高三數(shù)學(xué)必修二知識點:數(shù)列的概念與簡單表示法

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 高中數(shù)學(xué) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

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  1.數(shù)列的定義

  按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做數(shù)列的項.

  (1)從數(shù)列定義可以看出,數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的,如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同,那么它們就不是同一數(shù)列,例如數(shù)列1,2,3,4,5與數(shù)列5,4,3,2,1是不同的數(shù)列.

  (2)在數(shù)列的定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同,因此,在同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個相同的數(shù)字,如:-1的1次冪,2次冪,3次冪,4次冪,…構(gòu)成數(shù)列:-1,1,-1,1,….

  (4)數(shù)列的項與它的項數(shù)是不同的,數(shù)列的項是指這個數(shù)列中的某一個確定的數(shù),是一個函數(shù)值,也就是相當(dāng)于f(n),而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號,它是自變量的值,相當(dāng)于f(n)中的n.

  (5)次序?qū)τ跀?shù)列來講是十分重要的,有幾個相同的數(shù),由于它們的排列次序不同,構(gòu)成的數(shù)列就不是一個相同的數(shù)列,顯然數(shù)列與數(shù)集有本質(zhì)的區(qū)別.如:2,3,4,5,6這5個數(shù)按不同的次序排列時,就會得到不同的數(shù)列,而{2,3,4,5,6}中元素不論按怎樣的次序排列都是同一個集合.

  2.數(shù)列的分類

  (1)根據(jù)數(shù)列的項數(shù)多少可以對數(shù)列進(jìn)行分類,分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列.在寫數(shù)列時,對于有窮數(shù)列,要把末項寫出,例如數(shù)列1,3,5,7,9,…,2n-1表示有窮數(shù)列,如果把數(shù)列寫成1,3,5,7,9,…或1,3,5,7,9,…,2n-1,…,它就表示無窮數(shù)列.

  (2)按照項與項之間的大小關(guān)系或數(shù)列的增減性可以分為以下幾類:遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列、常數(shù)列.

  3.數(shù)列的通項公式

  數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù),其內(nèi)涵的本質(zhì)屬性是確定這一列數(shù)的規(guī)律,這個規(guī)律通常是用式子f(n)來表示的,

  這兩個通項公式形式上雖然不同,但表示同一個數(shù)列,正像每個函數(shù)關(guān)系不都能用解析式表達(dá)出來一樣,也不是每個數(shù)列都能寫出它的通項公式;有的數(shù)列雖然有通項公式,但在形式上,又不一定是的,僅僅知道一個數(shù)列前面的有限項,無其他說明,數(shù)列是不能確定的,通項公式更非.如:數(shù)列1,2,3,4,…,

  由公式寫出的后續(xù)項就不一樣了,因此,通項公式的歸納不僅要看它的前幾項,更要依據(jù)數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律,多觀察分析,真正找到數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律,由數(shù)列前幾項寫出其通項公式,沒有通用的方法可循.

  再強(qiáng)調(diào)對于數(shù)列通項公式的理解注意以下幾點:

  (1)數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,…,n}為定義域的函數(shù)的表達(dá)式.

  (2)如果知道了數(shù)列的通項公式,那么依次用1,2,3,…去替代公式中的n就可以求出這個數(shù)列的各項;同時,用數(shù)列的通項公式也可判斷某數(shù)是否是某數(shù)列中的一項,如果是的話,是第幾項.

  (3)如所有的函數(shù)關(guān)系不一定都有解析式一樣,并不是所有的數(shù)列都有通項公式.

  如2的不足近似值,精確到1,0.1,0.01,0.001,0.0001,…所構(gòu)成的數(shù)列1,1.4,1.41,1.414,1.4142,…就沒有通項公式.

  (4)有的數(shù)列的通項公式,形式上不一定是的,正如舉例中的:

  (5)有些數(shù)列,只給出它的前幾項,并沒有給出它的構(gòu)成規(guī)律,那么僅由前面幾項歸納出的數(shù)列通項公式并不.

  4.數(shù)列的圖象

  對于數(shù)列4,5,6,7,8,9,10每一項的序號與這一項有下面的對應(yīng)關(guān)系:

  序號:1234567

  項:45678910

  這就是說,上面可以看成是一個序號集合到另一個數(shù)的集合的映射.因此,從映射、函數(shù)的觀點看,數(shù)列可以看作是一個定義域為正整集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函數(shù),當(dāng)自變量從小到大依次取值時,對應(yīng)的一列函數(shù)值.這里的函數(shù)是一種特殊的函數(shù),它的自變量只能取正整數(shù).

  由于數(shù)列的項是函數(shù)值,序號是自變量,數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)和解析式.

  數(shù)列是一種特殊的函數(shù),數(shù)列是可以用圖象直觀地表示的.

  數(shù)列用圖象來表示,可以以序號為橫坐標(biāo),相應(yīng)的項為縱坐標(biāo),描點畫圖來表示一個數(shù)列,在畫圖時,為方便起見,在平面直角坐標(biāo)系兩條坐標(biāo)軸上取的單位長度可以不同,從數(shù)列的圖象表示可以直觀地看出數(shù)列的變化情況,但不精確.

  把數(shù)列與函數(shù)比較,數(shù)列是特殊的函數(shù),特殊在定義域是正整數(shù)集或由以1為首的有限連續(xù)正整數(shù)組成的集合,其圖象是無限個或有限個孤立的點.

  5.遞推數(shù)列

  一堆鋼管,共堆放了七層,自上而下各層的鋼管數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列:4,5,6,7,8,9,10.①

  數(shù)列①還可以用如下方法給出:自上而下第一層的鋼管數(shù)是4,以下每一層的鋼管數(shù)都比上層的鋼管數(shù)多1。

  【同步練習(xí)題】

  1.已知數(shù)列{an}中,an=n2+n,則a3等于()

  A.3B.9

  C.12D.20

  答案:C

  2.下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是()

  A.1,12,13,14,…

  B.-1,-2,-3,-4,…

  C.-1,-12,-14,-18,…

  D.1,2,3,…,n

  解析:選C.對于A,an=1n,n∈N*,它是無窮遞減數(shù)列;對于B,an=-n,n∈N*,它也是無窮遞減數(shù)列;D是有窮數(shù)列;對于C,an=-(12)n-1,它是無窮遞增數(shù)列.

  3.下列說法不正確的是()

  A.根據(jù)通項公式可以求出數(shù)列的任何一項

  B.任何數(shù)列都有通項公式

  C.一個數(shù)列可能有幾個不同形式的通項公式

  D.有些數(shù)列可能不存在項

  解析:選B.不是所有的數(shù)列都有通項公式,如0,1,2,1,0,….

  4.數(shù)列23,45,67,89,…的第10項是()

  A.1617B.1819

  C.2021D.2223

  解析:選C.由題意知數(shù)列的通項公式是an=2n2n+1,

  ∴a10=2×102×10+1=2021.故選C.

  5.已知非零數(shù)列{an}的遞推公式為an=nn-1•an-1(n>1),則a4=()

  A.3a1B.2a1

  C.4a1D.1

  解析:選C.依次對遞推公式中的n賦值,當(dāng)n=2時,a2=2a1;當(dāng)n=3時,a3=32a2=3a1;當(dāng)n=4時,a4=43a3=4a1.


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