十九世紀末到二十世紀初，數(shù)學(xué)已發(fā)展成為一門龐大的學(xué)科，經(jīng)典的數(shù)學(xué)部門已經(jīng)建立起完整的體系：數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、數(shù)學(xué)分析。數(shù)學(xué)家開始探訪一些基礎(chǔ)的問題，例如什么是數(shù)？什么是曲線？什么是積分？什么是函數(shù)？……另外，怎樣處理這些概念和體系也是問題。
經(jīng)典的方法一共有兩類。一類是老的公理化的方法，不過非歐幾何學(xué)的發(fā)展，各種幾何學(xué)的發(fā)展暴露出它的許多毛��；另一類是構(gòu)造方法或生成方法，這個辦法往往有局限性，許多問題的解決不能靠構(gòu)造。尤其是涉及無窮的許多問題往往靠邏輯、靠反證法、甚至靠直觀。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是無法斷定的。
對于基礎(chǔ)概念的分析研究產(chǎn)生了一系列新領(lǐng)域—抽象代數(shù)學(xué)、拓撲學(xué)、泛函分析、測度論、積分論。而在方法上的完善，則是新公理化方法的建立，這是希爾伯特在1899年首先在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》中做出的。
1初等幾何學(xué)的公理化
十九世紀八十年代，非歐幾何學(xué)得到了普遍承認之后，開始了對于幾何學(xué)基礎(chǔ)的探討。當(dāng)時已經(jīng)非常清楚，歐幾里得體系的毛病很多：首先，歐幾里得幾何學(xué)原始定義中的點、線、面等不是定義；其次，歐幾里得幾何學(xué)運用許多直觀的概念，如“介于……之間”等沒有嚴格的定義；另外，對于公理系統(tǒng)的獨立性、無矛盾性、完備性沒有證明。
在十九世紀八十年代，德國數(shù)學(xué)家巴士提出一套公理系統(tǒng)，提出次序公理等重要概念，不過他的體系中有的公理不必要，有些必要的公理又沒有，因此他公理系統(tǒng)不夠完美。而且他也沒有系統(tǒng)的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通過理想元素的引進，把度量幾何包括在射影幾何之中。
十九世紀八十年代末期起，皮亞諾和他的學(xué)生們也進行了一系列的研究。皮亞諾的公理系統(tǒng)有局限性；他的學(xué)生皮埃利的“作為演繹系統(tǒng)的幾何學(xué)”(1899)，由于基本概念太少(只有“點”和“運動”)而把必要的定義和公理弄得極為復(fù)雜，以致整個系統(tǒng)的邏輯關(guān)系極為混亂。
希爾伯特的《幾何學(xué)基礎(chǔ)》的出版，標(biāo)志著數(shù)學(xué)公理化新時期的到來。希爾伯特的公理系統(tǒng)是其后一切公理化的楷模。希爾伯特的公理化思想極深刻地影響其后數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的發(fā)展，他這部著作重版多次，已經(jīng)成為一本廣為流傳的經(jīng)典文獻了。
希爾伯特的公理系統(tǒng)與歐幾里得及其后任何公理系統(tǒng)的不同之處，在于他沒有原始的定義，定義通過公理反映出來。這種思想他在1891年就有所透露。他說：“我們可以用桌子、椅子、啤酒杯來代替點、線、面”。當(dāng)然，他的意思不是說幾何學(xué)研究桌、椅、啤酒懷，而是在幾何學(xué)中，點、線、面的直觀意義要拋掉，應(yīng)該研究的只是它們之間的關(guān)系，關(guān)系由公理來體現(xiàn)。幾何學(xué)是對空間進行邏輯分析，而不訴諸直觀。
