否從二次 函數(shù)圖形角度去觀察理解？若能試比較兩種方法的優(yōu)劣.
方程 的實根，如若從二次函數(shù)圖形 角度去觀察理解，其實質就是對應的二次函數(shù) 的拋物線與 軸交點的橫坐標.
一元二次方程實根分布，實質上就是方程的根與某些確定的常數(shù)大小關系比較.
二、一元二次方程實根分布
仿上完成下表
一元二次方程 實根分布圖解
根的分部
圖
象
等價的代數(shù)不等式
三、練習
1.為何實數(shù)時，方程 的兩根都在-1與1之間.
2、若方程 的兩根中，一根小于0，另一根大于2，求a的取值范圍.
四、小結
基本類型與相應方法：
設 ，則方程 的實根分布的基本類型及相應方法如下表：
1．兩實根都小于
2．兩實根都大于
3．兩實根都在 內
4．兩實根都在 外
5．兩根中有且只有一根在
內
五作業(yè)：
1．關于 的一元二次方程 的一根大于1，另一根小于1.則 的值是 �。ā 。�
（A） 或 （B） �。–） �。―）
2．方程 為常數(shù)）有兩實根 ，且 ， ，那么 的取值范圍是 �。ā 。�
（A） �。˙） �。–） 或 �。―）無解
3．設 是整數(shù)，且方程 的兩根都大于 而小于 ，則 .
4.若關于 的方程 的所有根都是比1小的正實數(shù)，則實數(shù) 的取值 范圍是 ＝
5. 方程 的一根不大于－1，另一根不小于1.試求：
（1）參數(shù) 的取值范圍；（2）方程兩根的平方和的最大值和最小值.
第二課時 一元二次方程實數(shù)根分布的應用
一復習
：
根的分部
圖
象
等價的代數(shù)不等式
二、例子
例1 已知實數(shù) 、 、 滿足 ，求 的取值范圍.
解 由已知得 且
.
所以 是一元二次方程 的兩根. 由 問題可轉化為方程 的二根都大于 .令 ，有
即 ，
求得 ，因此 .
例2已知點 、 .若拋物線 與線段 (不包括端點 及 )有兩個不同的交點，則 的取值范圍是 . (1997年上海市高中數(shù)學競賽)
解： 顯然直線 的方程為 即 ，代入拋物線方程并整理得 .
設 ，問題轉化函數(shù) 的圖象和 軸在0到4之間有兩個不同的交點，即方程 在 上有兩個不相等的實根. 所以
解得 的取值范圍是 .
例3關于 的實系數(shù)二次方程 的兩個實數(shù)根為 ，證明：①如果 ，那么 且 ；②如果 且 ，那么 .(1993年全國高考題)
證明 ①設 ，由已知，函數(shù) 的圖象與 軸在 到2之間有兩個不同的交點. 所以
由(3)、(4)得 ，所以 .
由(2)，得 ，結合(1)得 ，所以 . 將(3)+(4)得 ，因此 ，即 .
②由于 且 ，可得 ，所以 ， . 即函數(shù) 的圖象的對稱軸 位于兩條直線 ， 之間.
因為 ，
.
所以 . 因此函數(shù) 的圖象與 軸的交點位于-2和2之間，即 .
作業(yè)
1．已知拋物線 為實數(shù). 為何值時， 拋物線與 軸的兩個交點都位于點 的右側？
2．已知 都是正整數(shù)，且拋物線 與 軸有兩個不同的交點A、B. 若A、B到原點的距離都小于1，求 的最小值.
第三課時 應用提高
例1若方程 在 上有實根，求實數(shù) 的取值范圍.
解法一：方程 在 上有實根，即方程 在 上有實根，設 ，則根據函數(shù) 的圖象與 軸的交點的橫坐標等價于方程 的根.
（1）兩個實根都在 上，如圖：
可得 ，解得 ；
（2）只有一個實根在 上，如圖：
可得 ，解得
，綜合（1）與（2）可得
實數(shù) 的 取值范圍為
解法二： 方程 在 上有實根，即存在 ，使得等式 成立，要求 的取值范圍，也即要求函數(shù) 的值域.
設 ，則 ，
可得 .
解法三：令 則 ，則方程 在 上有實根，等價于方程組 在 上有實數(shù)解，也即等價于拋物線 與直線 在 上有公共點，如圖所示
直觀可得： .
解法四：根據解法三的轉化思想，也可將原方
程 化成 ，然后令
，從而將原問題等價轉化為
拋物線 與直線 在 上有公共
點時，“數(shù)形結合法”下去求參數(shù) 的取值范圍.
根據圖形直觀可得：當直線 過點 ，
截距 最大；當直線 與拋物線 相切時，截距 最小.
且 .故參數(shù)的取值范圍為 .
2已知實數(shù) 、 、 滿 足 ，其中 為正數(shù).對于 .
(1)若 ，求證： ；
(2) 若 ，證明方程 在 內有實根.
證明 (1)由 ，求得 ，所以
又由 ，因此 ，故 .
(2)要證明方程 在 內有實根，只須證明
或
但兩者都不易證明. 由 ，結合第(1)題 ，對 進行討論：
當 時，有 . 只要證明 和 中有一個大于零即可.
若 ，則 成立，問題得證；
若 ，由 求得 ，所以
.
由 ，知 ，命題得證.
故 當 時，方程 在 內有實根.
同理可證，當 時，方程 在 內也有
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