Panot公司的董事會(huì)正在召開每月一度的例會(huì)。當(dāng)會(huì)議主席宣布討論議程中的最后一項(xiàng)——Warthog美術(shù)收藏品——時(shí)，董事長Boss Parrot滿意地點(diǎn)了點(diǎn)頭。這些美術(shù)收藏品將要陳列在一個(gè)高技術(shù)的美術(shù)館中(Parrot喜歡將它稱為“現(xiàn)代化的”美術(shù)館)，該館用來展出無與倫比的藝術(shù)家Sandy Warthog的全部作品。Parrot是Warthog的花哨而怪異的作品風(fēng)格的早期崇拜者之一，他擁有Warthog創(chuàng)作出的每一幅畫。

　　 “安全問題是非常重要的”，財(cái)務(wù)部門的負(fù)責(zé)人指出。

　　 “當(dāng)然，Warthog美術(shù)收藏品將配備一切最新的電子監(jiān)視設(shè)備”，保衛(wèi)部門的頭頭Harry Sams說，“每幅畫都將有一臺(tái)單獨(dú)的微型攝像機(jī)對著——”

　　 “不，我希望對Warthog美術(shù)收藏品采取點(diǎn)特殊的安全手段”，Paorrot打斷了他的話。

　　 “晤——要多特殊呢?”

　　 “真正地特殊，Harry。我希望用看守。就是保安人員�！�

　　 “嘿，老板，我看我們還是不要要求太高了吧?你知道單是安全審查就得花多少錢嗎?更不用說還有醫(yī)療保險(xiǎn)、解聘費(fèi)、咖啡費(fèi)等等開支了。用活人就得多花錢，老板。這樣不行。我建議是采用Notsobitchi公司生產(chǎn)的最新式嗅探機(jī)器人，或許還有一些——”

　　 “我希望用保安人員，Harry�！�

　　 “是，老板。保安人員。晤——要多少呢?”

　　 “保安人員的人數(shù)，要足以保證美術(shù)館的每一平方英寸都至少在一名保安人員的監(jiān)視之下。我希望每個(gè)保安人員都坐在一張旋轉(zhuǎn)坐椅上，這樣他們就有全方位的視界。聘請的保安人員的人數(shù)應(yīng)滿足保衛(wèi)工作的需要——但多一個(gè)也不行，懂嗎?你知道，活人就得多花

錢。

　　 “是的，老板先生。晤——美術(shù)館的平面圖已定稿了吧”?

　　 “還沒有�！�

　　 “既然這樣，那就不好確定需要多少保安人員了�！�

　　 “建筑師已經(jīng)決定，美術(shù)館只有一層，且有24面筆直的墻——每一面墻代表Warthog的某一時(shí)期的作品風(fēng)格。我的任務(wù)是：既然你手頭沒有完備的資料，我授權(quán)你聘用一定數(shù)量的保安人員，其人數(shù)要不多不少，剛好足以保證任何一個(gè)有24面直墻的房間處于保安人員的監(jiān)視之下，每個(gè)保安人員的位置固定，且其視界為全方位的。但我希望你聘請的人數(shù)不要超過你的實(shí)際需要。如果事實(shí)證明Warthog美術(shù)收藏品需要的保安人員人數(shù)少于理論極大值，我將承擔(dān)責(zé)任，但如果美術(shù)館的任何一種設(shè)計(jì)方案都不需要你聘請的那么多保安人員，或者你聘請的保安人員不敷需要，那么你只得另找老板了，Harry。”

　　 如果你是一位權(quán)力很大的經(jīng)理；而你的飯碗又面臨被打碎的危險(xiǎn)，你自然不會(huì)安然自得地混日子了。你會(huì)花公司的很大一筆錢去聘請用這筆錢能夠請到的最好的咨詢專家，并要他們來解決這個(gè)問題。 Harry從電話簿上找到了這些專家：一個(gè)稱為“月光數(shù)學(xué)家”的團(tuán)體。專家名為Alf Moon和Dee Light。

　　 “這是個(gè)棘手的問題，Sams先生”，Moon說。

　　 “的確棘手”，Light說道。他已經(jīng)知道答案。但是告訴客戶這類事情是不會(huì)賺到錢的。

　　 “問題在于”，Moon繼續(xù)說下去，“排布24條直線的方法多得數(shù)不勝數(shù)。”這兩位專家有輪流發(fā)言的習(xí)慣。

　　 “而你需要的保安人員的數(shù)目又與你采用何種布置方式有關(guān)�！�

　　 “幸運(yùn)的是，我們有一些好方法可用。這些方法屬于我們這行所謂的‘美術(shù)館定理’。”

