圓錐曲線的發(fā)現(xiàn)確實(shí)是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn).在笛卡爾直角坐標(biāo)系中,這些曲線的方程是二次方程,所以圓錐曲線又叫做二次曲線.對于二次曲線的價(jià)值大概還沒有人會(huì)估計(jì)得過高.在我們的實(shí)際生活中處處都有圓錐曲線.例如,我們的地球繞太陽運(yùn)行的軌道是橢圓.太陽系的其他行星的運(yùn)行軌道都是橢圓.這個(gè)事實(shí)是由開普勒第一定律確定的.
之所以沿著橢圓軌道運(yùn)動(dòng),是因?yàn)槊恳粋�(gè)行星在每一個(gè)瞬間都有不超過某一個(gè)值的速度.事實(shí)證明,假如這個(gè)速度過大了,運(yùn)動(dòng)就會(huì)沿著拋物線或雙曲線軌道進(jìn)行.相對于一個(gè)靜止的物體,并按照萬有引力定律受他吸引的物體運(yùn)動(dòng),不可能有任何其他的軌道.因此,二次曲線實(shí)際上是以我們的宇宙為基礎(chǔ)的.
又如,如果讓拋物線繞其軸旋轉(zhuǎn),就得到一個(gè)叫做旋轉(zhuǎn)拋物面的曲面.在拋物面的軸上,有一個(gè)具有美妙性質(zhì)的焦點(diǎn),任何一條通過該點(diǎn)的直線由拋物面上反射出來之后,在指向上都平行于拋物面的軸.而這意味著如果把探照燈做成拋物面的形狀,并且把燈泡放在焦點(diǎn)上,那么從拋物面上反射回來的所有光線就形成一束平行光束.這顯然是一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn),因?yàn)檎沁@樣一束光線在空間中,甚至于在離光源距離相當(dāng)大的情況下,很少擴(kuò)散.當(dāng)然,實(shí)際上我們得不到理想的平行光束,因?yàn)闊襞莶皇且粋�(gè)點(diǎn),但對于實(shí)用的目的來說,只要接近于這樣的光束就夠了.
天文望遠(yuǎn)鏡上的反射鏡也是利用拋物面的形狀制作的.它的作用剛好和探照燈的作用相反:探照燈的反射鏡把光線反射到空間,天文望遠(yuǎn)鏡的反射面則把來自宇宙的光線聚焦到自己的焦點(diǎn)上.只要用放大鏡組瞄準(zhǔn)這個(gè)焦點(diǎn)就行了,這樣,我們就會(huì)得到聚焦到其光線的那個(gè)星球的信息,這比肉眼觀察所能提供的信息要多的多.
那條不穿過雙曲線的對稱軸叫做雙曲線的虛軸.如果使雙曲線繞這條軸旋轉(zhuǎn),那么,形成的曲面(這樣的曲面稱為單葉雙曲面)也有許多實(shí)際用處.單葉雙曲面是直紋曲面.上面有兩組母直線族,各組內(nèi)母線彼此不相交,而與另一組母線永遠(yuǎn)相交.正是這種性質(zhì)在技術(shù)中得到了應(yīng)用.例如,用直立木桿造水塔,如果把這些桿垂直地放置,那就只能得到一個(gè)很不牢固的建筑物,他會(huì)因?yàn)榉浅Ｐ〉呢?fù)荷而損壞.如果立桿時(shí),使他們構(gòu)成一個(gè)單葉雙曲面(就是兩組母線族),并使他們的交點(diǎn)處連接在一起,就會(huì)得到一個(gè)非常輕巧而又非常堅(jiān)固的建筑物.許多化工廠或熱電廠的冷卻塔就是利用了這個(gè)原理.
在嘗試解決古代名題的過程中,所發(fā)現(xiàn)的各種美妙曲線遠(yuǎn)不限于螺線,蚌線和圓錐曲線.可是,不管找到了多少美妙的曲線,他們還是解決不了古代名題.要知道,正像我們還記得的那樣,要求不只是解出這些名題,而是除了直尺和圓規(guī)外,不準(zhǔn)利用其他任何工具.而僅僅利用這兩種工具能否解決其中任何一個(gè)問題呢?這個(gè)問題該如何回答呢?
如果這個(gè)答案存在的話,對這個(gè)問題給予肯定的回答,原則上顯得比給予否定的回答更容易,只不過需要嘗試才能找到這個(gè)答案.經(jīng)過或多或少,接連不斷的尋找,這種題解通�？梢哉业�.
在題解不存在的情況下,事情則難辦的多.這時(shí),只有停留在普通的幾何直觀上,幾乎不可能得到所需要的答案.在這種情況下,可以對問題進(jìn)行精確的代數(shù)分析,以便用歸結(jié)為完成某些代數(shù)方程問題的不可能性證明解答這個(gè)問題的不可能性.這樣,就要求助于代數(shù)!
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