希爾伯特的公理系統(tǒng)包括二十條公理，他把它們分為五組：第一組八個公理，為關(guān)聯(lián)公理（從屬公理）；第二組四個公理，為次序公理；第三組五個公理；第四組是平行公理；第五組二個，為連續(xù)公理。
希爾伯特在建立公理系統(tǒng)之后，首要任務(wù)是證明公理系統(tǒng)的無矛盾性。這個要求很自然，否則如果從這個公理系統(tǒng)中推出相互矛盾的結(jié)果來，那么這個公理系統(tǒng)就會毫無價值。希爾伯特在《幾何學(xué)基礎(chǔ)》第二章中證明了他的公理系統(tǒng)的無矛盾性。這次，他不能象非歐幾何那樣提出歐氏模型，他提出的是算術(shù)模型。
實際上，由解析幾何可以把點解釋為三數(shù)組(可以理解為坐標(biāo)(x、y、z))，直線表示為方程，這樣的模型不難證明是滿足所有20個公理的。因此，公理的推論若出現(xiàn)矛盾，則必定在實數(shù)域的算術(shù)中表現(xiàn)出來。這就把幾何學(xué)公理的無矛盾性變成實數(shù)算術(shù)的無矛盾性。
其次，希爾伯特考慮了公理系統(tǒng)的獨立性，也就是說公理沒有多余的。一個公理如果由其他公理不能推出它來，它對其他公理是獨立的。假如把它從公理系統(tǒng)中刪除，那么有些結(jié)論就要受到影響。希爾伯特證明獨立性的方法是建造模型，使其中除了要證明的公理(比如說平行公理)之外其余的公理均成立，而且該公理的否定也成立。
由于這些公理的獨立性和無矛盾性，因此可以增減公理或使其中公理變?yōu)榉穸�，并由此得出新的幾何學(xué)。比如平行公理換成其否定就得到非歐幾何學(xué)；阿基米德公理（大意是一個短線段經(jīng)過有限次重復(fù)之后，總可以超出任意長的線段）換成非阿基米德的公理就得到非阿基米德幾何學(xué)。希爾伯特在書中詳盡地討論了非阿基米德幾何學(xué)的種種性質(zhì)。
希爾伯特對初等幾何公理的無矛盾性是相對于實數(shù)的無矛盾性，因此自然要進一步考慮實數(shù)系的公理化及其無矛盾性，于是首當(dāng)其沖的問題是算術(shù)的公理化。
2算術(shù)的公理化
數(shù)學(xué)，顧名思義是一門研究數(shù)的科學(xué)。自然數(shù)和它的計算——算術(shù)是數(shù)學(xué)最明顯的出發(fā)點。歷史上不少人認為，所有經(jīng)典數(shù)學(xué)都可以從自然數(shù)推導(dǎo)出來�？墒�，一直到十九世紀末，卻很少有人解釋過什么是數(shù)？什么是0？什么是1？這些概念被認為是最基本的概念，它們是不是還能進一步分析，這是一些數(shù)學(xué)家關(guān)心的問題。因為一旦算術(shù)有一個基礎(chǔ)，其他數(shù)學(xué)部門也就可以安安穩(wěn)穩(wěn)建立在算術(shù)的基礎(chǔ)上。
什么東西可以做為算術(shù)的基礎(chǔ)呢？在歷史上有三種辦法：康托爾的基數(shù)序數(shù)理論，他把自然數(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，并把自然數(shù)向無窮推廣；弗雷格和羅素把數(shù)完全通過邏輯詞匯來定義，把算術(shù)建立在純邏輯的基礎(chǔ)上；用公理化的方法通過數(shù)本身的性質(zhì)來定義，其中最有名的是皮亞諾公理。
在皮亞諾之前，有戴德金的公理化定義。他的方法是準(zhǔn)備向有理數(shù)、實數(shù)方面推廣，為數(shù)學(xué)分析奠定基礎(chǔ)。他們也都注意到邏輯是基礎(chǔ)，但都有非邏輯公理。