　　 “是的，完全正確。比如說，如果一個(gè)房間只需一名保安人員，那它必定是我們稱之為星形的房間�！�

　　 “這就意味著存在著某個(gè)內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，使得房間中的任何一點(diǎn)均可用一條完全在房間內(nèi)的直線與該點(diǎn)連接起來�！�

　　 “現(xiàn)在，想象你用任何一種老辦法把一定數(shù)量的保安人員布置在一個(gè)房間內(nèi)。這樣每個(gè)保安人員都守在一個(gè)星形區(qū)域中——也就是他或她能夠監(jiān)視到的那部分房間。而你問的問題就是——”

　　 “任何一個(gè)有24面墻壁的房間所能分解成的星形區(qū)域最少有多少個(gè)”，Moon說道，同時(shí)很快地在他的筆記本上畫出了草圖。

　　 “不見得吧”，Harry說。

　　 “那么在這個(gè)具體的房間中，采用這種具體的保安人員布置方案”，Moon繼續(xù)說道，“你可以看出我已經(jīng)畫出來的三個(gè)保安人員能夠監(jiān)視除了6個(gè)孤立區(qū)域之外的整個(gè)房間�！�

　　 “而這6個(gè)區(qū)域是凸的”，Light指出。

　　 “特別是，這就意味著這些區(qū)域是星形區(qū)域�！�

“因此，如果你在每個(gè)這類區(qū)域中再布置一名保安人員，使保安人員的總數(shù)達(dá)到9人，那么整個(gè)房間全都在保安人員監(jiān)視之下了�！�

　　 “好極了!”Harry說，“這么說來我需要9名保安人員了?”

　　 Moon和Light狡猾地?fù)u搖頭�！巴耆�不是的，Sams先生。首先，這是因?yàn)閷�這個(gè)具體的房間采說可能有某種只需要較少保安人員的方案就完全夠用了——”

　　 “其次，這也是因?yàn)槠渌�某種房間可能需要更多的保安人員�！�

　　 “我來總結(jié)一下”，Sams說，“答案或者是9，或者比9少，或者比9多。”

　　 “你明白啦�！�

　　 “本公司給你們的報(bào)酬是多少?”

　　 “你正好體驗(yàn)到這個(gè)問題啦，Sams先生”，Moon說，“很明顯，對這個(gè)問題我們得采用一種有條理的方法。”

　　 “‘如有有疑問的話，就把它分解’”，Light說�！拔覀冃枰�把房間分解成許多較小的部分，然后嘗試通過盡可能有效的方式把它們重新組合成星形區(qū)域�！�

　　 “是的。你認(rèn)為該怎么做才好呢，Light?”

　　 “‘要使問題簡化，就把它劃分成三角形�！�我認(rèn)為三角形是用起來最自然的圖形，Moon，你同意嗎?”

　　 “是的。但把一個(gè)房間分成三角形的方法可不少�！�

　　 “當(dāng)然。我建議我們在把房間劃分為三角形時(shí)不要引入新的頂點(diǎn)。”她轉(zhuǎn)向Sams。“頂點(diǎn)(Vertex)是我們這行的一個(gè)術(shù)語，指的是  房間角落處的點(diǎn)�！盨ams點(diǎn)點(diǎn)頭。

　　 “你的意思是說僅僅使用房間本身已經(jīng)有的哪些頂點(diǎn)嗎?”Moon問道。“你是否總能做到這一點(diǎn)呢?”

　　 “絕無問題。如果你希望的話，我可以證明給你看�！�

　　 “不用了，繼續(xù)說下去吧。這問題開始有點(diǎn)令人感興趣了�！�

　　 “接著我將把房間的每個(gè)頂點(diǎn)著上顏色。我只使用三種顏色——比如說紅、黃和藍(lán)——這樣每個(gè)三角形恰好有一個(gè)頂點(diǎn)涂上三種顏色中的一種。任選一個(gè)三角形對其著色，使它的每個(gè)頂點(diǎn)各涂上一種不同顏色，然后再向外擴(kuò)展。每個(gè)相鄰的三角形上的顏色都是被完全決定了的，因?yàn)檫@些相鄰三角形都只剩下一個(gè)頂點(diǎn)未被著色，因此你只需用與另外兩個(gè)頂點(diǎn)不同的顏色來給它著色就行了。這樣有條不紊地進(jìn)行下去，最后就可把所有頂點(diǎn)都涂上顏色了。”

