正弦定理(The Law of Sines)是三角學(xué)中的一個基本定理，它指出“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等于外接圓的直徑”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2r=D(r為外接圓半徑，D為直徑)。

如何證明正弦定理?

解三角形時，已知兩角與一邊，三角形是確定的，利用正弦定理解三角形時，其解是唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由于該三角形具有不穩(wěn)定性，所以其解不確定，可結(jié)合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角，大角對大邊”定理和三角形內(nèi)角和定理去考慮解決問題。

一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況，可參考三角形性質(zhì)、鈍角三角形性質(zhì)進(jìn)行判斷。若已知A、A的對邊a、A與a的夾邊C，則：

對于鈍角三角形

若a≤b，則無解;

若a>b，則有一解;

對于銳角三角形，

若a

若a=bsinA，則有一解;

若bsinA

若a≥b，則有一解。

如果這個三角形無解，那么沒有圓弧能通過這個三角形。

正弦定理的意義

正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦值之間的一個關(guān)系式。由正弦函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系。

一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

在解三角形中，有以下的應(yīng)用領(lǐng)域

已知三角形的兩角與一邊，解三角形。

已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形。

運用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

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