1888年，戴德金發(fā)表《什么是數(shù)，什么是數(shù)的目的？》一文，闡述他的數(shù)學(xué)觀點。他把算術(shù)(代數(shù)、分析)看成邏輯的一部分，數(shù)的概念完全不依賴人對空間、時間的表象或直覺。他說“數(shù)是人類心靈的自由創(chuàng)造，它們做為一個工具，能使得許許多多事物能更容易、更精確地板掌握”。而創(chuàng)造的方法正是通過邏輯。他的定義是純邏輯概念——類(system)，類的并與交，類之間的映射，相似映射(不同元素映到不同元素)等等。通過公理定義，戴德金證明數(shù)學(xué)歸納法。但是他沒有能夠直接從純邏輯名詞來定義數(shù)。
1889年，皮亞諾發(fā)表他的《算術(shù)原理：新的論述方法》，其中明顯地做了兩件事：第一，把算術(shù)明顯地建立在幾條公理之上；第二，公理都用新的符號來表達。后來皮亞諾刻劃數(shù)列也同弗雷格一樣是從0開始，但是他對數(shù)的概念也同戴德金一樣，是考慮序數(shù)。
皮亞諾的興趣主要在于清楚地表述了數(shù)學(xué)結(jié)果，他編制的數(shù)理邏輯符號（1894年發(fā)表于《數(shù)學(xué)論集》）也主要是如此，而不是為了哲學(xué)分析。1900年羅素從皮亞諾學(xué)習(xí)這套符號之后，才對邏輯、哲學(xué)同時也對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大沖擊。
從1894年到1908年，皮亞諾接連五次出版了《數(shù)學(xué)論集》的續(xù)集，每一次都把他提出的五個公理(只是用0代1)作為算術(shù)的基礎(chǔ)。但是皮亞諾除了邏輯符號之外，還有其他三個基本符號，即：數(shù)、零、后繼。因此，他還不象弗雷格及羅素那樣把數(shù)完全建立在邏輯基礎(chǔ)上。
他的公理系統(tǒng)也是有毛病的,特別是第五公理涉及所有性質(zhì)，因此須要對性質(zhì)或集合有所證明。有人把它改為可數(shù)條公理的序列，這樣一來，由公理系所定義的就不單純是自然數(shù)了。斯科蘭姆在1934年證明，存在皮亞諾公理系統(tǒng)購非標(biāo)準(zhǔn)模型，這樣就破壞了公理系統(tǒng)的范疇性。
3其他數(shù)學(xué)對象的公理化
在十九世紀末到二十世紀初的公理化浪潮中，一系列數(shù)學(xué)對象進行了公理化，這些公理化一般在數(shù)學(xué)中進行。例如由于解代數(shù)方程而引進的域及群的概念，在當(dāng)時都是十分具體的，如置換群。只有到十九世紀后半葉，才逐步有了抽象群的概念并用公理刻劃它。群的公理由四條組成，即封閉性公理、兩個元素相加(或相乘)仍對應(yīng)唯一的元素、運算滿足結(jié)合律、有零元素及逆元素存在。
群在數(shù)學(xué)中是無處不在的，但是抽象群的研究一直到十九世紀末才開始。當(dāng)然，它與數(shù)理邏輯有密切的關(guān)系。有理數(shù)集體、實數(shù)集體、復(fù)數(shù)集體構(gòu)成抽象域的具體模型，域的公理很多。另外，環(huán)、偏序集合、全序集合、格、布爾代數(shù)，都已經(jīng)公理化。
另一大類結(jié)構(gòu)是拓撲結(jié)構(gòu)，拓撲空間在1914年到1922年也得到公理化，泛函分析中的希爾伯特空間，巴拿赫空間也在二十年代完成公理化，成為二十世紀抽象數(shù)學(xué)研究的出發(fā)點。在模型論中，這些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)成為邏輯語句構(gòu)成理論的模型。
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaozhong/1000928.html
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