　　 “不錯(cuò)�，F(xiàn)在看看我們把上述方法用在你的圖形上時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況。你最終得到6個(gè)紅色頂點(diǎn)，9個(gè)藍(lán)色頂點(diǎn)和9個(gè)黃色頂點(diǎn)。如果你在每個(gè)紅色頂點(diǎn)上安排一個(gè)保安人員，那么他們就能看到整個(gè)房間。由于每個(gè)保安人員均能監(jiān)視以他或她為其頂點(diǎn)之一的每個(gè)三角形——”

　　 “而且每個(gè)三角形都有一個(gè)紅色頂點(diǎn)。毫無疑問。這真是干凈利落。這個(gè)房間僅需要6位保安人員，而不是我們開始時(shí)確定的9位。我們把這些研究人員安排在角落上�！�

　　 “是安排在頂點(diǎn)上�！盠ight向前傾了傾身子，臉上帶著一種古怪的表情�！艾F(xiàn)在，Moon，我的朋友，我希望你看出如何推廣這一論據(jù)?”

　　 Moon在房間里走來走去，激動(dòng)地?fù)]舞著手臂�！笆堑模�是的。如果一個(gè)房間有24面墻，那么它就有24個(gè)角落。如果我們把房間分解成三角形，并按照你的原則對其著色，那么我們就選擇出現(xiàn)次數(shù)最少的那種顏色，并將保安人員安置在這種顏色對應(yīng)的頂點(diǎn)上。”

　　 “的確如此。既然紅色、藍(lán)色和黃色頂點(diǎn)的總數(shù)為24，那么無論這些顏色是如何分配的，至少有一種顏色出現(xiàn)的次數(shù)不能超過8次。”

　　 “你的意思是說，如果三個(gè)數(shù)加起來等于24，那么它們不可能同時(shí)為9或大于9?是的，我明白了�！�

　　Light咧嘴笑了一下。“這樣我就證明了任何有24面墻的房間可用最多8名保安人員來保衛(wèi)。”

“且慢”，Sams說道，他一直在注意聽著兩人的對話�！澳銊偛耪f這個(gè)特定的房間只需6名保安人員，而不是8名�！�

　　 “不錯(cuò)，Sams先生。但為了保證任何一個(gè)有24面墻的房間的安全，我們還得求出最少必須要多少名保安人員。我們剛才證明的就是至多8名保安人員就夠了�！�

　　 “因此，我們所要做的事情就是找出一個(gè)有24面墻且需要8名保安人員的房間”，Light說。

　　 “這很容易”，Moon說，“這個(gè)房間就能解決問題�！彼�很快畫了個(gè)草圖(見圖2)�！氨０踩藛T必須安排得使他們能監(jiān)視到8個(gè)三角形凹室，這樣就產(chǎn)生了8個(gè)互不重疊的區(qū)域，因此每個(gè)區(qū)域必須各有一名保安人員。另外，我對保安人員的安排方式表明有8名保安人員就足以應(yīng)付了。”

　　 “你沒有把保安人員安置在角落上，”Harry提出異議。

　　 “我們可以把保安人員安排在角落上，而且對一般性的證明來說，這樣安排是有好處的”，Moon耐心地解釋道，“但我們不一定非得這樣安排不可。在上面所舉的例子中，不這樣安排還更簡單一些。

“好吧”，Smas說，“8名保安人員。好極了。我將告訴Boss Parrot說問題已經(jīng)解決——”他話還沒說完，電話鈴響起來了。 Sams抓起電話。他點(diǎn)了幾次頭，咕噥著說了些什么，然后把電話小心地放回桌上。接著他抓起一個(gè)花瓶猛擲到房間的另一邊，在花瓶的碎片上跳上跳下，嘴里不連貫地吼叫著。

　　 “遇到麻煩了嗎，Sams先生?”Light問道，自認(rèn)為她的問題很得體。

　　 “那個(gè)該死的笨蛋建筑師改變了設(shè)計(jì)規(guī)范”，Sams大叫著�！艾F(xiàn)在美術(shù)館將有173面墻，以便繪畫作品不但能按代表一定風(fēng)格的時(shí)期，而且也能按主題內(nèi)容安排�！�

　　 “沒有問題的，Sams先生。由于我們發(fā)現(xiàn)的是一般性的方法，它仍然適用的。如果你根據(jù)Light的規(guī)則把房間的各個(gè)頂點(diǎn)涂上顏色，那么就只需把保安人員安排在出現(xiàn)次數(shù)最少的顏色所在的那些頂點(diǎn)上。現(xiàn)在既然3個(gè)數(shù)之和為173，那么其中某個(gè)數(shù)必定至多為173／3＝572／30”

　　 “你是說我需要572／3名保安人員?老板會(huì)不高興的�！�

　　 “不。這只意味著某種顏色最多出現(xiàn)57次，因此你聘請57名保安人員就行了。畫一個(gè)同我剛才畫的那幅圖(見圖2)相似的圖形，就可證明一般說來少于57名保安人員是不夠的�！�

　　 Light說：“我們已經(jīng)證明了的就是有幾個(gè)頂點(diǎn)的房間最多需要[n／3]名保安人員，這里方括號表示‘取整數(shù)部分’。這一答案是捷克數(shù)學(xué)家Vaclav Chvatal于1973年發(fā)現(xiàn)的。我給出的證明則是鮑登學(xué)院的S·FisK l978年發(fā)現(xiàn)的簡化證明，此外——”

　　 電話鈴又響了起來。Sams接了電話�！澳銈儠�(huì)相信嗎?折騰了半天之后，建筑設(shè)計(jì)師又要用24面墻的方案了，說是關(guān)于Warthong作品主題的問題爭論太多了。很好，請你們給公司開個(gè)帳單，并在星期四之前交給我一份附有實(shí)施要點(diǎn)的完整報(bào)告。我和Boss Parrot有一個(gè)約會(huì)�！�

　　 “我們非常仰幕Boss Parrot”，Moon說。

　　 “我們也能來見見Parrot先生嗎?”Light請求道�！拔覀兿Ｍ麜�(huì)見這位了不起的人。大概永遠(yuǎn)不會(huì)再有這種機(jī)會(huì)了�！�

　　 Sams想了一會(huì)，最后答應(yīng)了。無論如何，帶他們一起去給自己打氣壯膽不會(huì)有什么害處的。萬一有什么技術(shù)性問題冒出來呢。

　　 “你是說要8名保安人員?干得不錯(cuò)，Sams�！盤arrot高興地微笑著�！罢�好建筑師剛剛定下了美術(shù)館的最終布局方案。你來指給我看看這些保安人員該布置在什么地方。”他把美術(shù)館平面圖鋪開在桌子上。

　　 Sams向平面圖看了一眼，不由得怔住了。隨后他似乎恍然大悟，絕望地盯著Moon和Light。Moon用肘輕輕地推了Light一下，悄悄地：“呵!有洞。沒有任何人講過關(guān)于洞的情況。對這種房間8名保安人員是不夠的。我只憑一看就可以肯定�！�

　　 “不。嗯——，有一個(gè)猜想是說如果有h個(gè)洞和n面墻——”

　　 “包括洞上的墻在內(nèi)嗎?”

“嗯?當(dāng)然包括——那么所需的保安人員最多為[(n十h)／3]名。這平面圖的n＝24，而h＝3，所以9名保安人員就應(yīng)該——”

　　 “你們兩位在悄悄說些什么呀?”Parrot狐疑地插了進(jìn)來。

　　 “請?jiān)�諒，先生。我們在贊賞建筑師的設(shè)計(jì)方案�！盠ight丟給Sams一個(gè)暗示的眼色，然后從口袋里掏出一支筆�！昂昧�，正如Sams先生所說，當(dāng)房間有24面墻時(shí)，8名保安人員在任何情況下都足夠了。當(dāng)然，不用說還得加上一名主管人——總得有個(gè)人負(fù)責(zé)把他們的工作安排妥當(dāng)。是這樣吧。 Sams先生?”

　　 額頭上滲滿汗珠的Sams這才恢復(fù)了鎮(zhèn)定�！笆堑模琇ight小姐，當(dāng)然我也想要有一名主管人�！�

　　 “這樣你們總共需要9名保安人員，先生，正如Sams先生剛才告訴的那樣。”

　　 “這些都將記載在實(shí)施要點(diǎn)上，老板”，Sams說。他又逐漸變得泰然自若起來。

　　 他斜看了Moon和Light一眼，而后者則讓人幾乎覺察不到的方式向他點(diǎn)了點(diǎn)頭。9名保安人員?這不是他們一開始時(shí)提出的數(shù)字嗎?不管怎樣，現(xiàn)在的問題是如何安排這些保安人員的位置了。當(dāng)然這些月光數(shù)學(xué)家們是知道的。

　　  不知怎么的Sams覺得他們剛剛提高了他們的等級。

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